Задачи на тему уравнение сферы 11 класс

Урок геометрии на тему «Сфера и шар. Уравнение сферы». 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Цель: Определение шара и сферы (шаровой поверхности) и связанных с ним понятий (центр, радиусы, диаметры, диаметрально противоположные точки). Рассмотреть уравнение сферы.

Оборудование: плакаты, модели шара, сферы.

2) Проверка домашнего задания.

3) Повторить определение окружности, уравнение окружности. Решить устно две задачи.

2. Изучение нового материала.

1) Определение сферы и шара (на моделях и рисунках) №574 (а).

2) Уравнение сферы.

3) Решение устных примеров.

3. Закрепление материала. № 576 (а), 576 (б)-С, 578 (г), 577 (а), 579 (а, б)

4. Домашнее задание: параграф 3. П 58,59. №576 (б), 577 (б), 579(в, г), 574(б).

6. Решение задач повышенной сложности.

1) Организационный момент

2) Проверка домашнего задания.

3) Учитель: Ребята, вам на дом было повторить определение окружности, круга, расстояние между двумя точками в пространстве. Уравнение окружности.

Показываю плакат окружности, круга и повторяем определение.

Ученики:

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

Учитель: Напишите, пожалуйста, на доске уравнение окружности (x-x₀) 2 + (y-y₀) 2 = R 2 , где (x₀; y₀)- центр окружности, R- радиус, (x; y)- координата центра окружности.

Устно. Найти уравнение окружности?

1) (x-4) 2 +(y-3) 2 =9. 2) x 2 + y 2 =4. 3) (0-4) 2 +(0-3) 2 =R 2 . 4) 16+9=R 2 .

5)25=R 2 . 6) R=5. 7)(x+4) 2 +(y-3) 2 =25.

Учитель: Найдите расстояние М₁ М₂, если М₁ (-3; 0; 4), М₂ (0; 6; 5). М₁ М₂ = (0-3) 2 + (6-0) 2 +(5-4) 2 = 46.

Следовательно, d= (x-x) 2 +(y-y) 2 + (z-z) 2 .

2. Объяснение нового материала. Сфера.

1) Учитель: Геометрия изучает форму и взаимное расположение фигур в пространстве. Мы живем в мире трех измерений.

Окружность и круг это пространственные тела или плоские?

В какое геометрическое тело превратится окружность (круг), если попадет в пространство?

Ученики: В сферу и шар.

Учитель: (показывает плакаты) Остановимся на сфере.

1). Сферу можно получить вращением полуокружности вокруг ее диаметра как оси.

2). Границы шара называется шаровой поверхностью или сферой.

3). Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Обозначение. (Рассказываю с помощью плаката) : Радиус, диаметр, центр сферы D=2R, обозначение сферы .

1. Шар — может быть получен вращением полукруга вокруг диаметра как оси.

2. Шаром называется тело, ограниченное сферой.

3. Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки.

Эта точка называется Центром шара. А данное расстояние – радиусом шара. Отрезок соединяющий две точки шаровой поверхности проходящей через ее центр – называется диаметром.

А теперь запишем число, тему: п. 48. Шар. Сфера.

В тетрадях рисуем один чертеж, пишем определения и обозначения. Пишем три определения шара и сферы. (под диктовку)

3. Закрепление. №574 (а, б)

Дано: сфера, т О — центр, R — радиус т.А и В € . а) R= 50 см, АВ= 40 см б) R=15 мм, АВ=18 мм.

Найти: ОМ.

Решение. а) ОА=ОВ= R=50 см. Следовательно треугольник АОВ — равнобедренный —> ОМ — высота (по свойству медианы в равнобедренном треугольнике). Рассмотрим треугольник АОМ (LО=90 0 ). По теореме Пифагора

ОМ= v АО 2 – АМ 2 = v 2500-400 = v 2100 =10 v21 (см).

Самостоятельно б) ОМ= v 225-81 = v 144= 12 (мм) Ответ: 10 v21 см; 12 мм.

Уравнение сферы. П 59.

Пусть задана прямоугольная система координат Охуz и дана некоторая поверхность. Уравнение с тремя переменными х, у, z, называется уравнением поверхности, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки F и не удовлетворяют координаты никакой точки не лежащей на этой поверхности.

