Задачи на уравнение вращения твердого тела

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ

Кинематика вращения тела вокруг неподвижной оси

1. Краткие сведения из теории

Уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид

. (40)

Отсчет угла ведется от выбранного начала. При этом углам, отложенным в направлении движения часовой стрелки, придается знак “минус”, а углам противоположного направления – знак “плюс”.

Угол поворота выражается в радианах. Иногда угол поворота определяется числом оборотов N. Зависимость между и N следующая .

Угловая скорость тела:

(41)

Знак производной дает возможность установить происходит ли вращение тела в положительном направлении отсчета угла поворота (знак “плюс”) или в обратную сторону (знак “минус”). Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду (или 1/с).

Иногда угловую скорость характеризуют числом оборотов в минуту и обозначают буквой n . Зависимость между и n имеет вид

Угловое ускорение тела:

(42)

Знак производной дает возможность установить является ли вращение тела в данный момент времени ускоренным или замедленным. Если знаки и одинаковы, тело вращается ускоренно, а если их знаки различны – замедленно. Единица измерения углового ускорения – радиан на секунду в квадрате (или 1/с 2 ).

Траекториями точек тела, не лежащих на оси вращения, являются окружности с центрами на оси вращения и радиусами, равными кратчайшему расстоянию от этих точек до оси вращения.

Модуль скорости любой точки тела, находящейся на расстоянии h от оси вращения (рис. 18), определяется по формуле

. (43)

Направлена скорость точки по касательной к описываемой точкой окружности в сторону движения.

Ускорение любой точки тела состоит из двух составляющих – вращательного и осестремительного ускорений:

.

Модуль вращательного ускорения точки определяется по формуле

. (44)

Вращательное ускорение направлено по касательной к описываемой точкой окружности в ту же сторону, что и его скорость, если вращение тела ускоренное (рис. 18, а) и в сторону, противоположную скорости, если вращение замедленное (рис.18, б).

Модуль осестремительного ускорения определяется по формуле

. (45)

Осестремительное ускорение всегда направлено по радиусу окружности от точки к центру окружности (рис. 18).

Модуль полного ускорения точки определяется по формуле

(46)

2. Основные типы задач кинематики вращения тела вокруг оси

В зависимости от того, что задано в условии задачи и что требуется определить, различают следующие два основных типа задач.

1. Исследуется движение тела в целом. В этих задачах вначале нужно получить законы (40)–(42) и, используя связь между ними, определить требуемую величину (см. примеры 17 и 18).

2. Требуется определить скорости и ускорения отдельных точек тела. Для решения задач этого типа вначале надо установить кинематические характеристики движения всего тела в целом, т.е. найти , и . После чего по формулам (43), (44), (45), (46) определить скорости и ускорения точек тела (см. пример 19).

Пример 17. Пропеллер самолета, делающий 1200 об / мин , после выключения двигателя останавливается через 8 с. Сколько оборотов сделал пропеллер за это время, если считать его вращение равнозамедленным?

Вначале получим законы вращения пропеллера (40), (41) и (42). По условию задачи пропеллер вращается равнозамедленно , из этого следует, что

.

, (47)

(48)

Начальной угловой скоростью при замедленном вращении будет та, которую пропеллер имел до выключения двигателя. Следовательно, . В момент остановки при t₁ = 8 сек. угловая скорость тела . Подставляя эти значения в уравнение (47), получим

Отсюда

Если обозначить число сделанных пропеллером за время t₁ оборотов через N₁, то угол поворота за то же время будет равен

.

Подставляя найденные значения и в уравнение (48), получим

Отсюда оборотов.

Пример 18. Найти закон вращения тела вокруг оси, если известны следующие данные: угловая скорость изменяется пропорционально t 2 , начальный угол поворота рад, для заданного момента времени t₁ = 3 с угловое ускорение 1/с 2 .

