Задачи на составление уравнений огэ

Задачи на составление уравнений огэ

Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3 ч, а второй 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?

Пусть первый оператор может выполнить данную работу за x часов, а второй за y часов. За один час первый оператор выполняет часть всей работы, а второй . Составим систему уравнений:

Ответ: первый оператор за 12 ч, второй оператор за 24 ч.

На изготовление 231 детали ученик тратит на 11 часов больше, чем мастер на изготовление 462 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 4 детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?

Предположим, что ученик делает x деталей в час, . Тогда мастер делает детали в час.

Составим таблицу по данным задачи:

Производительность (дет/ч)	Время (ч)	Объём работ (дет)
Ученик	x		231
Мастер			462

Так как ученик потратил на работу на 11 часов больше, можно составить уравнение:

.

Решим уравнение, предварительно разделив обе части на 11:

.

Корни полученного квадратного уравнения: −28 и 3. Отбрасывая отрицательный корень, находим, что ученик делает в час 3 детали.

Сборник для подготовки к ОГЭ по математике по теме «Решение текстовых задач с помощью уравнений».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Готовимся к экзаменам:

решение текстовых задач

с помощью уравнений.

Алгоритм решения задач, с помощью уравнений…………2

Алгоритм решения задач, с помощью уравнений.

1) выбрать неизвестное и обозначить его буквой;

2) выразить остальные неизвестные при помощи этой буквы;

3) составить уравнение;

4) решить полученное уравнение;

5) проверить полученное решение и ответ по условию задачи.

Задачи на движение .

Из пункта А вышла грузовая машина со скоростью 60км/ч. Через 2 ч вслед за ней из пункта А вышла легковая машина со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от пункта А легковая машина догонит грузовую?

Из пункта А выехал велосипедист. Одновременно вслед за ним из пункта В, отстоящего от пункта А на расстоянии 60 км/ч, выехал мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а мотоциклист – со скоростью 30 км/ч. На каком расстоянии от пункта А мотоциклист догонит велосипедиста?

Теплоход прошел расстояние между пристанями по течению реки за 4ч, а против течения реки за 5 ч. Определите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч. Каково расстояние между пристанями?

Из деревни в деревню выехал автобус. двигаясь со скоростью 55км в час за 4 часа он проехал одну третью часть пути. Какой длины путь между деревнями Бостандык и Орталык.

Лодка проплыла некоторое расстояние от пристани по течению реки и вернулась обратно, затратив на весь путь 8ч. Собственная скорость лодки 8 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. Определите, сколько времени плыла лодка по течению реки и все расстояние, которое она проплыла.

Задачи на работу

Чтобы выполнить задание в срок, токарь должен изготавливать по 24 детали в день. Однако он ежедневно перевыполнял норму на 15 деталей и уже за 6дней до срока изготовил 21 деталь сверх плана. Сколько деталей изготовил токарь?

В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?

(Задача Э.Безу) По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?

Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?

Имеются два сплава золота и серебра; в одном количество этих металлов находится в отношении 2:3, в другом — в отношении 3:7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?

Человек на вопрос, сколько он заплатил за часы, ответил: «Если умножить цену на 4, и к результату прибавить 70, а из этой суммы вычесть 50, то остаток будет равен 220 долларов». Сколько он заплатил за часы?

У Васи было на 10 марок меньше, чем у Коли. Каждый мальчик подарил Саше по 15 марок. У Васи осталось марок в 2 раза меньше, чем у Коли. По сколько марок было у мальчиков первоначально?

У Маши было на 5 открыток меньше, чем у Кати. Девочкам подарили еще по 3 открытки. У Кати стало открыток в 2 раза больше, чем у Маши. По сколько открыток было у девочек первоначально?

Книгу в 296 страниц ученик прочитал за три дня. Во второй день он прочитал на 20% больше, чем в первый, а в третий – на 24 страницы больше, чем во второй. Сколько страниц прочитал ученик в первый день?

На солнышке грелось несколько кошек. У них лап на 10 больше, чем ушей. Сколько кошек грелось на солнышке?

В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине и сколько в ящике?

После того, как с полки сняли 7 книг, а потом добавили 18 книг, на полке стало 65 книг. Сколько книг было на полке первоначально?

