Задачи на уравнение сферы 11 класс атанасян

Урок геометрии на тему «Сфера и шар. Уравнение сферы». 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Цель: Определение шара и сферы (шаровой поверхности) и связанных с ним понятий (центр, радиусы, диаметры, диаметрально противоположные точки). Рассмотреть уравнение сферы.

Оборудование: плакаты, модели шара, сферы.

2) Проверка домашнего задания.

3) Повторить определение окружности, уравнение окружности. Решить устно две задачи.

2. Изучение нового материала.

1) Определение сферы и шара (на моделях и рисунках) №574 (а).

2) Уравнение сферы.

3) Решение устных примеров.

3. Закрепление материала. № 576 (а), 576 (б)-С, 578 (г), 577 (а), 579 (а, б)

4. Домашнее задание: параграф 3. П 58,59. №576 (б), 577 (б), 579(в, г), 574(б).

6. Решение задач повышенной сложности.

1) Организационный момент

2) Проверка домашнего задания.

3) Учитель: Ребята, вам на дом было повторить определение окружности, круга, расстояние между двумя точками в пространстве. Уравнение окружности.

Показываю плакат окружности, круга и повторяем определение.

Ученики:

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

Учитель: Напишите, пожалуйста, на доске уравнение окружности (x-x₀) 2 + (y-y₀) 2 = R 2 , где (x₀; y₀)- центр окружности, R- радиус, (x; y)- координата центра окружности.

Устно. Найти уравнение окружности?

1) (x-4) 2 +(y-3) 2 =9. 2) x 2 + y 2 =4. 3) (0-4) 2 +(0-3) 2 =R 2 . 4) 16+9=R 2 .

5)25=R 2 . 6) R=5. 7)(x+4) 2 +(y-3) 2 =25.

Учитель: Найдите расстояние М₁ М₂, если М₁ (-3; 0; 4), М₂ (0; 6; 5). М₁ М₂ = (0-3) 2 + (6-0) 2 +(5-4) 2 = 46.

Следовательно, d= (x-x) 2 +(y-y) 2 + (z-z) 2 .

2. Объяснение нового материала. Сфера.

1) Учитель: Геометрия изучает форму и взаимное расположение фигур в пространстве. Мы живем в мире трех измерений.

Окружность и круг это пространственные тела или плоские?

В какое геометрическое тело превратится окружность (круг), если попадет в пространство?

Ученики: В сферу и шар.

Учитель: (показывает плакаты) Остановимся на сфере.

1). Сферу можно получить вращением полуокружности вокруг ее диаметра как оси.

2). Границы шара называется шаровой поверхностью или сферой.

3). Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Обозначение. (Рассказываю с помощью плаката) : Радиус, диаметр, центр сферы D=2R, обозначение сферы .

1. Шар — может быть получен вращением полукруга вокруг диаметра как оси.

2. Шаром называется тело, ограниченное сферой.

3. Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки.

Эта точка называется Центром шара. А данное расстояние – радиусом шара. Отрезок соединяющий две точки шаровой поверхности проходящей через ее центр – называется диаметром.

А теперь запишем число, тему: п. 48. Шар. Сфера.

В тетрадях рисуем один чертеж, пишем определения и обозначения. Пишем три определения шара и сферы. (под диктовку)

3. Закрепление. №574 (а, б)

Дано: сфера, т О — центр, R — радиус т.А и В € . а) R= 50 см, АВ= 40 см б) R=15 мм, АВ=18 мм.

Найти: ОМ.

Решение. а) ОА=ОВ= R=50 см. Следовательно треугольник АОВ — равнобедренный —> ОМ — высота (по свойству медианы в равнобедренном треугольнике). Рассмотрим треугольник АОМ (LО=90 0 ). По теореме Пифагора

ОМ= v АО 2 – АМ 2 = v 2500-400 = v 2100 =10 v21 (см).

Самостоятельно б) ОМ= v 225-81 = v 144= 12 (мм) Ответ: 10 v21 см; 12 мм.

Уравнение сферы. П 59.

Пусть задана прямоугольная система координат Охуz и дана некоторая поверхность. Уравнение с тремя переменными х, у, z, называется уравнением поверхности, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки F и не удовлетворяют координаты никакой точки не лежащей на этой поверхности.