По условию задачи модуль угловой скорости изменяется пропорционально t 2 . Обозначая неизвестный коэффициент пропорциональности буквой k , имеем

. (49)

Найдем , беря производные по времени от обеих частей равенства (49),

Определим коэффициент k из условия, что при t₁ = 3 сек. угловое ускорение 1/с 2 : или

Подставляя значение k в уравнение (49), получим

Учитывая, что , будем иметь

Умножая обе части этого уравнения на dt и интегрируя, находим

В начальный момент при t = 0, = 2 рад, следовательно, c = 2.

Таким образом, радиан.

Пример 19. В период разгона ротор электродвигателя вращается по закону , где t в сек, в рад.

Определить в конце 4-й секунды линейную скорость, вращательное, осестремительное и полное ускорения точки, лежащей на ободе ротора, если диаметр ротора D = 40 см .

По заданному уравнению вращения ротора находим его угловую скорость и угловое ускорение , .

Подставляя значение t₁ = 4 сек в выражение для и , найдем

1/с,

1/с 2 .

Определим модули линейной скорости, вращательного и осестремительного ускорений в этот же момент времени по формулам (43), (44) и (45)

Модуль полного ускорения точки обода ротора определим по формуле (46)

3. Определение скоростей и ускорений в случаях, когда вращающееся тело входит в состав различных механизмов

Рассмотрим механизмы с поступательным и вращательным движением звеньев. Решение задачи начинают с определения скоростей точек того звена, для которого движение задано. Затем рассматривают звено, которое присоединено к первому звену и т.д. В результате определяют скорости точек всех звеньев механизма. В такой же последовательности определяют и ускорения точек.

Передача вращения от одного вращающегося тела, называемого ведущим, к другому, называемому ведомым, может осуществляться при помощи фрикционной или зубчатой передачи (рис. 19).

Во фрикционной передаче вращение передается вследствие действия силы трения в месте контакта соприкасающихся колес, в зубчатой передаче – от зацепления зубьев. Оси вращения ведущего и ведомого колес могут быть параллельными (рис. 19, а, б) или пересекаться (рис. 19, в). В рассмотренных случаях линейные скорости точек А соприкасания колес одинаковы, их модули определяются так:

. (50)

Отсюда . (51)

То есть угловые скорости колес фрикционной или зубчатой передачи обратно пропорциональны радиусам колес.

При преобразовании вращательного движения в поступательное (или наоборот) часто используют зацепление зубчатого колеса с зубчатой рейкой (рис. 20). Для этой передачи выполняется условие: .

Кроме фрикционной и зубчатой передач, существует передача вращения при помощи гибкой связи (ремня, троса, цепи) (рис. 21).

Так как модули скоростей всех точек ремня одинаковы и ремень не скользит по поверхностям шкивов, то соотношения (50) и (51) относятся и к ременной передаче.

Пример 20. В механизме домкрата при вращении рукоятки ОА шестерни 1, 2, 3, 4, 5 приводят в движение зубчатую рейку ВС домкрата (рис. 22).

Определить скорость рейки, если рукоятка ОА делает 30 оборотов в минуту ( n = 30 об /мин). Числа зубцов шестерен: z₁ = 6, z₂ = 24, z₃ = 8, z₄ = 32; радиус пятой шестерни r₅ = 4 см .

Так как рукоятка ОА жестко соединена с шестерней 1, то последняя делает тоже 30 об /мин или

Модули скоростей точек соприкасания зубчатых колес 1 и 2 одинаковы для точек обоих колес и определяются по формуле (50)

Отсюда (см. также (51)).

Так как числа зубьев пропорциональны радиусам колес, то .

Отсюда

Шестерни 2 и 3 жестко соединены между собой, поэтому

Для находящихся в зацеплении колес 3 и 4 на основании (51) можно записать

Отсюда

Шестерни 4 и 5 жестко соединены между собой, поэтому

Модули скоростей точек соприкосновения зубчатой рейки ВС и шестерни 5 одинаковы, поэтому

или

Пример 21. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R ₂ и r ₂ и колесо 3 радиуса R ₃ , скрепленное с валом радиуса r₃, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис.23). Рейка движется по закону

Дано: R ₂ =6 см, r₂=4 см, R₃=8 см, r₃=3 см, ( S — в сантиметрах, t — в секундах), А — точка обода колеса 3, t ₁ =3 с. Определить: , , , в момент времени t = t₁.

