Решение задач с помощью квадратных уравнений
Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений
Шаг 1. Проанализировать условие задачи, обозначить одно из неизвестных буквой (переменной). Если это удобно, обозначить все неизвестные разными буквами и выбрать «основную» переменную.
Шаг 2. Выразить другие неизвестные через основную переменную.
Шаг 3. Записать уравнение.
Шаг 4. Решить полученное уравнение.
Шаг 5. Истолковать результат в соответствии с условием задачи.
Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 5 см больше ширины, а площадь равна 165 см2.
Шаг 1. Пусть x – ширина прямоугольника (в см).
Шаг 2. Тогда его длина (x+5), и площадь: S = x(x+5)
Шаг 3. По условию получаем уравнение: x(x+5) = 165
$$ x^2+5x-165 = 0 \Rightarrow (x+16)(x-11) = 0 \Rightarrow \left[ \begin
Шаг 5. Для ширины прямоугольника выбираем положительный корень x = 11.
Тогда длина x+5 = 16. Периметр: P = 2(11+16) = 54 (см).
Примеры
Пример 1. Найдите два числа, если их сумма равна 36, а произведение 315.
Пусть $x_1$ и $x_2$ — искомые числа.
Известно, что $x_1+x_2 = 36, x_1 x_2 = 315$.
По теореме Виета данные два числа являются корнями уравнения
$$ x^2+bx+c = 0, b = -(x_1+x_2 ) = -36, c = x_1 x_2 = 315$$
$$ D = 36^2-4 \cdot 315 = 1296-1260 = 36 = 6^2 $$
$$ x = \frac<36 \pm 6> <2>= \left[ \begin
Пример 2. Найдите два числа, если их разность равна 9, а произведение 162.
Пусть x и y — искомые числа. Пусть $x \gt y$.
По условию $x-y = 9 \Rightarrow y = x-9. $
Произведение xy = x(x-9) = 162
$$ D = 9^2-4 \cdot (-162) = 81+648 = 729 = 27^2 $$
$$ x = \frac<9 \pm 27> <2>= \left[ \begin
Получаем две пары чисел: $ \left[ \begin
Ответ: -9 и-18; или 18 и 9
Пример 3. Задача из «Арифметики» Магницкого (1703 год)
Найдите число, зная, что прибавив к его квадрату 108, получим число в 24 раза больше данного.
Пусть x — искомое число.
По условию $x^2+108 = 24x$
$$ x^2-24x+108 = 0 \Rightarrow (x-6)(x-18) = 0 \Rightarrow \left[ \begin
Пример 4. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 590.
Пусть n-1,n,n+1 — данные три числа.
$$ 3n^2 = 588 \Rightarrow n^2 = 196 \Rightarrow n = \pm \sqrt <196>= \pm 13 $$
Получаем две последовательности: -14,-13,-12 или 12,13,14
Ответ: -14,-13,-12 или 12,13,14
Пример 5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 700 км, выехал автобус. Из-за непогоды водитель уменьшил обычную скорость на 10 км/ч, и автобус ехал на 1 час 40 минут дольше. Сколько часов автобус обычно тратит на дорогу?
Урок алгебры для 8-го класса по теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений»
Разделы: Математика
Тема урока: Решение задач с помощью квадратных уравнений.
Цели урока:
- Закрепить навыки решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений;
- Развивать у учащихся внимание при чтении условия задачи и выборе способа решения уравнения;
- Воспитание ответственности и коллективизма у учащихся.
Оборудование: мультимедийный проектор, экран, графопроектор, шесть конвертов с шестью карточками, на каждой из которых написана задача.
Структура урока:
- Организационный момент: замена тетрадей, учащиеся рассаживаются по группам: 6 групп по 5-6 человек в каждой, группы составлены разноуровневые– 3 мин.
- Мотивация учебной деятельности через осознание учащимися практической значимости применяемых знаний и умений, сообщение темы, цели и задач урока -2 мин
- Актуализация изученного материала:
- Вопросы:
- Какое уравнение называется квадратным?
- Что показывает дискриминант?
- Формулы корней квадратного уравнения?
- Задания для устного решения Презентация 1 – 7 мин:
- Решить уравнения;
- Найти натуральный корень уравнения.
- Решение задач (работа в группах):
Каждой группе предлагается конверт с 6 задачами. Набор задач у каждой группы одинаков. Каждый ученик выбирает себе задачу и решает ее. В первую очередь выбирать задачи № 1-5. Возможно советоваться с ребятами из своей группы. Учитель контролирует процесс и, в случае необходимости, оказывает помощь – 7 мин.
От каждой группы выходят по 1 человеку (те, кто раньше решил свою задачу) и оформляют свои решения на доске (3 чел.), на пленках для графопроектора (2 чел). Учитель контролирует, чтобы задачи были различны (задачи 1-5).
Весь класс сверяет свои решения с теми, которые представлены на доске. Те задачи, которых у учеников нет в тетрадях, они записывают. Для удобства текст проверяемой на доске задачи представлен в виде слайдов Презентации 2.
В ходе проверки задач, записанных на доске, остальные ребята, решавшие эти же задачи, вносят свои коррективы, если необходимо. Задачу 6 проверяет учитель в тетрадях, если есть время, то – разбор на доске. (15 мин.)
- Подведение итогов урока, обобщение и систематизация результатов выполненных заданий. (4 мин.)
- Постановка домашнего задания: № 656, 651, составить свою задачу, аналогичную одной из решенных в классе, и решить ее. (2 мин)
Задачи (в порядке разбора их у доски):
1. Несколько подруг решили обменяться фотографиями на память. Чтобы каждая девочка получила по одной фотографии каждой своей подруги, потребовалось 30 фотографий. Сколько было подруг?