У Маши было несколько ракушек, у Миши в 0,5 раза больше, чем у Маши. А у Вали было на 10 меньше, чем у Маши и Миши вместе. Всего у ребят было восемьдесят ракушек. Найдите сколько было ракушек у Маши.

У Вовы было 15 шариков. У Маши в 2 раза больше, чем у Вовы. А у Ани в 3 раза меньше, чем у Маши. Всего шариков 55. Сколько шаров у Маши?

В 2005 году в теплице собрали 28 кг. помидор, а огурцов в 7 раз меньше. В 2007 году в теплице выросло 8 раз меньше помидор, чем в 2005 году с огурцами. Сколько помидор выросло в 2007 году?

Задачи на движение

Собственная скорость – 18 км\ч, расстояние между пристанями 80км.

30 км (по течению), 60 км (все расстояние), 3ч скорость по течению.

Подготовка учащихся 9-го класса к ОГЭ :составления уравнений, а также их систем на основании условий разного типа задач.
консультация по алгебре (9 класс) на тему

Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако, прежде всего необходимо научиться различать основные типы задач и уметь решать простейшие из них.

Рассмотрим типовые задачи и их решения.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подготовка учащихся 9-го класса к ОГЭ :

составления уравнений, а также их систем на основании условий разного типа задач.

Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако, прежде всего необходимо научиться различать основные типы задач и уметь решать простейшие из них.

Рассмотрим типовые задачи и их решения.

§ 1. Задачи на движение

1. Основными компонентами этого типа задач являются: а) пройденный путь (S); б) скорость (V); в) время (t). Зависимость между указанными величинами выражается известными формулами:

Все указанные величины должны быть в одной системе единиц.

2. Алгоритм решения :

а) выбираем одну из величин, которая по условию задачи является неизвестной, и обозначаем ее через X, Y или Z;

б) устанавливаем, какая из величин по условию задачи является известной;

в) третью (из оставшихся) величин выражают через неизвестную (Х) и известную с помощью одной из формул (1);

г) составляем уравнение на основании условий задачи, в котором указано, как именно изменилась третья величина.

3. Если два каких-либо тела начинают движение одновременно, то в случае, если они встречаются, каждое с момента выхода и до встречи затрачивает, очевидно, одинаковое время другое (вводится понятие «скорости сближения»).

Аналогично и в случае, если одно тело догоняет (вводится понятие «скорости «вдогонку».

4. Если тела выходят в разное время, то до момента встречи из них затрачивает времени больше то, которое выходит раньше.

5. В задачах на движение по реке необходимо помнить следующие формулы:

Vпо теч.= Vсоб.+ Vтеч.;

Vпротив теч.= Vсоб.– Vтеч.;

Первый турист, проехав 1,5 часа на велосипеде со скоростью 16 км/ч, делает остановку на 1,5 ч, а затем продолжает путь с первоначальной скоростью. Четыре часа спустя после отправки в дорогу первого туриста вдогонку ему выезжает на мотоцикле второй турист со скоростью 56 км/ч. Какое расстояние они проедут, прежде чем второй турист догонит первого?

Из условия ясно, что первый турист вышел в путь на 4 ч раньше второго. В точке В (рис. 1.1) он сделал остановку на 1,5 ч.

Второй турист догнал первого в точке Д. Чтобы проехать это расстояние АД, первый турист затратил больше времени, чем второй, на 2,5 часа (4–1,5=2,5).

Пусть х – расстояние (в км) от А до Д. Тогда:

ч – время, за которое первый турист проезжает расстояние АД;

ч – время, за которое второй турист проезжает расстояние АД.

Составим и решим уравнение: ; х=56 км.

1.2 . Движение из одного пункта в другой с остановкой в пути

Расстояние между станциями А и В равно 103 км. Из А в В вышел поезд и, пройдя некоторое расстояние, был задержан, а потому оставшийся путь до В проходил со скоростью на 4 км/ч больше прежней. Найти первоначальную скорость поезда, если известно, что оставшийся путь до В был на 23 км длиннее пути, пройденного до задержки, и на прохождение пути после задержки было затрачено на 15 мин больше, чем на прохождение пути до задержки.