Указания. Пример 21 — на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что, когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы, при этом считается, что ремень по ободу колес не скользит.

Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса R ₁ ), через V₁, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса r ₁ ), через U₁.

1. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость:

. ( 52 )

Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то V ₂ = V₁ или . Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, или . Из этих равенств находим:

, . (53)

Тогда для момента времени t₁ = 3 сек. получим = 6,75 с -1 .

2. Определяем V ₄ . Так как , то при t₁=3 c ек . V ₄ = 20 ,25 см/с.

3. Определяем . Учитывая второе из равенств (53), получим .

Тогда при t₁ = 3 сек. = 4,5 с -2 .

4. Определяем . Для точки А , где численно , . Тогда для момента времени t₁ = 3 сек. имеем = 36 см/с2, = 364,5 см/с2.

= 366,3 см/с 2 ,

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис.2.

Ответ: , см/ с , , .

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Задачи на вращательное движение тела:

Мерой инертности материальной точки, а также тела при поступательном движении является их масса.

Если же тело вращается, то мерой инертности служит его момент инерции —величина, зависящая от величины массы тела и от того, каким образом масса распределена относительно оси вращения тела.

Как известно, моментом инерции тела относительно некоторой оси называется величина, составленная из суммы произведений масс всех материальных точек тела на квадраты расстояний от этих точек до оси вращения.

В математической форме величину момента инерции тела можно представить такой формулой:

Этой формулой можно пользоваться для определения моментов инерции тел, имеющих геометрическую форму тел вращения.

Если тело составлено из нескольких частей, имеющих определенную геометрическую форму, удобно использовать еще формулу

где Jc—момент инерции тела относительно центральной оси (т. е. относительно оси, проходящей через центр тяжести тела); J — момент инерции тела относительно оси, параллельной центральной оси; m—масса тела и а —расстояние между осями.

Если тело имеет очень сложную форму, то момент инерции определяется либо из опыта, либо по формулам, приведенным в различных технических справочниках.

Приведем несколько формул для определения моментов инерции тел (во всех формулах т—масса тела, а линейные размеры обозначены на рисунках).

1. Момент инерции тонкого прямого

стержня относительно его центральной оси, перпендикулярной к стержню (рис. 265,а)

2. Момент инерции тонкого прямого стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и расположенной у одного из его концов (рис. 265, б):

3. Момент инерции сплошного однородного цилиндра относительно его геометрической оси (рис. 266, а)

4. Mомент инерции полого однородного цилиндра относительно его геометрической оси (рис. 266, б)

Сопоставляя между собой при помощи рисунков формулы (I) и (2), а также (3) и (4). необходимо учитывать то, что при одной и тон же массе стержней и одинаковой длине второй стержень обладает в четыре раза большим моментом инерции (см. рис. 265, б), а также при одинаковых внешних размерах цилиндров и одинаковой массе (если цилиндры изготовлены из различных материалов, например из алюминия и стали) полый цилиндр обладает большим моментом инерции.

Если в формуле (4) пренебречь толщиной стенки цилиндра, т. е считать, что D—d. (вся масса распределена по ободу цилиндра), то

Единицей измерения момента инерции тела являются в СИ:

в системе МКГСС:

При вращательном движении (см. § 45-11) движущим фактором является вращающий момент (пара сил).

Если алгебраическая сумма моментов всех пар сил, приложенных к телу, имеющему ось вращения, не равна нулю, то тело приобретает угловое ускорение, числовое значение которого прямо пропорционально вращающему моменту

В этом уравнении, выражающем основной закон динамики для вращательного движения тела, множителем пропорциональности является момент инерции тела. Тело с большим моментом инерции труднее привести во вращение.

Кинетическая энергия вращающегося тела

Если тело находится в плоскопараллельном движении, например катящееся колесо, то его кинетическая энергия складывается из двух слагаемых:

где —кинетическая энергия, получающаяся от поступательной части этого сложного движения (см. § 37-8) при скорости равной скорости центра тяжести тела, а кинетическая энергия от вращательной части, причем J —момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести тела.