Дано: прямоугольная система координат Охуz сфера , h – радиус точка С (х₀, у₀, z₀) — центр сферы.

Написать уравнение сферы.

Решение: Возьмем произвольную т М (x;y;z). Расстояние от М до С, МС= v (x-x₀) 2 +(y-y₀) 2 + (z-z₀) 2 если точка М € , то МС= R или МС 2 = R 2 , т.е. координаты т. М удовлетворяют уравнению

Если М € , то МС 2 = R 2 и координаты (т. М) не удовлетворяют уравнению. Следовательно, в прямолинейной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С(х₀, у₀, z₀) имеет вид

5. Закрепление по теме: уравнение сферы №576(а, б), 578, 577 (а).

№576. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром в центре А, если а) А(2;-4; 7), R=3.

Ответ (x-2) 2 +(y+4) 2 + (z-7) 2 =9 2 .

Б) А(0;0;0) R= v 2. Ответ: x 2 +y 2 + z 2 =2.

№578 а) А(0;0;0) , R=7. Б) А(3; -2; 0), R= v 2.

№577 а) Дано: сфера , т. А — центр, N= ?, А(-2; 2; 0), N(5; 0; -1)

Найти: уравнение сферы.

(5-2) 2 +(0-2) 2 + (-1-0) 2 = R 2 .

(x+2) 2 +(y-2) 2 + z 2 =54.

Учитель: Ребята, как записывается уравнение сферы, если ее центр лежит в т (х₀, 0, 0), а радиус равен R.

(x-x₀) 2 +y 2 + z 2 =R 2 .

x 2 — 2xx₀+x₀ 2 +y 2 +z 2 = R 2 .

x 2 — 2xx₀ +y 2 +z 2 = R 2 -x₀ 2 — уравнение сферы.

Конспект урока по геометрии «Сфера и шар — решение задач» 11 класс
план-конспект урока по геометрии (11 класс) по теме

Скачать:

Предварительный просмотр:

Конспект урока по геометрии для учащихся 11 класса.

Тема: « Сфера и шар. Решение задач ».

— образовательные: повторить изученный материал по данной теме, проверить знания, умения и навыки учащихся при решении задач;

— развивающие: развивать логическое мышление, пространственное воображение, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь;

— воспитательные: развивать личностные качества учащихся, такие как целеустремленность, настойчивость, аккуратность, умение работать в коллективе.

— повторить понятия сферы и шара;

— повторить взаимное расположение сферы и плоскости;

— повторить формулу для вычисления площади сферы.

Тип урока: урок применения знания, навыков и умений.

Методы обучения: репродуктивный, индуктивно-эвристический.

Оборудование: учебник, тетрадь, ручка.

1. Геометрия 10-11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2001.
2. Поурочные разработки по геометрии 10-11 класс по учебнику Л.С. Атанасяна и др. Геометрия 10-11 кл. / Гаврилова Н.Ф. – М.: Просвещение, 2001.

1. Организационный момент (2 минуты).
2. Актуализация знаний (8 минут).
3. Решение задач (30 минут).
4. Подведение итогов урока (3 минуты).
5. Домашнее задание (2 минуты).

Организационный момент включает в себя приветствие учеников, проверку отсутствующих, запись учениками числа, классной работы и темы урока.

Учитель: На прошлом уроке мы с вами изучили понятие сферы, уравнение сферы, взаимное расположение сферы и плоскости и площадь сферы. Давайте вспомним, что называется сферой?

Ученик: Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства , расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Учитель: Что называется диаметром сферы?

Ученик: Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы.

Учитель: Что называется шаром?

Ученик: Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Учитель: Существует три случая расположения сферы на плоскости. Какие?

Ученик: 1) если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.

Учитель: Второй случай?

Ученик: 2) если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

Учитель: И третий случай?

Ученик: 3) если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Учитель: Запишите формулу вычисления площади сферы.

(Один ученик выходит к доске и записывает формулу.)

Учитель: Сформулируйте теорему касательной, проведенной в точку.

Ученик: Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Учитель: Сформулируйте обратную теорему.

Ученик: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Учитель: Запишите число, классная работа.