Так как путь ОВ (после задержки) был на 23 км длиннее и расстояние АВ равно 103 км, то можно найти, какой путь прошел поезд до О (целесообразно делать рисунок).

(103 км – 23 км)/ 2 = 40 км – это путь АО; 40+23=63 (км) – это путь ОВ.

Пусть х км/ч – это скорость поезда до остановки в О, (х+4) км/ч – это скорость поезда после задержки. ч – это время поезда до остановки; ч – это время поезда после задержки.Так как на прохождение пути после задержки поезд затратил на 15 мин = ч больше, то: и . Решаем последнее уравнение и получаем х=80 км/ч – это первоначальная скорость поезда.

1.3. Движение из разных пунктов навстречу друг другу

Пешеход и велосипедист отправляются одновременно навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми 40 км, и встречаются спустя 2 часа после отправления. Затем они продолжают путь, причем велосипедист прибывает в А на 7,5 ч раньше, чем пешеход в В. Найти скорости пешехода и велосипедиста, полагая, что оба все время двигались с неизменными скоростями.

1. Пусть Vпешехода = х км/ч; Vвелосип.= y км/ч; S AC = 2х;
S BC = 2y . Тогда t 1 = – время, которое затратил велосипедист на путь из С в А; t 2 = – время, которое затратил пешеход на путь из С в В.

2. Из условия задачи следует, что 2х+2у=40. Так как велосипедист прибывает в А на 7,5 ч раньше, то на основании этого составим второе уравнение: .

3. Составим систему уравнений и решим ее:

Пусть , тогда второе уравнение запишем в виде:

( не удовлетворяет условию, так как • 0).

Ответ: 4 км/ч; 16 км/ч.

1.4. Движение по водному пути

В 9 ч самоходная баржа вышла из А вверх по реке и прибыла в пункт В; 2 ч спустя после прибытия в В эта баржа отправилась в обратный путь и прибыла в А в 19 ч 20 мин того же дня. Предполагая, что средняя скорость течения реки – 3 км/ч и собственная скорость баржи все время постоянна, определить, в котором часу баржа прибыла в пункт В. Расстояние между А и В равно 60 км.

1. Для решения этого типа задач следует использовать указание 5.

2. Обозначим собственную скорость баржи через х км/ч. Тогда время, затраченное на движение по течению реки, составляет часов, а против течения реки – часов.

3. Всего было затрачено времени (в часах) . На основании этого составим уравнение и решим его:

; х 1 =15; х 2 =–0,6 (х 2 не удовлетворяет условию).

4. Время, затраченное на движение против течения реки, ч.

Ответ : баржа прибыла в пункт В в 14 ч.

1.5. Пройденный путь принимается за 1, а единственной данной величиной является время

Один турист вышел в 6 ч, а второй навстречу в 7 ч. Встретились они в 8 ч и, не останавливаясь продолжили путь. Сколько времени затратил каждый из них на весь путь, если первый пришел в то место, из которого вышел второй, на 28 мин позже, чем второй пришел в то место, откуда вышел первый? Считается, что каждый шел без остановок с постоянной скоростью.

1. Особенностью этой задачи является то, что в ней нет никаких данных о пройденном расстоянии. В таких случаях удобно все расстояние принять за 1, тогда скорость , а (где х часов – это время в пути первого пешехода, а у часов – это время второго пешехода).

2. Так как первый был в пути на 1 ч 28 мин больше, то
х–у= или х–у= . Из условия задачи видно, что первый до встречи шел 2 часа, а второй – 1 час, тогда составим еще одно уравнение: . Получим систему:

3. Решая эту систему, получим х=3 ч 40 мин; у=2 ч 12 мин.

1.6. Скорость выражена косвенно через время

Два велосипедиста выехали одновременно из двух пунктов в третий, куда они договорились прибыть одновременно. Первый прибыл на место встречи через 2 ч, а второму, чтобы прибыть вовремя, надо было проезжать каждый километр на 1 мин быстрее первого, так как его путь был длиннее на 6 км. Какова скорость каждого велосипедиста?

1. Особенностью этой задачи является не прямое, а косвенное указание скорости велосипедистов.

2. Пусть первый велосипедист проезжал каждый километр за х мин, то есть его скорость была км/ч. Тогда скорость второго км/ч.

