Задачи на течение 8 класс с уравнениями

Урок по теме «Решение текстовых задач на движение». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели:

Универсальные учебные действия:

Вид урока: урок усвоения знаний, умений и навыков.

Решение задач на движение с помощью рациональных уравнений

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний учащихся.

Наиболее удобные обозначения при решении задач на движение

S (км)– путь, расстояние;

V (км/ч) – скорость;

Связь при равномерном движении по прямой между этими величинами такова:

1х>1х+2; 15у-2>15у+2; 60х-7>60х;

Из двух дробей с равными числителями больше та, у которой знаменатель меньше:

Условия задачи удобно анализировать, заполняя таблицу.

3. Мотивация учебной деятельности учащихся.

4. Изучение нового материала.

Основные этапы решения текстовой задачи алгебраическим методом

1. Анализ условия задачи и его схематическая запись.

2. Перевод естественной ситуации на математический язык (построение математической модели: введение переменной и составление дробного рационального уравнения).

3. Решение полученного уравнения.

4. Интерпретация полученного результата.

Турист проплыл на лодке против течения реки 6 км и по озеру 15 км, затратив на путь по озеру на 1 час больше чем на путь по реке. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите скорость лодки при движении по озеру.

Путь S (км.)	Скорость V (км/ч.)	Время t (ч)
Против течения	6 км	(х-2)км/ч
По озеру	15 км	х км/ч

На 1 час больше.

Пусть х км/ч скорость движения лодки по озеру. По условию х > 0.

Ответ: собственная скорость лодки 6 км/ч или 5 км/ч.

5. Закрепление. Коррекция умений и навыков учащихся.

Учащимся предлагается выбрать правильный ответ. Приложение 1

Учащиеся выходят к доске по одному, заполняют таблицу и составляют уравнение. Для экономии времени всем учащимся раздаются листы с условиями задач и пустыми таблицами. Успешным учащимся предлагается для одной из задач провести полное решение.

1. Теплоход проходит по течению до пункта назначения 126 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения 2 км/ч, стоянка длится 8 ч, а в пункт отправления теплоход возвращается ровно через сутки после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Путь S (км)	Скорость V (км/ч)	Время t (ч)
По течению	126 км	(х+2)км/ч
Против течения	126 км	(х-2)км/ч

Возвращается через 24 ч.

Пусть х км/ч собственная скорость теплохода. По условию х > 2.

2. Пристани А и В, расстояние между которыми равно 120 км, расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 5 км/ч. Катер проходит от А до В и обратно без остановок со средней скоростью 24 км/ч. Найдите собственную скорость катера.

Путь S (км)	Скорость V (км/ч)	Время t (ч)
Из А в В.	120 км	(х+5)км/ч
Из В в А.	120 км	(х-5)км/ч
Туда и обратно.	240 км	24 км/ч

Пусть х км/ч собственная скорость катера. По условию х > 5.

3. Из пункта А в пункт В, расположенного на расстоянии 100 км, отправился автобус со скоростью 36 км/ч. Как только автобус проехал пятую часть пути, вслед за ним выехала машина. В пункт В они прибыли одновременно. Найдите скорость машины в км/ч.

Автобус

Машина

Путь S (км.)	Скорость V (км/ч.)	Время t (ч)
100 км	36 км/ч
100 км	Х км/ч

Больше на ч

4. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 80 км, выехал автобус. В середине пути он был задержан на 10 минут, но, увеличив скорость на 20 км/ч, прибыл в В вовремя. С какой скоростью автобус проехал первую половину пути?

Путь
S (км.)

Скорость
V (км/ч.)

Время
t (ч)

I половина40 кмх км/ч

II половина40 км(х+20)км/ч

На 10 мин меньше

5. Дополнительно: Велосипедист проехал из поселка до станции с некоторой постоянной скоростью, а возвращался со скоростью на 5 км/ч большей. Какова была первоначальная скорость велосипедиста, если известно, что средняя скорость на всем пути следования составляла 12 км/ч?

6. Проверка уровня усвоения новых знаний, умений и навыков.

Решение задач на движение по реке, математика, 8 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

«Текстовые задачи по математике», 8 класс Улатова Наталья Николаевна

Задачи на движение обычно содержат следующие величины: – время, – скорость, – расстояние. Уравнения, связывающее эти три величины: v S t

21,6км/ч Устно. Собственная скорость катера 21,6 км/ч, а скорость течения 4,7км/ч. Найдите скорость катера по течению и против течения. 21,6км/ч Против течения По течению 4,7км/ч

Против течения По течению vпо теч= vсоб+ vтеч vпр теч= vсоб – vтеч vтеч.

В диафильме «Дюймовочка» есть такой кадр. Лист кувшинки поплыл по течению и жаба никак не могла догнать Дюймовочку. Объяснить физическую несостоятельность этой ситуации.

