Задачи на тему уравнение сферы

Задачи на тему Сфера и шар

1.1 Напишите уравнение сферы с центром A, проходящей через точку N, если А(-2; 2; 0), N (5; 0; -1); А (-2; 2; 0), N (0; 0; 0); А (0; 0; 0), N (5; 3; 1)
РЕШЕНИЕ

1.2 Все стороны ромба, диагонали которого равны 15 см и 20 см, касаются сферы радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба.
РЕШЕНИЕ

1.1 Напишите уравнение сферы радиуса R с центром A, если А (2; -4; 7), R = 3; А (0; 0; 0), R = √2; А (2; 0; 0), R = 4.
РЕШЕНИЕ

1.2 Через точку, делящую радиус сферы пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная к этому радиусу. Радиус сферы равен R. Найдите радиус получившегося сечения; площадь боковой поверхности конуса, вершиной которого является центр сферы, а основанием полученное сечение
РЕШЕНИЕ

1.3 Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точка касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.
РЕШЕНИЕ

1.1 Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16 см.
РЕШЕНИЕ

1.2 Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 10 см, 10 см и 12 см.
РЕШЕНИЕ

2.1 Площадь сферы равна 324 см2. Найдите радиус
РЕШЕНИЕ

2.2 Шар и цилиндр имеют равные объемы, а диаметр шара равен диаметру основания цилиндра. Выразите высоту цилиндра через радиус шара.
РЕШЕНИЕ

2.1 Площадь сечения сферы, проходящего через ее центр, равна 9 м2. Найдите площадь сферы.
РЕШЕНИЕ

2.2 Используя формулу площади сферы, докажите, что площади двух сфер пропорциональны квадратам их радиусов.
РЕШЕНИЕ

2.3 Радиусы двух параллельных сечений сферы равны 9 см и 12 см. Расстояние между секущими плоскостями равно 3 см. Найдите площадь сферы.
РЕШЕНИЕ

2.1 Найдите площадь сферы, радиус которой равен 6 см; 2 дм; √2 м; 2√3 см.
РЕШЕНИЕ

Урок «Сфера. Уравнение сферы»

Краткое описание документа:

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Продолжаем изучение сферы.

На прошлых занятиях вы познакомились с определением сферы и шара.

Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка — центр сферы.

Заданное расстояние — радиус сферы.

Прежде чем вывести уравнение сферы, познакомимся с понятием уравнения поверхности в пространстве.

Зададим прямоугольную систему координат Оxyz и некоторую поверхность F.

Уравнением поверхности F называется уравнение с тремя переменными x, y, z, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности F и не удовлетворяют координаты точки, не принадлежащей этой поверхности.

1.Рассмотрим сферу радиуса R и с центром С(x0; y0; z0).

2.Найдём расстояние от произвольной точки М(x; y; z) до центра С( x0 ; y0 ; z0) по формуле для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.

3. Если точка М лежит на сфере, то отрезок МС равен радиусу R, то есть

4.В случае если точка М не принадлежит данной сфере, то R≠МС, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2.

5. Таким образом, в прямоугольной системе координат Оxyz уравнение сферы с центром

С (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R имеет вид:

Применим полученные знания при решении задач.

Записать уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N, если А(-2;2;0) и N(5;0;-1).

1.Запишем уравнение сферы с центром

А (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R:

2.Подставим соответствующие координаты центра сферы А в данное уравнение:

Уравнение сферы с центром в точке А с координатами (-2;2;0) примет вид:

3.Так как сфера проходит через точку N с координатами (5;0;-1), то её координаты удовлетворяют уравнению сферы, подставим координаты этой точки в полученное уравнение:

Таким образом, уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N имеет вид:

Сфера задана уравнением:

1) Найти координаты центра и радиус сферы;

2) Найти значение m, при котором точки

А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере.

1. Уравнение данной сферы имеет вид:

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 или x2+ y2+2y + z2-4z=4

Выделим полный квадрат для переменных y и z, для этого прибавим и одновременно вычтем 1 и 4 в левой части уравнения:

x2+ y2+2y+1-1 + z2-4z+4-4=4

Уравнение примет вид:

x2+( y+1)2+( z-2)2-5=4 или

Таким образом, центр сферы имеет координаты:

О (0;-1;2), радиус равен R=√9=3

2.Уравнение сферы с центром в точке О (0;-1;2) и радиусом R=3 имеет вид:

Точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере, значит их координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим координаты этих точек в уравнение сферы и решим систему уравнений:

Упростим полученные уравнения, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые:

Таким образом, мы получили 4 значения m:

Несложно проверить, что при m=-4 и m=6 координаты точек А и В не удовлетворяют уравнению сферы. Проверьте самостоятельно.