(Запись на доске и в тетрадях.)

Учитель: Переходим к решению задач. Открываем учебники на стр. 133 №576 (а)

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

(Запись на доске и в тетрадях.)

Ученик: Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если А(2; -4; 7), R=3.

Учитель: Запишите, какой вид имеет уравнение сферы, радиуса R с центром C (x 0 ,y 0 ,z 0 )?

(Запись на доске и в тетрадях.)

(x- x 0 ) 2 + (y — y 0 ) 2 + (z — z 0 ) 2 = R 2 ;

(x- 2) 2 + (y + 4) 2 + (z — 7) 2 = 3 2 ;

(x- 2) 2 + (y + 4) 2 + (z — 7) 2 = 9.

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

Ученик: Напишите уравнение сферы с центром А , проходящей через точку N , если А(-2; 2; 0), N(0; 0; 0).

(Запись на доске и в тетрадях.)

(x+2) 2 + (x — 2) 2 + (x — 0) 2 = R 2 ;

(x+2) 2 + (y — 2) 2 + z 2 = 8.

Учитель: Следующий №589 (а, б).

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

Ученик: Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса R так, что угол между диаметром и плоскостью равен α . Найдите длину окружности, получившейся в сечении, если: а) R=2 см, α =30˚; б) R=5 м, α =45˚.

(Запись на доске и в тетрадях.)

Найти: С сечения = ?

Учитель: По какой формуле будем искать длину окружности?

(Запись на доске и в тетрадях.)

Учитель: Чему равен катет, лежащий против угла в 30˚?

Ученик: Катет, лежащий против угла в 30˚ равен половине гипотенузы.

(Запись на доске и в тетрадях.)

1. если гипотенуза АВ=2, то катет, лежащий против угла в 30˚ равен АВ, т. е ОО 1 =1;

Ученик: По теореме Пифагора находим r .

(Запись на доске и в тетрадях.)

1. r = ν 2 2 -1 2 = ;
2. С сечения = 2* π * = 2 π см.

Учитель: Пункт (б).

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

(Запись на доске и в тетрадях.)

Найти: С сечения = ?

1. Cos 45˚= ; r = * 5 = .
2. С сечения = 2* π * = 5 π м.

Учитель: Следующий №592.

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

Ученик: Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точке сферы.

(Запись на доске и в тетрадях.)

А – точка касания.

Учитель: Какую теорему мы знаем о радиусе сферы, проведенном в точку касания сферы?

Ученик: Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

(Запись на доске и в тетрадях.)

Решение: 1) АО ┴ АВ, АО = 112 см, АВ = 15 см.

2)по теореме Пифагора ОВ = ν 112 2 +15 2 = = = 113 см.

3) ВК = ОВ – ОК = 113- 112 = 1 см.

Учитель: Следующий № 593 (г).

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

Ученик: Найдите площадь сферы, радиус которой равен 2 см.

(Запись на доске и в тетрадях.)

Учитель: Запишите формулу площади сферы.

Ученик: S сферы = 4 π R 2

(Запись на доске и в тетрадях.)

Решение: S сферы = 4 π R 2 = 4 π (2 ) 2 =4 π *4*3 = 48 π см 2 .

Ответ: 48 π см 2 .

Учитель: Следующий №597.

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

Ученик: Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5 м.

(Запись на доске и в тетрадях.)

S поверхности сферы = 4 π r 2 .

Учитель: Чему равна площадь круга?

Ученик: S круга = π r 2 .

Учитель: Чему равна площадь поверхности сферы?

Ученик: S поверхности сферы = 4 π r 2 .

(Запись на доске и в тетрадях.)

Решение: S круга = π r 2 ; S поверхности сферы = 4 π r 2 ; r =5 см.

Учитель: Что нам дано по условию задачи?

Ученик: S круга = S поверхности сферы .

(Запись на доске и в тетрадях.)

S поверхности сферы = 100 π ;

R 2 = 100 π ; r = 10 см.

Учитель: Итак, на сегодняшнем уроке мы с вами продолжали изучать тему «Сфера». Давайте еще раз повторим, что называется сферой?

Ученик: Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства , расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Учитель: Чему равна площадь сферы?