3. Составим уравнение и решим его:

4. Следовательно, км/ч; км/ч .

1.7. Тела движутся по окружности

По окружности длиной 60 м равномерно в одном направлении движутся две точки. Одна из них делает полный оборот на 5 сек быстрее другой. При этом совпадения точек происходят каждый раз через 1 мин. Определить скорости точек.

1. Пусть первая точка проходит полный оборот за х сек, а вторая точка – за у сек. Тогда: м/с = м/мин, м/с=
= м/мин.

2. Будем полагать, что х • у, тогда из условия задачи следует уравнение у–х=5.

3. Так как точки встречаются каждую минуту, и первая движется быстрее, то она должна за 1 мин пройти полный круг – 60 м и еще столько, сколько успеет пройти за 1 мин вторая, то есть м.

4. Отсюда имеем второе уравнение: .

5. Составим систему и решим ее:

Ответ: 4 м/с; 3 м/с.

§ 2. Задачи на совместную работу

Некоторые указания к задачам на совместную работу.

1.Основными компонентами этого типа задач являются: а) работа; б) время; в) производительность труда (работа, выполненная в единицу времени).

2. Алгоритм решения :

а) принимаем всю работу, которую необходимо выполнить,
за 1;

б) находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, то есть , где – время, за которое указанный рабочий сможет выполнить всю работу, работая отдельно;

в) находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий за то время, которое он работал;

г) составляем уравнение, приравнивая объем всей работы (то есть 1) к сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно каждым рабочим (если в условии сказано, что при совместной работе всех рабочих выполнен весь объем работы).

3. Следует заметить, что в указанных задачах не всегда сравнивается выполняемая работа. Основанием для составления уравнения может служить также указанное в условии соотношение затраченного времени или производительности труда.

2.1. Вычисление неизвестного времени работы

Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке деталей на 1,5 ч скорее, чем бригада учеников. Если бригада учеников отработает 18 ч, выполняя это задание, а потом бригада слесарей продолжит выполнение задания в течение 6 ч, то и тогда будет выполнено только всего задания. Сколько времени требуется бригаде учеников для самостоятельного выполнения данного задания?

1. Пусть вся работа может быть выполнена бригадой учеников за х ч, а бригадой слесарей – за (х–15) ч.

2. Всю работу примем за 1,

– это производительность бригады учеников;

– производительность бригады слесарей;

– часть работы, выполненная бригадой учеников;

– часть работы, выполненная бригадой слесарей.

3. Составим уравнение и решим его: . Имеем х 1 =45; х 2 =10 (посторонний корень, так как бригада учеников выполняла задание на 15 ч дольше, чем бригада слесарей).

§ 3. Задачи на планирование

К задачам этого раздела относятся те задачи, в которых выполненный объем работы известен или его нужно определить (в отличие от задач на совместную работу). При этом сравнивается работа, которая должна быть выполнена по плану, и работа, которая выполнена фактически.

Так же, как и в задачах на совместную работу, основными компонентами задач на планирование являются: а) работа (выполненная фактически и запланированная); б) время выполнения работы (фактическое и запланированное); в) производительность труда (фактическая и запланированная).

Замечание. В некоторых задачах этого раздела вместо времени выполнения работы дается количество участвующих в ее выполнении рабочих.

3.1. Задачи, в которых требуется определить объем выполняемой работы

Ученик токаря вытачивает шахматные пешки для определенного числа комплектов шахмат. Он хочет научиться изготавливать ежедневно на 2 пешки больше, чем теперь, тогда такое же задание он выполнит на 10 дней быстрее. Если бы ему удалось научиться изготавливать ежедневно на 4 пешки больше, чем теперь, то срок выполнения такого же задания уменьшился бы на 16 дней. Сколько комплектов шахмат обеспечивает пешками этот токарь, если для каждого комплекта нужно 16 пешек?

1. Пусть токарь вытачивает х пешек для определенного числа комплектов шахмат. Будем также полагать, что в день он вытачивает у пешек. Тогда задание он выполнит за дней.

2. Соответственно, если он будет вытачивать в день (у+2) пешки или (у+4) пешки, то он выполнит задание за или дня.