Пусть было х подруг, тогда каждая должна получить по (х – 1) фотографии. Всего фотографий было х(х – 1), что по условию задачи равно 30. Составим и решим уравнение:
х(х – 1) = 30
х 2 – х – 30 = 0,
D = 1 + 120 = 121,
х = ,
х1 = – 5 – не удовлетворяет смыслу задачи,
х2 = 6.
По смыслу ясно, что х – натуральное число, и существует только два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 30. Итак, х = 6. 6 подруг обменивались фотографиями.
2. Несколько приятелей решили сыграть турнир по шахматам. Кто-то из них подсчитал, что если каждый сыграет с каждым по одной партии, то всего будет сыграно 36 партий. Сколько было приятелей?
Решение:
Пусть х приятелей участвует в турнире, тогда каждый из них сыграет (х – 1) партию, но в этом случае партия каждой пары учтена дважды, значит всего было сыграно х(х – 1) партий, что по условию задачи равно 36. Составим и решим уравнение:
х(х – 1) = 36,
х(х – 1) = 72,
х 2 – х – 72 = 0,
D = 1 + 288 = 289,
х = ,
х1 = 9,
х2 = – 8 – не удовлетворяет смыслу задачи.
Рассуждения, аналогичные задаче 1.
9 приятелей участвовало в турнире.
Ответ: 9 приятелей.
3. Задача Диофанта (III в.)
Найти два числа. Зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96.
Пусть х – одно из чисел, тогда второе число – (20 – х). Значит х(20 – х) – произведение этих чисел, что по условию задачи равно 96. Составим и решим уравнение:
х(20 – х) = 96,
20х – х 2 – 96 = 0,
х 2 – 20х + 96 = 0,
= 100 – 96 = 4,
х = 10 + 2,
х1 = 12,
х2 = 8.
12 – первое число, тогда 20 – 12 = 8 – второе число;
8 – первое число, тогда 20 – 8 = 12 второе число.
4. Решение Диофанта (показывает учитель):
Пусть числа 10 + х и 10 – х (сумма их равна 20), тогда (10 + х)(10 – х) – их произведение, что равно 96. Имеем:
(10 + х)(10 – х) = 96,
100 – х 2 = 96,
х 2 = 4.
х = + 2.
В обоих случаях искомые числа 12 и 8.
5. Задача Бхаскары, Индия, XII в.
Цветок лотоса возвышается над тихим озером на полфута. Когда порыв ветра отклонил цветок от прежнего места на 2 фута, цветок скрылся под водой. Определите глубину озера.
Пусть глубина озера х ф., тогда длина стебля (х + ) ф. Учитывая, что цветок рос вертикально, составим и решим уравнение:
х 2 + 22 = (х + ) 2
х 2 + 4 = х 2 + х +
х = 3
3 фута – глубина озера.
Ответ: 3 ф.
6. В море встретились два корабля. Один из них шел в восточном направлении, другой – в северном. Скорость первого на 10 узлов больше, чем второго. Через 2 часа расстояние между ними оказалось равным 100 милям. Найдите скорость каждого корабля.
Пусть х узлов – скорость второго корабля, тогда (х – 10) узлов – скорость первого корабля, за 2 часа они пройдут 2х и 2(х – 10) миль соответственно, т.к. они идут в перпендикулярных направлениях, то, используя теорему Пифагора, составим и решим уравнение:
(2х) 2 + (2(х + 10)) 2 = 100 2
4х 2 + 4(х 2 + 20х + 100) = 10000
2х 2 + 20х + 100 = 2500
х 2 + 10х + 50 – 1250 = 0
х 2 + 10х – 1200 = 0
= 25 + 1200 = 1225
х = – 5 + 35
х1 = – 40 – не удовлетворяет смыслу задачи,
х2 = 30
30 узлов – скорость корабля, идущего на север, тогда 30 + 10 = 40 (узлов) – скорость корабля, идущего на восток.
Ответ: 30 узлов и 40 узлов.
7. Два равных прямоугольника сложили так, что они образуют букву Т и их общей частью является меньшая сторона одного из прямоугольников. Периметр образовавшейся фигуры равен 42 м, а площадь каждого прямоугольника равна 27 м 2 . Найти стороны прямоугольников.
P = 3b + 3a + (b – a) = 4b + 2a, a = – 2b, S = ab
Пусть b см длина прямоугольника, тогда ширина прямоугольника ( – 2b) м, т.к. P = 42 м, то длина – (21 – 2b)м. Площадь прямоугольника b(21 – 2b), что по условию равно 27 м 2 . Составим и решим уравнение.
b(21 – 2b) = 27
21b – 2b 2 – 27 = 0
2b 2 – 21b + 27 = 0
D = 441 – 4 * 2 * 27 = 441 – 216 = 225
b =
b1 = 9
b2 = 1
Если 9 м – длина, тогда 21 – 2 * 9 = 3(м) – ширина.
Если 1м – длина, тогда 21 – 2 * 1 = 18(м) – ширина, что не удовлетворяет смыслу задачи.
Задачи на тему квадратные уравнения 8 класс
Найдите корни уравнения .
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
Решите уравнение .
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение −6.
Тем самым, это числа −2 и 3.
Решите уравнение .
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
Запишем уравнение в виде По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна −3, а их произведение −4.
http://urok.1sept.ru/articles/538402
http://oge.sdamgia.ru/test?theme=43