Дано: прямоугольная система координат Охуz сфера , h – радиус точка С (х₀, у₀, z₀) — центр сферы.

Написать уравнение сферы.

Решение: Возьмем произвольную т М (x;y;z). Расстояние от М до С, МС= v (x-x₀) 2 +(y-y₀) 2 + (z-z₀) 2 если точка М € , то МС= R или МС 2 = R 2 , т.е. координаты т. М удовлетворяют уравнению

Если М € , то МС 2 = R 2 и координаты (т. М) не удовлетворяют уравнению. Следовательно, в прямолинейной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С(х₀, у₀, z₀) имеет вид

5. Закрепление по теме: уравнение сферы №576(а, б), 578, 577 (а).

№576. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром в центре А, если а) А(2;-4; 7), R=3.

Ответ (x-2) 2 +(y+4) 2 + (z-7) 2 =9 2 .

Б) А(0;0;0) R= v 2. Ответ: x 2 +y 2 + z 2 =2.

№578 а) А(0;0;0) , R=7. Б) А(3; -2; 0), R= v 2.

№577 а) Дано: сфера , т. А — центр, N= ?, А(-2; 2; 0), N(5; 0; -1)

Найти: уравнение сферы.

(5-2) 2 +(0-2) 2 + (-1-0) 2 = R 2 .

(x+2) 2 +(y-2) 2 + z 2 =54.

Учитель: Ребята, как записывается уравнение сферы, если ее центр лежит в т (х₀, 0, 0), а радиус равен R.

(x-x₀) 2 +y 2 + z 2 =R 2 .

x 2 — 2xx₀+x₀ 2 +y 2 +z 2 = R 2 .

x 2 — 2xx₀ +y 2 +z 2 = R 2 -x₀ 2 — уравнение сферы.

Урок по теме «Сфера. Уравнение сферы» (11 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема: Сфера. Уравнение сферы.

Цель урока: Сформировать на уроке понятие и определение сферы, шара и их элементов, вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат, формировать навык решения задач по данной теме.

Образовательные : Сформировать на уроке понятие и определение сферы, шара и их элементов, вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат, формировать навык решения задач по данной теме.

Развивающие : развивать логическое мышление, пространственное восприятие, математически грамотную речь.

Воспитательные : совершенствовать навыки самостоятельной работы, воспитывать внимание, аккуратность.

Организационный момент. Анализ результатов контрольной работы.

А) на доске изображена окружность

Как называется линия изображенная на плоскости?

Вспомните определение окружности. – Окружность-множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки.

Как называются элементы окружности? – Данная точка центр, отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности радиус, отрезок, соединяющий любые две точки окружности и проходящий через центр называется диаметр .

Как называется часть плоскости ограниченная окружностью?- Круг.

Дайте определение круга. – Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Б) Вспомните название уравнений, записанных на доске

Общий вид уравнения окружности.

, О

В) докажите, что данное уравнение является уравнением окружности:

Чему равен радиус и назовите координаты центра.

Г) Принадлежит ли точка М(2;2) данной окружности?

Что изучает стереометрия? – Стереометрия изучает свойства фигур в пространстве

Как вы думаете, существует ли поверхность, состоящая из точек пространства, равноудаленных от данной точки? – Да

Такая поверхность называется сферой.

Объяснение нового материала

Итак, тема сегодняшнего урока Сфера.

Запишите тему сегодняшнего урока в тетрадях.

Цели: Я уверена, что вы неоднократно встречались в жизни не только со сферой, но и с шаром. Сегодня на уроке мы с вами сформулируем определения этих пространственных фигур, их элементов и выведем уравнение сферы .

Какая геометрическая фигура у вас ассоциируется со сферой? (окружность).

Как бы вы сформулировали определение сферы? – Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Привести примеры окружающей обстановки, дающей представление о сфере.

Как называется данная точка? – центр сферы

Как называется данное расстояние? – радиус сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы.

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром.

А что такое шар? – Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Чем он отличается от сферы? Давайте разберемся в этом вопросе, а для этого воспользуемся презентацией. – Шар содержит все точки пространства, которые расположены от точки О на расстоянии, не превышающем R , и не содержит других точек.

Можно ли сферу и шар отнести к телам вращения? — Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.

Первичное закрепление: №573, 574(а)

Задание: Вывести уравнение сферы с центром в точке С( x ₀ ; y ₀ ; z ₀ ) радиуса R , используя формулу расстояния между двумя точками с заданными координатами.

