Задачи на составление уравнений и их систем

Задачи на составление уравнений и их систем (ЕГЭ)

Задачи по подготовке к ЕГЭ на составление уравнений и их систем

Просмотр содержимого документа
«Задачи на составление уравнений и их систем (ЕГЭ)»

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА СОСТАВЛЕНИЕ
УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ

В решении задач на составление уравнений (систем уравнений) обычно можно выделить три этапа:

1) выбор неизвестного и составление уравнения (или системы уравнений);

2) решение полученного уравнения (или системы уравнений);

3) проверка решений по условию задачи.

Критерии оценивания задания 22 ОГЭ.

Рассмотрим отдельные типы задач и их решение с помощью уравнений или систем уравнений. Обратим внимание на виды краткой записи условий задач.

1. Задачи на числовые зависимости

При решении задач на числовые зависимости могут оказаться полезными следующие сведения:

 если к натуральному числу х приписать справа n-значное число y, то в результате получится число 10 n ∙ x + y;

 если при делении натурального числа A на натуральное число B в частном получается g, а в остатке r (r ), то A = Bg + r.

Задача 1. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 8. Если число, составленное из тех же цифр, но записанных в обратном порядке, разделить на произведение цифр, то в частном получится 2, а в остатке 5. Найти это число.

Решение. Пусть в искомом числе: x – цифра десятков, x N, ;

y – цифра единиц, y N, .

Тогда 10x + y – искомое число;

10y + x – число, составленное из тех же цифр, но записанных в обратном порядке.

Используя третье, из выше указанных сведений, составим систему уравнений.

Вторая пара корней не удовлетворяет условию задачи.

2. Задачи на движение

Задача 2. Катер прошел против течения реки 8 км, повернул обратно и прошел по течению 36 км. Весь рейс длился 2 ч. Потом катер прошел против течения 6 км и по течению 33 км, затратив на этот второй рейс 1 ч 45 мин. Найдите скорость катера в стоячей воде.

Решение. Краткую запись условия задач на движение часто удобно выполнять в виде таблицы, в столбцах которой указываются путь, скорость и время для каждого этапа движения.

Где x км/ч – скорость катера в стоячей воде,

y км/ч – скорость течения (x 0, y 0, x y), 1 ч 45 мин = 7/4 ч.

На основе таблицы составим систему уравнений.

Решим систему выполняя замену переменных.

3. Задачи на совместную работу

В задачах на совместную работу часто объем всей работы, которая должна быть выполнена, принимается за единицу. Если t – время, требующееся для выполнения всей работы, а V – производительность труда, т.е. величина работы, выполняемая за единицу времени, то V = 1/t .

Задача 3. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 ч. Если бы сначала первый рабочий сделал половину этой работы, а затем другой остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 ч. За какое время мог бы выполнить эту работу каждый рабочий в отдельности?

Решение. Примем объем всей работы за единицу.

Пусть x ч, y ч – время необходимое на выполнение всей работы соответственно 1-му и 2 -му рабочим в отдельности (12 50, 12 50).

Тогда – производительность (часть всей работы, выполняемая за 1 ч) соответственно 1-го и 2-го рабочих;

– часть всей работы, выполняемая соответственно 1-м и
2-м рабочими за 12 ч;

ч, ч – время, необходимое на выполнение половины всей работы соответственно1-му и 2-му рабочим в отдельности.

Условие задачи можно записать и в виде таблицы, аналогичной таблице из задачи 2, заменив путь, скорость и время движения на соответственно объем, производительность и время работы.

Пусть x ч, y ч – время необходимое на выполнение всей работы соответственно 1-му и 2 -му рабочим в отдельности (12 50, 12 50).

На основе выполненных рассуждений составим систему уравнений.

Ответ: 20 ч, 30 ч.

Задача 4. (ЕГЭ-2008) Двое рабочих, работая вместе, могут за 1 ч установить 10 м забора. Первый рабочий, работая отдельно, устанавливает 60 м забора на 5 ч дольше, чем 60 м такого же забора может установить второй рабочий. За сколько часов второй рабочий может установить 90 м забора? Ответ: 15 ч.

4. Задачи на проценты, доли и смеси

Определение. Процентом называется сотая доля числа.