Задача №1

Два цилиндра, изготовленных из различных материалов (см. рис. 266), имеют одинаковую массу = 80 кг; их наружные диаметры = 240 мм, а внутренний диаметр полого цилиндра = 200 мм. Полый цилиндр вращается вокруг собственной оси с угловой скоростью С какой скоростью должен вращаться сплошной цилиндр, чтобы оба цилиндра имели одинаковый запас кинетической энергии?

1. Если кинетические энергии обоих цилиндров обозначить, соответственно,

то по условию задачи

2. Если определять числовые значения моментов инерции обоих цилиндров, то

Определим скорость сплошного цилиндра

3. Если же числовые значения моментов инерции не определять, то

В полученную формулу

подставим числовые значения диаметров:

Для второго варианта решения, как видно, массу цилиндров можно и не задавать.

Задача №2

Стержень длиной и массой 3 кг имеет на концах шарообразные массы по 2 кг каждая (диаметры шариков d—10 см). Какой вращающий момент нужно приложить к стержню, чтобы привести его во вращение с угловым ускорением вокруг оси, перпендикулярной к стержню и

проходящей через центр тяжести системы (рис. 267)?

1. Чтобы определить необходимый вращающий момент, нужно воспользоваться уравнением основного закона динамики для вращательного движения тела

но предварительно надо определить момент инерции системы стержня и шариков.

2. Находим момент инерции этой системы который складывается из момента инерции стержня и двух моментов инерции шариков которые считаем материальными точками, т. е. при определении моментов инерции шариков принимаем, что их массы сосредоточены в центрах шариков на расстоянии

Подставим числовые значения:

3. И теперь определим вращающий момент, необходимый для сообщения стержню ускорения

Задача №3

Тормозной шкив, масса которого m— 2 кг, диаметр d—0,8 м, имеет форму сплошного диска и вращается но инерции с угловой скоростьюДля остановки вала

к шкиву прижимают тормозную колодку k с силой Q—5 н. Через сколько секунд вал остановится и сколько оборотов он сделает до остановки, если коэффициент трения колодки о шкив f — 0,4? Трением в подшипниках вала, на котором насажен шкив, пренебречь; массу вала не учитывать.

Решение 1 — при помощи основного закона для вращающегося тела.

1. Изобразим шкив на рис. 268. Прижатая к шкиву колодка создает силу трения F=fQ, направленную в сторону, противоположную вращению колеса. Таким образом, на шкив с момента прижатия колодки начинает действовать тормозной момент, направленный в сторону, противоположную его

2. Шкив имеет форму сплошного диска, его момент инерции определяется но формуле

3. Из основного уравнения динамики для вращательного движения находим угловое ускорение е:

4. Из формулы для углового ускорения равнопеременного вращения находим время торможения:

5. По уравнению равнопеременного вращения определяем угол поворота шкива (вала) за это время:

6. Находим число оборотов вала, сделанное им с момента начала торможения до остановки:

Эту задачу можно решить и другим способом (используя закон кинетической энергии для вращающегося тела).

1. Закон кинетической энергии вращающегося тела выражается уравнением

2. В данном случае тормозной момент производит при остановке шкива (вала) работу

так как конечная угловая скорость энергии шкива имеет вид

Отсюда (значение J —найдено в первом решении)

Число оборотов вала

4. Время торможения можно найти из формулы

Задача №4

Цилиндр 1, масса которого и диаметр d=24 сж, может свободно вращаться около горизонтальной оси. На цилиндр намотана гибкая нить, имеющая на конце груз 2

массой Падая, груз разматывает нить и вращает цилиндр (рис. 269, а).

Определить угловое ускорение цилиндра, натяжение нити, кинетическую энергию груза А и цилиндра через t = 4 сек после начала движения.

Массой нити и трением в оси цилиндра пренебречь.

Решение — при помощи метода кинетостатики и уравнения основного закона динамики для вращающегося тела.