Итак, при m=2 точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат сфере, заданной уравнением

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 с центром в точке

О (0;-1;2) и радиусом R=3.

—> —>

АвторДата добавленияРазделПодразделПросмотровНомер материала

Инфоурок

07.11.2014

Геометрия

Видеоурок

51798

1003

© 2022 Проект «Уроки математики»

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.

Урок по теме «Сфера. Уравнение сферы»

Разделы: Математика

Класс: 11

Ключевые слова: сфера , уравнение сферы

Цель урока: Сформировать на уроке понятие и определение сферы, шара и их элементов, вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат, формировать навык решения задач по данной теме.

Цели урока:

• Образовательные: Сформировать на уроке понятие и определение сферы, шара и их элементов, вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат, формировать навык решения задач по данной теме.
• Развивающие: развивать способности к самостоятельному планированию и организации работы, к самоанализу и способности коррекции собственной деятельности.
• Воспитательные:
  • воспитывать познавательный интерес к математике;
  • воспитывать информационную культуру и культуру общения;
  • воспитывать наблюдательность, самостоятельность, способность к коллективной работе.

Оборудование: циркуль; рисунки; компьютер, проекционный экран, проектор.

Формы работы: самостоятельная работа.

Тип урока: урок получения новых знаний.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Актуализация

а) на доске изображена окружность

• Как называется линия изображенная на плоскости?
• Вспомните определение окружности. – Окружность-множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки.
• Как называются элементы окружности? – Данная точка центр, отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности радиус, отрезок, соединяющий любые две точки окружности и проходящий через центр называется диаметр.
• Как называется часть плоскости ограниченная окружностью? – Круг.
• Дайте определение круга. – Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

б) Вспомните название уравнений, записанных на доске

Общий вид уравнения окружности.

в) докажите, что данное уравнение является уравнением окружности:

Чему равен радиус и назовите координаты центра.

г) Принадлежит ли точка М(2;2) данной окружности?

• Что изучает стереометрия? – Стереометрия изучает свойства фигур в пространстве
• Как вы думаете, существует ли поверхность, состоящая из точек пространства, равноудаленных от данной точки? – Да
• Такая поверхность называется сферой.

3. Формирование знаний, умений и навыков

Итак, тема сегодняшнего урока «Сфера».

Запишите тему сегодняшнего урока в тетрадях.

Цели: Я уверена, что вы неоднократно встречались в жизни не только со сферой, но и с шаром. Сегодня на уроке мы с вами сформулируем определения этих пространственных фигур, их элементов и выведем уравнение сферы.

1. Какая геометрическая фигура у вас ассоциируется со сферой? (окружность).
2. Как бы вы сформулировали определение сферы? – Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
3. Привести примеры окружающей обстановки, дающей представление о сфере.
4. Как называется данная точка? – центр сферы
5. Как называется данное расстояние? – радиус сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы.
   Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром.
6. А что такое шар? – Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
7. Чем он отличается от сферы? Давайте разберемся в этом вопросе, а для этого воспользуемся презентацией. – Шар содержит все точки пространства, которые расположены от точки О на расстоянии, не превышающемR, и не содержит других точек.
8. Можно ли сферу и шар отнести к телам вращения? — Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.

4. Первичное закрепление

5. Уравнение сферы

Задание: Вывести уравнение сферы с центром в точке С(x₀;y₀;z₀) радиуса R, используя формулу расстояния между двумя точками с заданными координатами.

• Найдите расстояние от произвольной точки М (x;y;z) до С(x₀;y₀;z₀)
• Почему мы находим именно это расстояние? – так как этоR
• Формула для нахождения расстояния между двумя точками в пространстве?
• Если точка М лежит на сфере, то МС = R.
  Вывод: уравнение сферы .

6. Закрепление изученного материала

Устно (слайд) № 577(а), 579 (а,г)

7. Самостоятельная работа

8. Рефлексия

Итак, что сегодня нового мы узнали на уроке?

• Определение сферы
• Определение шара
• Определение элементов сферы и шара
• Как можно получить сферу и шар вращением
• Уравнение сферы