Задача 5. Имелось два сплава меди с разным процентным содержанием меди в каждом. Затем их сплавили вместе, после чего содержание меди составило 36%. Число, выражающее в процентах содержание меди в первом сплаве, на 40 меньше числа, выражающего в процентах содержание меди во втором сплаве. Определить процентное содержание меди в каждом сплаве, если в первом сплаве меди было 6 кг, а во втором – 12 кг.

Решение. Краткую запись условия выполним в виде таблицы.

Сплав,
полученный из первоначальных

Составим для каждого из сплавов пропорции и получим систему уравнений.

Замечание 1. Если первоначальная сумма вклада x руб., а процент годовых p %, то сумма вклада через один год составит руб.

Замечание 2. Если первоначальная сумма вклада x руб., а процент годовых p %, то сумма вклада через n лет составит руб.

Задача 6. Спустя два года после того, как некоторая сумма внесена в банк, вклад за счет процентов увеличился на 2200 руб. Если бы первоначальная сумма была на 1000 руб. больше, то итоговая прибыль равнялась бы 2640 руб. Чему равен процент годовых, если он за два года не менялся?

Решение. Рассмотрим изменение вклада за первый год.

Составим пропорцию ; .

Замечание 1. Если первоначальная сумма вклада x руб., а процент годовых y %, то величина вклада через один год составит руб.

Аналогично за второй год.

Замечание 2. Если первоначальная сумма вклада x руб., а процент годовых y %, то величина вклада через n лет составит руб.

Составим систему уравнений

Ответ: 5 000 руб.

Задача 7. В корзине лежало не более 70 грибов. После сортировки оказалось, что 52 % из них белые. Если отложить 3 самых малых, то среди оставшихся будет ровно половина белых. Сколько грибов было в корзине?

Решение. I. Первоначально.

II. После того как отложили 3 самых малых (из них a белых, a = 1, 2, 3).

На основе того, что количество белых уменьшилось на a грибов, составим уравнение.

По условию 0x ≤75, следовательно

Так как a число натуральное, то a = 2 и x = 25.

Задача 8. В сосуд А налито некоторое количество кислоты, а в сосуд В такое же количество воды. Двумя кружками, емкостью 0,5 л каждая, одновременно набирают из сосудов содержимое и переливают из сосуда А в сосуд В, а из сосуда B в сосуд А. Затем эту операцию повторяют. Определить первоначальное количество жидкости в каждом из сосудов, если известно, что концентрация раствора кислоты в сосуде А после двух переливаний равна 90,5 %. Ответ: 10 л или 10/9 л.

Решение. I. После первого переливания.

II. После второго переливания.

V-0,5 – 0,5∙(V-0,5)/V + 0,5∙0,5/V

Вылито кислоты из сосуда А

Налито кислоты из сосуда В

Ответ: 10 л или 10/19 л.

Задача 9. На выпускных экзаменах по математике, физике и русскому языку все учащиеся получили только хорошие и отличные оценки, при этом, оценку 4 каждый получил не более одного раза. По русскому языку и математике оценку 5 получили 55 % учащихся, по математике и физике – 45 %, по русскому языку и физике – 30 %. Получившие 5 по всем предметам собираются поступать в МГУ, получившие 4 по русскому языку – в технические вузы, остальные в гуманитарные. Известно, что 20 % всех девушек и 11% всех юношей собираются поступать в МГУ, 33 % девушек собираются поступать в технические вузы. Сколько процентов юношей будет поступать в гуманитарные вузы?

Решение. Пусть x – общее количество учащихся, тогда

по русскому языку и математике оценку 5 получили: 0,55x,

по математике и физике: 0,45x,

по русскому языку и физике: 0,3x.

Сумма указанных значений составит: 0,55x + 0,45x + 0,3x = 1,3x.

Сумма получилась больше x из-за того, что отличники попали во все три списка, а не в один.

Следовательно отличников: (каждый отличник был два лишних раза в списке).

В МГУ собираются поступать 0,15x учащихся.

Т.о. число учащихся получивших четверки по предметам составит:

по русскому языку: 0,3x,

по математике: 0,15x.

0,3x собираются поступать в технические вузы, x – 0,15x – 0,3x = 0,55x – в гуманитарные.

Пусть y, z – общее число девушек и юношей соответственно; t – доля юношей поступающих в технические вузы.