3. На основании условия задачи составим систему уравнений и решим ее:

4. Так как на каждый комплект нужно 16 пешек, то число комплектов равно .

3.2. Задачи, в которых требуется найти производительность труда

Бригада рыбаков намеревалась выловить в определенный срок 1800 ц рыбы. Треть этого срока был шторм, вследствие чего плановое задание ежедневно недовыполнялось на 20 ц. Однако, в остальные дни бригаде удавалось ежедневно вылавливать на 20 ц больше дневной нормы, и плановое задание было выполнено за день до срока. Сколько центнеров рыбы намеревалась вылавливать бригада рыбаков ежедневно?

1. х дней – планируемый срок лова рыбы.

2. у ц – планировалось вылавливать в день.

3. Составим уравнение: х ⋅ у=1800.

4. Так как планируемого срока был шторм, то за это время бригада выловила (у–20) ⋅ ⋅ х (ц).

5. В оставшееся время бригада выловила (у+20) ⋅ ( –1) (ц).

6. Составим уравнение: (у+20) ⋅ ( –1)+ (у–20) ⋅ =1800.

7. Решим систему:

3.3. Задачи, в которых требуется определить время, затраченное на выполнение предусмотренного объема работы

Планом было предусмотрено, что предприятие на протяжении нескольких месяцев изготовит 6000 насосов. Увеличив производительность труда, предприятие стало изготовлять в месяц на 70 насосов больше, чем было предусмотрено, и на один месяц раньше установленного срока перевыполнило задание на 30 насосов. На протяжении скольких месяцев было предусмотрено выпустить 6000 насосов?

1. Пусть за х месяцев предусмотрено выполнение планового задания. Тогда за (х–1) месяцев было выпущено 6030 насосов.

2. В месяц по плану предприятие планировало выпускать насосов, а фактически выпустило в месяц насосов. Из условия задачи следует уравнение: – =70. Решая это уравнение получим: х1=10; х2= (не удовлетворяет условию задачи).

Ответ: 10 месяцев.

3.4. Задачи, в которых вместо времени выполнения некоторой работы дано число рабочих, участвующих в выполнении работы

Бригада каменщиков взялась уложить 432 м3 кладки, но в действительности на работу вышло на 4 человека меньше. Сколько всех каменщиков в бригаде, если известно, что каждому работавшему каменщику пришлось укладывать на 9 м3 больше, чем первоначально предполагалось?

1. Пусть в бригаде х каменщиков. Тогда по условию задачи на работу вышло (х–4) каменщиков.

2. Каждый каменщик должен был по плану уложить м3, фактически же каждый уложил м3.

3. Из условия следует уравнение: – =9, решая которое, находим х=16.

Ответ: 16 человек.

§ 4. Задачи на проценты

Задачи этого раздела входят как составная часть в решение двух типовых задач. Заменяя проценты соответствующим количеством сотых долей, легко свести данную задачу на проценты к задаче на части.

Из сосуда, наполненного 96-типроцентным раствором кислоты, отлили 2,5 литра и долили сосуд 80-типроцентным раствором той же кислоты. Затем еще раз отлили 2,5 литра и снова долили
80-типроцентным раствором кислоты. После этого в сосуде получился 89-типроцентный раствор. Найдите объем сосуда.

Обозначим объем сосуда через V, тогда количество кислоты было . После того как из сосуда отлили 2,5 литра раствора, а затем долили сосуд 80-типроцентным раствором той же кислоты, в сосуде концентрация (С) раствора кислоты стала: , С= . Потом еще раз отлили 2,5 литра и снова долили 80-типроцентным раствором кислоты: .

После этого в сосуде получился 89-типроцентный раствор. Составим уравнение: . После преобразований получим уравнение: 7V2–80V+100=0. Решая его получим V=10 л.

Сплав состоит из олова, меди и цинка. Если от этого сплава отделить 20 г и сплавить их с 2 г олова, то во вновь получившемся сплаве масса меди будет равна массе олова. Если же отделить от первоначального сплава 30 г и прибавить 9 г цинка, то в этом сплаве масса олова равна массе цинка. Определить в процентах состав первоначального сплава.