Составь и реши уравнение самостоятельно 1. На путь по течению реки катер затратил 3ч, а на обратный путь 4,5ч. Какова скорость течения реки, если скорость катера относительно воды 25 км/ч? 25–х 4,5(25–х) 4,5 Пусть vтеч = x 1й способ справка справка справка справка Это условие поможет ввести х …

25+х t, ч v, км/ч 3 25–x 4,5 Решим задачу с помощью пропорции. 2й способ Составим пропорцию для обратно пропорциональной зависимости:

2. Моторная лодка прошла 18 км по течению и 14 км против течения, затратив на весь путь 3 ч 15 мин. Найдите скорость течения, если собственная скорость лодки 10 км/ч. 10–х 14 Пусть vтеч = x справка справка Это условие поможет ввести х … справка 3 Составь и реши уравнение самостоятельно

3. Катер прошел 75 км по течению и столько же против течения. На весь путь он затратил в 2 раза больше времени, чем ему понадобилось бы, чтобы пройти 80 км в стоячей воде. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения равна 5 км/ч? х–5 75 Пусть vсоб. = x справка справка Это условие поможет ввести х … справка х 80 справка Реши уравнение самостоятельно

x + y = 15 4. Катер проплыл 15 км вниз по течению реки за 1 ч и вернулся на ту же пристань, потратив на обратный путь 1,5 ч. Найти скорость катера относительно воды и скорость течения воды. 15 1,5 Пусть vсоб. = x Вопрос задачи поможет нам ввести х и у справка 15 10 , vтеч. = y x + y = x – y = + 2x = 25 x = 12,5 y = 2,5 Ответ: собственная скорость катера 12,5 км/ч, скорость течения 2,5 км/ч. 15 10

= b b(x–y) Разделим обе части на y(b–a) y a(x+y) Расстояние, например, разделим на скорость плотов (это скорость течения ) a(x+y) = b(x–y) ax+ay = bx–by ay+by = bx–ax y(a+b) x(b–a) = 5. Катер затрачивает на путь от А до В по течению реки ч, а на обратный путь часов. Сколько часов будут плыть от А до В плоты? Предполагается, что собственная скорость катера на всем пути от А до В и от В до А постоянна. x–y Пусть vсоб. = x , vтеч. = y a b Раскроем скобки Перегруппируем Ответим на вопрос задачи + a = a( Разделим каждое слагаемое на y Вынесем за скобки a +1) Выполним замену Упростим выражение в скобках a(x+y) справка *

6. Пловец плывет против течения реки и встречает плывущую по течению реки пустую лодку. Продолжая плыть против течения еще минут после момента встречи, он затем поворачивает назад и догоняет лодку в метрах от места встречи. Найти скорость течения реки. t S Просмотрев сюжет задачи, мы видим, что вид движения менялся. Это было движение в противоположных направлениях, а на последнем этапе – вдогонку. Поэтому нам необходимо рассмотреть несколько схем. *

6. Пловец плывет против течения реки и встречает плывущую по течению реки пустую лодку. Продолжая плыть против течения еще минут после момента встречи, он затем поворачивает назад и догоняет лодку в метрах от места встречи. Найти скорость течения реки. t S Пусть vтеч. = x – это также и скорость пустой лодки vсоб. = y – это собственная скорость пловца vпр. теч. = y–x – это скорость пловца против течения vпо. теч. = y+x – это скорость пловца по течению *

Найдем расстояние, на которое удалятся лодка и пловец за t мин 6. Пловец плывет против течения реки и встречает плывущую по течению реки пустую лодку. Продолжая плыть против течения еще минут после момента встречи, он затем поворачивает назад и догоняет лодку в метрах от места встречи. Найти скорость течения реки. t S vтеч. = x vсоб. = y vпр. теч. = y–x vпо. теч. = y+x x 1) tx проплывет лодка за t мин. 2) t(y–x) проплывет пловец за t мин. 4) (y+x) – x = y скорость движения вдогонку 5) ty : y = t произойдет вторая встреча 6) tx проплывет лодка до второй встречи tx tx 7) S=2tx, t(y–x) 3) t(y–x)+ tx = ty проплывут вместе за t мин. Далее вид движения меняется. Теперь это движение вдогонку. t *

7. От пристани по течению реки отправился плот. Через 5 ч 20 мин вслед за плотом той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км. Какова скорость плота, если известно, что скорость моторной лодки больше скорости плота на 12 км/ч? х +12 20 20 На Это условие поможет ввести х … 5ч 20 мин Составьте и решите уравнение самостоятельно

Задачи для самостоятельной работы. 1. Моторная лодка прошла путь от А до В по течению реки за 2,4 ч, а обратный путь за 4 ч. Найти скорость течения реки, если известно, что скорость лодки относительно воды 16 км/ч. 2. Моторная лодка прошла по течению реки 36 км и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, зная, что скорость течения равна 3 км/ч. 3. Моторная лодка и парусник, находясь на озере в 30 км друг от друга, движутся навстречу и встречаются через 1 ч. Если бы моторная лодка находилась в 20 км от парусника и догоняла его, то на это потребовалось бы 3 ч 20 мин. Определить скорости лодки и парусника, полагая, что они постоянны и неизменны в обоих случаях.