Т.о. 27,6 % юношей поступают в технические вузы.

(100-27,6-11) % = 61,4 % юношей будет поступать в гуманитарные вузы.

Задача 10. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 75 % от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще рез год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение: Пусть А₀ – сумма кредита, р – процент годовых по кредиту. В конце первого года фермер должен банку рублей, а после частичной уплаты – рублей. К концу второго года фермер должен банку рублей, что по условию задачи составило 1,21А₀ рублей. Таким образом, получаем уравнение тогда , тогда р = 120 %.

Ответ: 120 % годовых по кредиту в данном банке.

Задача 11. Двое рабочих выполняют некоторую работу. Если первый рабочий проработает 2 часа, а затем они вместе будут работать 3 часа, то выполнят 75 % всей работы. Какие значения может принимать время выполнения всей работы двумя рабочими вместе? Ответ: (4; 20/3).

Решение. Примем объем всей работы, которую нужно выполнить за 1.

Пусть x, y ч. – время необходимое на выполнение всей работы соответственно 1-му и 2-му рабочим в отдельности.

Тогда 1/x, 1/y – производительность труда (часть всей работы, выполняемая за 1 ч.) соответственно 1-го и 2-го рабочих.

5/x, 3/y – часть всей работы, выполненная соответственно 1-м рабочим за 5 ч. и 2-м за 3 ч. Т.к. вместе за это время они выполнили 75% всей работы, то получим уравнение . Из полученного уравнения вытекают условия x 20/3, y 4.

– производительность труда при совместной работе обоих рабочих.

– время необходимое на выполнение всей работы при совместном труде рабочих.

– с учетом ранее указанного условия x 20/3 значение времени необходимого на выполнение всей работы при совместном труде 2-х рабочих принадлежит промежутку (4; 20/3).

Расстояние между городами A и B равно 60 км. Два поезда выходят одновременно: один из города A в B, другой из B в A. Пройдя 20 км, поезд, идущий из A в B, останавливается на полчаса, а затем через 4 мин, встречает поезд, идущий из B. Оба поезда прибывают к месту назначения одновременно. Найдите скорости поездов. Ответ: 60 км/ч; 40 км/ч

Два велосипедиста стартовали один за другим с интервалом в 2 мин. Второй велосипедист догнал первого на расстоянии 1 км от старта. Если бы проехав от старта 5 км, он повернул обратно, то встретился бы с первым велосипедистом через 20 мин после его старта. Найдите скорость второго велосипедиста. Ответ: 20 км/ч

Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 ч. Если бы сначала первый рабочий сделал половину этой работы, а затем другой остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 ч. За какое время мог бы выполнить эту работу каждый рабочий в отдельности? Ответ: 20 ч, 30 ч

Для прокладки траншеи выделены два экскаватора различных типов. Время, необходимое первому экскаватору для прокладки траншеи, на 3 ч меньше времени, необходимого второму экскаватору для прокладки этой траншеи. Сколько часов требуется каждому экскаватору для прокладки траншеи, если сумма этих часов в 144/35 раза больше времени, необходимого для прокладки траншеи при совместной работе? Ответ: 7,5 ч; 10,5 ч

Имелось два сплава меди с разным процентным содержанием меди в каждом. Затем их сплавили вместе, после чего содержание меди составило 36%. Число, выражающее в процентах содержание меди в первом сплаве, на 40 меньше числа, выражающего в процентах содержание меди во втором сплаве. Определить процентное содержание меди в каждом сплаве, если в первом сплаве меди было 6 кг, а во втором – 12 кг.

Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45 % меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившийся новый сплав содержал 40 % меди? Ответ: 1,5 кг

Свежие грибы содержат 90 % воды, а сухие 12 %. Сколько получится сухих грибов из 88 кг свежих? Ответ: 10 кг

Два сплава содержат два металла. В первом сплаве металлы находятся в отношении 1:2, а во втором – в отношении 3:2. В каком отношении нужно взять части этих сплавов, чтобы получился новый сплав с отношением металлов 8:7? Ответ: 1:3

Из 38 т сырья второго сорта, содержащего 25 % примесей, после переработки получается 30 т сырья первого сорта. Каков процент примесей в сырье первого сорта? Ответ: 5 %