Пусть х % – было в сплаве олова;

у % – было в сплаве меди;

z % – было в сплаве цинка.

В 20 г сплава олова, меди и цинка было соответственно: г; г; г.

В 30 г сплава олова, меди и цинка было соответственно: г; г; г. Если 20 г сплава сплавит с 2 г олова, то в новом сплаве олова будет , что равно массе меди: = .

Если 30 г сплава сплавить с 9 г цинка, то в новом сплаве цинка будет , что равно массе олова = . Составим систему:

Ответ: олова х=40 % ; меди у=50 % ; цинка z=10 % .

§ 5. Задачи для самостоятельного решения

1. Два туриста вышли одновременно из А в В и из В в А. Каждый шел с постоянной скоростью и, прийдя в конечный пункт, немедленно повернул обратно. Первый раз они встретились в 12 км от В, второй раз в 6 км от А через 6 часов после первой встречи. Найдите расстояние АВ и скорость каждого туриста.

Ответ: 30 км; 4 км/ч; 6 км/ч.

2. Из А в В в 8 часов утра вышел скорый поезд, а через час товарный. Из В в А в 9 часов утра, того же дня, вышел третий поезд, который в 10 часов утра, того же дня, встретился со скорым, а в 11 утра, того же дня, – с товарным. Товарный поезд прибыл в В на 4 часа позже скорого. Когда третий поезд прибыл в А?

Ответ: в 12 часов.

3. Два туриста вышли из А в В одновременно, причем первый турист проходит каждый километр на 5 минут быстрее второго. Первый, пройдя пятую часть пути, вернулся в А и, пробыв там 10 минут, снова пошел в В. В пункт В оба пришли одновременно. Чему равен путь АВ, если второй турист прошел его за 2,5 часа?

4. Из Ленинграда в Москву вышел товарный поезд. Через полтора часа вслед за ним вышел пассажирский поезд, скорость которого на 5 км/ч больше скорости товарного поезда. Через 15 ч после выхода пассажирский поезд не только обогнал, но и был впереди на 21 км. Определить скорость товарного поезда.

5. Турист ехал на автомобиле всего пути, а остальную часть – на катере. Скорость катера на 20 км/ч меньше скорости автомобиля. На автомобиле турист ехал на 15 мин дольше, чем на катере. Чему равны скорость автомобиля и скорость катера, если весь путь туриста равен 160 км?

Ответ: 100 км/ч, 80 км/ч;

6. Два тела движутся навстречу друг другу из двух мест, расстояние между которыми 390 м. Первое тело прошло в первую секунду 6 м, а в каждую следующую проходило на 6 м больше, чем в предыдущую. Второе тело двигалось равномерно со скоростью 12 м/с и начало движение спустя 5 с после первого. Через сколько секунд после того, как начало двигаться первое тело, они встретятся?

Ответ: через 10 с.

7. Катер прошел по течению 27 км, а против течения – 42 км, затратив на путь по течению на 1 час меньше, чем на путь против течения. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 50 м/мин.

8. Велосипедист каждую минуту проезжает на 500 м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь в 120 км он затрачивает на 2 ч больше, чем мотоциклист. Вычислить скорость каждого из них.

Ответ: 30 км/ч; 60 км/ч.

9. По двум концентрическим окружностям равномерно вращаются две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее, чем другая, и поэтому успевает сделать в 1 мин на два оборота больше. Сколько оборотов в минуту совершает каждая точка?

Ответ: 4 и 6 оборотов.

10. Часовая и минутная стрелки совпадают в полночь и начинают новый день. В котором часу этого нового дня впервые вновь совпадут часовая и минутная стрелки, если допустить, что стрелки часов движутся без скачков?

11. Два рабочих, из которых второй начал работать полутора днями позже первого, работая независимо один от другого, оклеили обоями несколько комнат за 7 дней, считая с момента выхода на работу первого рабочего. Если бы эта работа была поручена каждому отдельно, то первому для ее выполнения понадобилось бы тремя днями больше, чем второму. За сколько дней каждый из них отдельно выполнил бы эту же работу?

Ответ: 14 и 11 дней.