Найдите расстояние от произвольной точки М ( x ; y ; z ) до С( x ₀ ; y ₀ ; z ₀ )

Почему мы находим именно это расстояние? – так как это R

Формула для нахождения расстояния между двумя точками в пространстве?

Если точка М лежит на сфере, то МС = R .

Вывод: уравнение сферы.

Закрепление изученного материала

Итак, что сегодня нового мы узнали на уроке?

Определение элементов сферы и шара

Как можно получить сферу и шар вращением

Краткое описание документа:

Конспект урока в 11 классе по теме «Сфера. Уравнение сферы»

Тип урока: изучение нового материала.

Цель урока: сформировать понятие и определение сферы, шара и их элементов, вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат, формировать навык решения задач по данной теме.

Образовательные цели: сформировать понятие и определение сферы, шара и их элементов, вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат, формировать навык решения задач.

Развивающие цели: развивать логическое мышление, пространственное восприятие, математическую грамотную речь.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 191 материал в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 26.05.2015
• 3118
• 75

• 26.05.2015
• 2117
• 9

• 26.05.2015
• 3018
• 0

• 26.05.2015
• 2245
• 15

• 26.05.2015
• 1060
• 17

• 26.05.2015
• 635
• 0

• 26.05.2015
• 536
• 0

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 26.05.2015 4554
• DOCX 19 кбайт
• 158 скачиваний
• Рейтинг: 4 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Прохоренко Светлана Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 8 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 13405
• Всего материалов: 7

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Конспект урока по геометрии «Сфера и шар — решение задач» 11 класс
план-конспект урока по геометрии (11 класс) по теме

Скачать:

Предварительный просмотр:

Конспект урока по геометрии для учащихся 11 класса.

Тема: « Сфера и шар. Решение задач ».

— образовательные: повторить изученный материал по данной теме, проверить знания, умения и навыки учащихся при решении задач;

— развивающие: развивать логическое мышление, пространственное воображение, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь;

— воспитательные: развивать личностные качества учащихся, такие как целеустремленность, настойчивость, аккуратность, умение работать в коллективе.

— повторить понятия сферы и шара;

— повторить взаимное расположение сферы и плоскости;

— повторить формулу для вычисления площади сферы.

Тип урока: урок применения знания, навыков и умений.

Методы обучения: репродуктивный, индуктивно-эвристический.

Оборудование: учебник, тетрадь, ручка.

1. Геометрия 10-11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2001.
2. Поурочные разработки по геометрии 10-11 класс по учебнику Л.С. Атанасяна и др. Геометрия 10-11 кл. / Гаврилова Н.Ф. – М.: Просвещение, 2001.

1. Организационный момент (2 минуты).
2. Актуализация знаний (8 минут).
3. Решение задач (30 минут).
4. Подведение итогов урока (3 минуты).
5. Домашнее задание (2 минуты).

Организационный момент включает в себя приветствие учеников, проверку отсутствующих, запись учениками числа, классной работы и темы урока.

Учитель: На прошлом уроке мы с вами изучили понятие сферы, уравнение сферы, взаимное расположение сферы и плоскости и площадь сферы. Давайте вспомним, что называется сферой?

Ученик: Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства , расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Учитель: Что называется диаметром сферы?

Ученик: Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы.

Учитель: Что называется шаром?

Ученик: Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Учитель: Существует три случая расположения сферы на плоскости. Какие?

Ученик: 1) если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.

Учитель: Второй случай?

Ученик: 2) если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

Учитель: И третий случай?

Ученик: 3) если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Учитель: Запишите формулу вычисления площади сферы.

(Один ученик выходит к доске и записывает формулу.)

Учитель: Сформулируйте теорему касательной, проведенной в точку.

Ученик: Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Учитель: Сформулируйте обратную теорему.

Ученик: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Учитель: Запишите число, классная работа.

(Запись на доске и в тетрадях.)

Учитель: Переходим к решению задач. Открываем учебники на стр. 133 №576 (а)

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

(Запись на доске и в тетрадях.)

Ученик: Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если А(2; -4; 7), R=3.

Учитель: Запишите, какой вид имеет уравнение сферы, радиуса R с центром C (x 0 ,y 0 ,z 0 )?