Ученик: S=4 π R 2 .

Учитель: Какое взаимное расположение имеют сфера и плоскость?

Ученик: Сфера и плоскость могут: 1) иметь одну общую точку; 2)не иметь общих точек; 3) могут пересекаться по окружности, т. е. сечение сферы и будет окружностью.

1. Постановка домашнего задания:

Учитель: Откройте дневники, запишите домашнее задание.

(Запись на доске и в дневниках.)

§3 «Сфера» — повторить; № 576 (б, в), №577 (а, в), №593 (а, б), №598.

Урок по геометрии в 11 классе по теме «Уравнение сферы».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Дата…………….. Геометрия, 11 класс урок № 9/34.

Тема урока «Уравнение сферы» .

Цель урока: вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат, формировать навык решения задач по данной теме, повторить действия над векторами.

Образовательные : Сформировать на уроке понятие и определение сферы, шара и их элементов, вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат, формировать навык решения задач по данной теме.

Развивающие : развивать логическое мышление, пространственное восприятие, математически грамотную речь.

Воспитательные : совершенствовать навыки самостоятельной работы, воспитывать внимание, аккуратность.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, презентация, проектор, документ — камера.

Актуализация знаний. Проверка домашнего задания. 1)фронтальная работа с учащимися по теории п. 64 и п.1; 2)проверка решения №581, 583. 3) используя рисунок куба выразить диагонали через три стороны, исходящие из одной вершины куба.

Самостоятельная работа (решение на листочках)- решение задач типа ЕГЭ.

Радиусы оснований усеченного конуса равны 3см и 6см, а высота равна 4см. Найдите площадь осевого сечения и боковой поверхности конуса.

Радиус большего основания, образующая и высота усеченного конуса равны 7см, 5см и 4см соответственно. Найдите площадь осевого сечения и боковой поверхности конуса.

Диагональ осевого сечения усеченного конуса равна 40см и перпендикулярна к образующей конуса, равной 30см. Найдите площадь сечения и полной поверхности конуса.

Радиусы оснований усеченного конуса равны 1дм и 7дм, а диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны. Найдите площадь осевого сечения и полной поверхности конуса.

Радиусы оснований усеченного конуса равны 16см и 25см. Найдите площадь полной поверхности конуса, если в его осевое сечение можно вписать окружность.

Диагональ осевого сечения усеченного конуса делится осью конуса на отрезки 10см и 35см. Образующая конуса равна 39см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Изучение нового материала (рассказ учителя с элементами беседы).

Как бы вы сформулировали определение сферы в отличии от учебника? А что такое шар? Чем он отличается от сферы? Давайте разберемся в этом вопросе, а для этого воспользуемся презентацией.

( Учащиеся формулируют определения элементов сферы, шара. Выясняется вопрос при вращении каких геометрических фигур получается сфера, шар).

Путём решения задач подвести учащихся к выводу уравнения сферы.

№ 575 краткое решение в тетради.

Слайд 6: Вывод уравнения сферы в заданной прямоугольной системе координат.

Слайд 7: Устно решение задач на нахождение координат центра и радиуса сферы по его уравнению и наоборот.

Закрепление изученного материала.

Решение задач: №577(а)-на доске по желанию, №579(а,г)-на доске по желанию Дополнительные задачи: №576(а,б). №578-проверка выборочно.

Итак сегодня мы выяснили , что сфера-это…., шар-это…. А уравнение сферы имеет вид….

Домашнее задание: п. 65, повторить п. 2. №577(б, в), 576(в); 578.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 371 материал в базе

Материал подходит для УМК

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

3.2. Уравнение сферы

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 31.08.2015
• 2699
• 3

• 31.08.2015
• 5872
• 41

• 31.08.2015
• 664
• 0

• 31.08.2015
• 831
• 2

• 31.08.2015
• 1220
• 1

• 31.08.2015
• 567
• 0

• 31.08.2015
• 1013
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 31.08.2015 2093
• DOCX 19.8 кбайт
• 2 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Олейник Анна Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 31977
• Всего материалов: 22

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Новые курсы: функциональная грамотность, ФГОС НОО, инклюзивное обучение и другие

Время чтения: 15 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.