1. В задаче рассматриваются два связанных между собой тела: вращающийся цилиндр и поступательно двигающийся груз. Мысленно разрежем нить и изобразим оба тела с действующими на них силами отдельно друг от друга.

2. На рис. 269, б показан цилиндр, на который действует вращающий момент нары сил созданной натяжением нити (сила приложена к подшипнику цилиндра, см. § 45-11):

3. Вращение цилиндра определяется уравнением:

(а)
В полученное выражение для Т входит вторая неизвестная величина е. Чтобы облегчить дальнейшие вычисления, подставим сюда те величины, которые известны (в единицах СИ: и d = 0,24 м):
(а’)
4. Изобразим теперь (рис. 269, в) груз, на который действуют его вес реакция нити Т, равная ее натяжению. Так как цилиндр падает с ускорением то силы не уравновешивают друг друга. Добавим к ним силу инерции Тогда уравнение равновесия сил примет вид

Заменим в последнем уравнении силу инерции и вес груза их значениями

5. Считая нить нерастяжимой, получаем, что ускорение а, груза равно ускорению любой точки нити, а следовательно, и точки А на ободе цилиндра (см. рис. 269, б). Но точка А принадлежит телу, вращающемуся с угловым ускорением е, поэтому

Получено второе уравнение с теми же неизвестными Т и е.

Подставив в (б) числовые значения и d=0,24 м), получаем

(б’)

6. Решим систему уравнений (а’) и (б’). Правые части обоих уравнений равны 7, значит

Подставим найденное значение е в любое из уравнений, например в (а’):

7. Определим кинетическую энергию цилиндра и груза через t = 4 сек после начала движения системы:

8. Таким образом, общий запас кинетической энергии обоих тел

Решение 2 —при помощи закона кинетической энергии.

1. Второе решение начинается с того, чем заканчивается первое.

Через t — 4 сек оба тела приобретают кинетическую энергию благодаря работе, произведенной грузом 2 при падении с высоты h (рис.70)

кинетическая энергия цилиндра

Здесь h —путь, пройденный грузом за t = 4 сек с ускорением поэтому

4. Подставим в левую часть равенства (а) значение h и сократим обе части равенства на общие множители:

откуда

5. Натяжение Т нити найдем при помощи уравнения основного
закона динамики
Здесь

поэтому

6. Так как значение углового ускорения е известно, легко найти величины кинетических энергий(см. п. 2 решения).

Вращательное движение тела

При изучении темы ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА вы научитесь решать простые задачи кинематики тела. В таких задачах вводятся векторные величины — угловая скорость и угловое ускорение Важно понять, что для вращательного движения тела эти векторы постоянно направлены по оси вращения. При сферическом движении (§ 10.1) векторы угловой скорости и углового ускорения могут лежать на разных прямых, и направления их в общем случае зависят от времени.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Заданы некоторые кинематические характеристики движения тела и (или) кинематические характеристики движения точки этого тела. Найти остальные кинематические характеристики движения тела или точки.

Пусть тело вращается вокруг оси z. Кинематические характеристики движения тела:

• — угол поворота
• — угловая скорость
• — угловое ускорение

Кинематические характеристики точки на теле:

• — радиус траектории (расстояние до оси вращения) R:
• — скорость
• — ускорение

1. Записываем систему уравнений для всех величин, входящих в условие задачи. В зависимости от условия возможны три основных варианта решения.
Гл.7.Вращательное движение тела

— Неизвестный закон вращения. Записываем систему двух уравнений для скорости точки, лежащей на расстоянии R от оси вращения, и ее ускорения W:

Для решения задачи необходимо, чтобы три из пяти величин входящих в (1), были заданы в условии.

— Вращение с постоянной угловой скоростью. Интегрируя уравнение ,приполучаем

Как правило, отсчет ведется от поэтому в системе трех уравнений (1-2) содержатся семь величин четыре из которых должны быть заданы в условии задачи.

— Вращение с постоянным угловым ускорением. Дважды интегрируя уравнение

получаем, при

где — начальная угловая скорость. Совместно с (1) получаем систему четырех уравнений для восьми величин четыре из которых должны быть заданы в условии задачи.