Букинистический магазин продал книгу со скидкой 10 % с первоначально назначенной цены и получил при этом 8 % при6ым. Сколько процентов прибыли первоначально предполагал получить магазин? Ответ: 20 %

Имеется два раствора кислоты разной концентрации. Объём одного раствора – 4 литра, а другого – 6 литров. Если их слить вместе, то получится 35%-ный раствор кислоты. Если же слить равные объёмы этих растворов, то получится 36%-ный раствор кислоты. Сколько литров кислоты содержится в каждом из первоначальных растворов?1,64 л; 1,86 л

За 12 дней совместной работы Билл и Джек строят 7 домов. Если Билл повысит свою производительность на 100 %, то 6 дней совместной работы они построят 5 домов. Сколько домов построят они за 12 дней совместной работы, если Билл еще раз повысит свою производительность на 100 %? Ответ: 16

Монтёр сбежал по ленте движущегося эскалатора за 30 секунд. Второй раз он спустился по неподвижной ленте за 45 секунд. За сколько времени он спустился бы, стоя на ступеньке движущегося эскалатора? Ответ: 90 с

Бассейн заполняется водой через первую трубу на 5 часов быстрее, чем через вторую, и на 30 часов быстрее, чем через третью. Известно, что пропускная способность третьей трубы в 2,5 раза меньше пропускной способности первой трубы и на 40 м3/ч меньше пропускной способности второй трубы. Найдите пропускную способность первой и третьей труб. Ответ: 100 м 3 /ч; 40 м 3 /ч

Две точки, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются каждые 12 мин, причем первая обходит окружность на 10 с быстрее, чем вторая. Какую часть окружности проходит за 1 с каждая точка? Ответ:

В ателье поступило по одному куску черной, зеленой и синей ткани. Хотя зеленой ткани было на 9 м. меньше, чем черной, и на 6м больше, чем синей, стоимость кусков была одинаковой. Известно также, что стоимость 4,5 м. черной ткани равна стоимость 3 м. зеленой и 0,5 м. синей вместе. Сколько метров ткани было в каждом куске?

Автомобили «Рено» и «Крайслер» движутся по кольцевой дороге, часть которой проходит по городу. Скорость «Рено» в городе равна 2, а за пределами города равна . Скорость «Крайслера» в городе равна , а за пределами города равна 3. Автомобили одновременно въезжают в город. Через какое время один из них совершит обгон другого, если длина городского участка кольцевой дороги равна S? Ответ:

Задачи на составление уравнений и их систем

Решите систему уравнений В ответ запишите х + у.

Разделим обе части первого уравнения на 2 и решим систему методом подстановки:

Искомая сумма равна 3,5.

Систему можно было бы решить методом алгебраического сложения:

Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Алгоритм решения задачи с помощью системы линейных уравнений

1. Обозначить неизвестные величины переменными («от смысла к буквам»).
2. По условию задачи записать уравнения, связывающие обозначенные переменные.
3. Решить полученную систему уравнений.
4. Истолковать результат в соответствии с условием задачи («от букв к смыслу»).

Задуманы два числа. Если от первого отнять второе, то получается 10. Если к первому прибавить удвоенное второе, то получается 91. Найдите задуманные числа.

«От смысла к буквам»:

Пусть x и y — задуманные числа.

Уравнения по условию задачи::

Решение системы уравнений:

«От букв к смыслу»:

Задуманы числа 37 и 27.

Примеры

Пример 1. Периметр прямоугольника равен 48 см. Его длина больше ширины в 3 раза.

Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b — длина и ширина прямоугольника.

$$ <\left\< \begin P = 2(a+b) = 48 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 3b+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 4b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 18 \\ b = 6 \end \right.> $$

Ответ: длина прямоугольника 18 см, ширина 6 см.

Пример 2. Два программиста из Бомбея, работающие в одном проекте, написали 100500 строк кода. Первый работал 70 дней, второй – 100 дней. Сколько строк писал каждый программист ежедневно, если за первые 30 дней первый написал на 5550 строк больше, чем второй?