Движение по ветру и против ветра. Над пунктом А вертолет был в 8ч 30 мин. Пролетев по прямой км, вертолет оказался над пунктом В. Продержавшись 5 мин в воздухе над пунктом B, вертолет пошел обратным курсом по то же трассе. К пункту А он вернулся в 10 ч 35 мин. От А к В он летел по ветру, а обратно против ветра. Скорость ветра все время была постоянной. Найти скорость ветра, если собственная скорость вертолета также все время постоянна и при безветрии равна км/ч. При каком соотношении между заданными величинами задача имеет решение? по ветру против ветра * Решите задачу самостоятельно S v

Краткое описание документа:

Разработка урока по теме «Решение задач на движение по реке» для обучающихся 8 класса, с использованием презентации. в ДАННОЙ РАЗРАБОТКЕ ПРЕДСТАВЛЕНЫ РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ НА ДАННУЮ тему, представлен различный уровень данных задач, материал предоставлен очень наглядно и красочно. В разработке учитывается индивидуальный темп работы обучающихся.

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Примеры

Пример 1. От посёлка до речки 60 км. Утром турист на скутере отправился на речку. Вечером он возвратился в посёлок, но при этом ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей и потратил на дорогу на 18 мин больше. Сколько времени ехал турист от речки к посёлку?

Пусть t — время вечером, на дорогу от речки к посёлку.

Тогда время утром, на дорогу от посёлка к речке t- $\frac<18><60>$ = t-0,3 (ч)

По условию разность скоростей равна 10:

$$1,8=t(t-0,3), t \neq 0, t \neq 0,3$$

$$ D = 0,3^2-4 \cdot (-1,8) = 0,09+7,2=7,29 = 2,7^2 $$

$$ t = \frac<0,3 \pm 2,7> <2>= \left[ \begin t_1 = -1,1 \\ t_2 = 1,5 \end \right. $$

Выбираем положительный корень, t = 1,5 ч

Пример 2. Катер прошёл по течению 120 км. На этот же путь против течения от тратит времени в 1,5 раза больше. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде 20 км/ч.

Пусть u — скорость течения

По условию время против течения в 1,5 раз больше:

$$ 1,5(20-u) = 20+u, u \neq \pm 20 $$

Пример 3. В раствор, содержащий 50 г соли, добавили 150 г воды. В результате концентрация соли уменьшилась на 7,5%. Найдите первоначальную массу раствора.

Пусть x — масса воды в первоначальном растворе, в граммах.

По условию разность концентраций:

$$ 50 \cdot 150 = \frac<75> <1000>(x+50)(x+200), x \neq -50, x \neq -200 $$

$$ D = 250^2-4 \cdot (-90000) = 62500+360000 = 100(625+3600) = $$

$$ = 100 \cdot 4225 = 650^2 $$

$$ x = \frac<-250 \pm 650> <2>= \left[ \begin x_1 = -450 \\ x_2 = 200 \end \right. $$

Выбираем положительный корень x=200 г – начальное количество воды в растворе. Начальная масса всего раствора: 50+200 = 250 г.

Пример 4. Мастер и его ученик, работая вместе, выполняют норму на 8 ч. Если каждый работает самостоятельно, то мастер тратит на выполнение нормы на 12 ч меньше, чем ученик. Сколько часов тратит каждый из них на выполнении нормы?

Пусть N изделий – это норма, t — время, потраченное мастером.

Из последней строки таблицы получаем:

$$ 8(2t+12) = t(t+12), t \neq 0, t \neq -12$$

$$ t^2-4t-96 = 0 \Rightarrow (t-12)(t+8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin t_1 = -8 \\ t_2 = 12 \end \right. $$

Выбираем положительный корень, t=12 ч — время, которое мастер потратит самостоятельно. Ученик потратит 12+12=24 ч.

Ответ: 12 ч и 24 ч

Пример 5*. Один фрилансер может выполнить проект на 12 дней быстрее, чем второй. Над новым проектом первый фрилансер сначала проработал самостоятельно 6 дней, а затем к нему присоединился второй. Через 3 дня совместной работы \frac<3> <5>проекта было готово.

За сколько дней каждый из фрилансеров может выполнить проект самостоятельно? За сколько дней проект был фактически выполнен?

Пусть d — количество дней первого фрилансера при самостоятельной работе.