12. Два трактора разной мощности начали пахать поле в 14 га в 7 час и закончили одновременно. Если бы первый трактор вспахивал в час на 0,1 га больше, а второй начал бы работу на час раньше, то работа была бы окончена на 1 час 12 мин раньше. Если бы второй трактор вспахивал в час на 0,1 га больше, а первый начал бы работу на час раньше, то работа была бы окончена на 1 час 4 мин раньше. В котором часу тракторы закончили работу?

13. Для разгрузки парохода выделено две бригады. Если ко времени, за которое может разгрузить пароход первая бригада, прибавить время, за которое разгружает одна вторая бригада, то получится 12 часов. Найти эти времена, если их разность составляет 45 % времени, за которое обе бригады могут разгрузить пароход совместно.

Ответ: 6 час 40 мин; 5 час 20 мин.

14. Одну и ту же работу могут выполнить три бригады. Первая бригада выполняет 2/3 всей работы за некоторое время. Такое же время потребуется, если сначала третья бригада выполнит 1/3 часть всей работы, а затем вторая бригада выполнит 9/10 работы, оставшейся после третьей бригады. Производительность третьей бригады равна полусумме производительностей первой и второй бригад. Во сколько раз производительность второй бригады больше производительности третьей бригады?

Ответ: в 1,2 раза.

15. Трое рабочих разной квалификации выполнили некоторую работу, причем первый работал 6 часов, второй – 4 часа, третий – 7 часов. Если бы первый работал 4 часа, второй – 2 часа, третий – 5 часов, то было бы выполнено лишь 2/3 всей работы. За сколько часов рабочие закончили бы работу, если бы они работали все вместе в одно и то же время?

16. Пять человек выполняют некоторую работу. Первый, второй и третий, работая вместе, могут выполнить работу за 7,5 часов; первый третий и пятый вместе – за 5 часов; первый, третий и четвертый вместе – за 6 часов; а второй, четвертый и пятый – за 4 часа. За какое время выполнят работу эти пять человек, работая вместе?

17. 50 000 руб. принесли в течение одного года некоторый доход. Какой процент составил доход, если известно, что эти 50 000 руб. вместе с доходом за первый год в течение следующего года дали доход 2612 руб. 50 коп., причем второй год число процентов дохода было на 0,5 % больше, чем в первый год?

18. Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. В первом сплаве 40 % олова, во втором 26 % меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором цинка 30 % . Сколько килограмм олова содержится в новом сплаве?

19. В двух одинаковых сосудах объемом по 30 литров каждый, содержится всего 30 литров спирта. Первый сосуд доливают доверху водой и полученной смесью дополняют второй сосуд, затем из второго сосуда отливают в первый 12 литров новой смеси. Сколько спирта было первоначально в каждом сосуде, если во втором сосуде оказалось на 2 литра спирта меньше, чем в первом?

Ответ: 10 л, 20 л.

20. Процентное содержание спирта в трех растворах образует геометрическую прогрессию. Если смешать эти растворы в отношении 2 : 3 : 4, то получится раствор, содержащий 32 % спирта. Если же их смешать в отношении 3 : 2 : 1, то получится 22-хпроцентный раствор. Сколько процентов спирта содержит каждый раствор?

Ответ: 12 % , 24 % , 48 % .

21. Из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км, выехали навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Велосипедист, скорость которого на 30 км/ч меньше скорости мотоциклиста, выехал на 2/3 часа раньше. Найдите время, затраченное каждым из них, если встретились они на середине пути.

Ответ: 1 час и 1/3 часа.

22. Моторная лодка прошла 20 км против течения реки и 14 км по озеру, затратив на путь по озеру на 1 час меньше, чем на путь по реке. Скорость течения реки равна 4 км/ч. Найдите скорость лодки против течения.

23. Из пункта А в пункт В выехал автобус, а из В в А одновременно с ним выехал автомобиль. Скорость автобуса на 20 км/ч меньше скорости автомобиля, поэтому он прибыл в пункт В на 1 час позже, чем автомобиль в пункт А. Сколько времени был в пути автомобиль, если расстояние АВ равно 120 км?

24. Лодочник проплыл 3 км по течению реки и 2 км против течения реки за то же время, за которое мог бы проплыть плот 3 км по течению. Собственная скорость лодки 2 км/ч. Найдите скорость течения реки.