Пусть x — ежедневное количество строк для 1-го программиста, y- для 2-го.

$$ <\left\< \begin 70x+100y = 100500 |:10 \\ 30x-30y = 5550 |:30 \end \right.> (-) \Rightarrow <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ x-y=185 | \times 10 \end \right.>$$

$$ \Rightarrow (+) <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ 10x-10y = 1850 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 17x = 11900 \\ y = x-185 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 700 \\ y = 515 \end \right.> $$

Ответ: 700 строк и 515 строк

Пример 3. За 2 кг конфет и 3 кг печенья заплатили 1540 руб. Сколько стоит 1 кг конфет и 1 кг печенья, если 2 кг печенья дороже 1 кг конфет на 210 руб.?

Пусть x — цена за 1 кг конфет, y — за 1 кг печенья.

$$ <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ 2y-x = 210 | \times 2 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ -2x+4y = 420 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7y = 1960 \\ x = 2y-210 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 350 \\ y = 280 \end \right.> $$

Ответ: 1 кг конфет — 350 руб. и 1 кг печенья — 280 руб.

Пример 4. Катер за 3 ч движения против течения реки и 2 часа по течению проходит 73 км. Найдите собственную скорость катера и скорость течения, если за 4 ч движения по течению катер проходит на 29 км больше, чем за 3 ч движения против течения.

Пусть v — скорость катера (км/ч), u — скорость течения (км/ч).

$$ \Rightarrow <\left\< \begin 5v-u = 73 \\ v+7u = 29 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5(29-7u)-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 145-35u-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow$$

Ответ: скорость катера 15 км/ч и скорость течения 2 км/ч

Пример 5. 5 карандашей и 3 тетрадки вместе стоили 170 руб. После того, как карандаши подешевели на 20%, а тетрадки подорожали на 30%, за 3 карандаша и 5 тетрадок заплатили 284 руб. Найдите первоначальную цену карандаша и тетрадки.

Пусть x – первоначальная цена карандаша, y — тетрадки.

$$ <\left\< \begin 5x+3y = 170 \\ 3\cdot0,8x+5\cdot1,3y = 284 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5x+3y = 170 |\times \frac<2,4> <5>\\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2,4x+1,44y = 81,6 \\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> $$

Ответ: карандаш сначала стоил 10 руб., тетрадка — 40 руб.

Пример 6*. Велосипедист планирует добраться из пункта А в пункт В. Если он будет ехать на 3 км/ч быстрее, чем обычно, он доберётся на 1 час раньше. А если он будет ехать на 2 км/ч медленней, чем обычно, то – на 1 час позже. Найдите обычную скорость велосипедиста и время поездки при этой скорости.

Пусть v – обычная скорость велосипедиста (км/ч), t — обычное время (ч).

Расстояние между А и В неизменно, и по условию равно:

Ответ: обычная скорость 12 км/ч, время 5 ч

Пример 7*. В одной бочке налито 12 л, во второй – 32 л. Если первую бочку доверху наполнить водой из второй, то вторая бочка будет наполнена ровно наполовину своего объёма. Если вторую бочку доверху наполнить водой из первой, то первая бочка будет наполнена на 1/6 своего объёма. Найдите объём каждой бочки.

Пусть x — объём первой бочки (л), y – объём второй (л).

Пусть a л перелито из второй бочки, и первая наполнилась до краёв, а во второй воды осталось наполовину:

Теперь пусть b л перелито из первой бочки, и вторая наполнилась до краёв, а в первой воды осталось на 1/6:

$$ <\left\< \begin x+ \frac<1> <2>y = 44 | \times 2 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2x+y = 88 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 1\frac<5> <6>x = 44 \\ y = 88-2x \end \right.> \Rightarrow $$

Ответ: первая бочка 24 л, вторая – 40 л

Пример 8*. Если школьник едет в школу на автобусе, а возвращается домой пешком, то он тратит на всю дорогу полтора часа. Если он едет туда и обратно на автобусе, то он тратит полчаса. Сколько времени потратит школьник, если он пойдёт туда и обратно пешком?

Пусть s — расстояние между домом и школой, v — скорость автобуса, u — скорость школьника, t — искомое время, потраченное на дорогу туда и обратно пешком.

По условию задачи:

Из второго уравнения $ \frac = \frac<0,5> <2>= 0,25 $. Подставляем в первое уравнение:

И тогда искомое время:

$$ t = \frac<2s> = 2\cdot1,25 = 2,5 (ч) $$