(Запись на доске и в тетрадях.)

(x- x 0 ) 2 + (y — y 0 ) 2 + (z — z 0 ) 2 = R 2 ;

(x- 2) 2 + (y + 4) 2 + (z — 7) 2 = 3 2 ;

(x- 2) 2 + (y + 4) 2 + (z — 7) 2 = 9.

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

Ученик: Напишите уравнение сферы с центром А , проходящей через точку N , если А(-2; 2; 0), N(0; 0; 0).

(Запись на доске и в тетрадях.)

(x+2) 2 + (x — 2) 2 + (x — 0) 2 = R 2 ;

(x+2) 2 + (y — 2) 2 + z 2 = 8.

Учитель: Следующий №589 (а, б).

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

Ученик: Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса R так, что угол между диаметром и плоскостью равен α . Найдите длину окружности, получившейся в сечении, если: а) R=2 см, α =30˚; б) R=5 м, α =45˚.

(Запись на доске и в тетрадях.)

Найти: С сечения = ?

Учитель: По какой формуле будем искать длину окружности?

(Запись на доске и в тетрадях.)

Учитель: Чему равен катет, лежащий против угла в 30˚?

Ученик: Катет, лежащий против угла в 30˚ равен половине гипотенузы.

(Запись на доске и в тетрадях.)

1. если гипотенуза АВ=2, то катет, лежащий против угла в 30˚ равен АВ, т. е ОО 1 =1;

Ученик: По теореме Пифагора находим r .

(Запись на доске и в тетрадях.)

1. r = ν 2 2 -1 2 = ;
2. С сечения = 2* π * = 2 π см.

Учитель: Пункт (б).

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

(Запись на доске и в тетрадях.)

Найти: С сечения = ?

1. Cos 45˚= ; r = * 5 = .
2. С сечения = 2* π * = 5 π м.

Учитель: Следующий №592.

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

Ученик: Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точке сферы.

(Запись на доске и в тетрадях.)

А – точка касания.

Учитель: Какую теорему мы знаем о радиусе сферы, проведенном в точку касания сферы?

Ученик: Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

(Запись на доске и в тетрадях.)

Решение: 1) АО ┴ АВ, АО = 112 см, АВ = 15 см.

2)по теореме Пифагора ОВ = ν 112 2 +15 2 = = = 113 см.

3) ВК = ОВ – ОК = 113- 112 = 1 см.

Учитель: Следующий № 593 (г).

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

Ученик: Найдите площадь сферы, радиус которой равен 2 см.

(Запись на доске и в тетрадях.)

Учитель: Запишите формулу площади сферы.

Ученик: S сферы = 4 π R 2

(Запись на доске и в тетрадях.)

Решение: S сферы = 4 π R 2 = 4 π (2 ) 2 =4 π *4*3 = 48 π см 2 .

Ответ: 48 π см 2 .

Учитель: Следующий №597.

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

Ученик: Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5 м.

(Запись на доске и в тетрадях.)

S поверхности сферы = 4 π r 2 .

Учитель: Чему равна площадь круга?

Ученик: S круга = π r 2 .

Учитель: Чему равна площадь поверхности сферы?

Ученик: S поверхности сферы = 4 π r 2 .

(Запись на доске и в тетрадях.)

Решение: S круга = π r 2 ; S поверхности сферы = 4 π r 2 ; r =5 см.

Учитель: Что нам дано по условию задачи?

Ученик: S круга = S поверхности сферы .

(Запись на доске и в тетрадях.)

S поверхности сферы = 100 π ;

R 2 = 100 π ; r = 10 см.

Учитель: Итак, на сегодняшнем уроке мы с вами продолжали изучать тему «Сфера». Давайте еще раз повторим, что называется сферой?

Ученик: Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства , расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Учитель: Чему равна площадь сферы?

Ученик: S=4 π R 2 .

Учитель: Какое взаимное расположение имеют сфера и плоскость?

Ученик: Сфера и плоскость могут: 1) иметь одну общую точку; 2)не иметь общих точек; 3) могут пересекаться по окружности, т. е. сечение сферы и будет окружностью.

1. Постановка домашнего задания:

Учитель: Откройте дневники, запишите домашнее задание.

(Запись на доске и в дневниках.)

§3 «Сфера» — повторить; № 576 (б, в), №577 (а, в), №593 (а, б), №598.