2. Решаем систему. Находим искомые величины.

Замечание. Ряд величин задан в тексте задач неявно. Например, угол поворота может быть задан числом оборотов Слова «покой» и «остановка» соответствуют математической записи

Задача №5

Диск вращается вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением Найти ускорение точки, лежащей на расстоянии 4 см от оси вращения, через 7 с после начала движения из состояния покоя.

1. В задаче задано постоянное угловое ускорение. Записываем систему уравнений для величин, входящих в условие задачи:

По условию задачи диск в начальный момент находился в покое, следовательно, Кроме того, при t = 7 с, даны значения R = 4 см, Решая систему двух уравнений (4) с двумя неизвестными и W, находим

Ответ.

Передача вращения

Постановка Задачи. Механизм состоит из вращающихся на неподвижных осях блоков и поступательно движущихся элементов. Все элементы находятся во фрикционном, зубчатом или ременном зацеплениях. Задана какая-либо кинематическая характеристика одного из тел. Найти кинематические характеристики других тел.

1. Определяем кинематические характеристики тела, с заданным законом движения. Если это тело движется прямолинейно поступательно, то скорость и ускорение любой его точки имеет вид

где — закон движения тела. При заданном вращательном движении находим угловую скорость и угловое ускорение:

где — закон вращения тела (зависимость угла поворота в радианах от времени).

2. Определяем угловую скорость тела, связанного нерастяжимой нитью (ремнем, тросом), фрикционно или зубчатым зацеплением с телом, угловая скорость которого известна:

где — радиусы ободов колес (блоков) 1, 2, на которые надет ремень в случае ременной передачи, или радиусы колес, находящихся в зацеплении; — проекции угловых скоростей колес на ось, параллельную осям вращения. Знак минус берем при внешнем зацеплении, или крестообразной ременной передаче, когда вращение колес происходит в разные стороны. При внутреннем зацеплении (рис. 83) или простой ременной передаче (рис. 84) берем знак плюс. Отношение называется передаточным числом от тела 1 к телу 2. Для зубчатых соединений аналогом (1) является соотношение угловых скоростей

в которое вместо радиусов входят числа зубцов пропорциональные длинам окружностей шестеренок.

Если поступательное движение тела 1 передается вращательному движению тела 2 (или наоборот), то связь линейной и угловой скоростей имеет вид

где — радиус обода, находящегося в контакте с поступательно движущимся телом.

3. Повторяя п.2 для всех пар кинематически связанных тел, составляем и решаем систему уравнений для неизвестных линейных и угловых скоростей.

4. Дифференцируя уравнения полученной системы, получаем аналогичную систему для угловых и линейных ускорений. Например, из уравнения (1) следует, что

Аналогично, из (2) следует связь линейного ускорения поступательно движущегося тела и углового ускорения связанного с ним вращающегося тела:

где — тангенциальная составляющая ускорения точки вращающегося тела в месте контакта. Было бы ошибкой считать так как полное ускорение точки на вращающемся теле включает в себя и нормальную составляющую Решаем систему уравнений для ускорений.

Задача №6

Механизм состоит из двух колес 1, 3 и блока 2, вращающихся на неподвижных осях. Ведущее колесо 1 механизма соединено ремнем с внутренним ободом блока 2. Внешний обод блока находится во фрикционном зацеплении с колесом 3 (рис. 84). Проскальзывание в точке зацепления отсутствует, ремень считать нерастяжимым.

Задан закон движения ведущего колеса: Стрелкой указано положительное направление изменения угла При t = 0.5 с найти ускорение точки М, лежащей на ободе колеса 3.

1. Находим угловую скорость ведущего колеса 1:

2. Определяем угловую скорость блока 2, связанного нерастяжимым ремнем с колесом 1:

где — радиусы ободов, огибаемые ремнем.

3. Колеса 2 и 3 находятся во внешнем зацеплении и вращаются в разные стороны, следовательно

Уравнения (3-5) образуют систему, решая которую, при t = 0.5 с, получаем

4. Дифференцируя уравнения системы (3-5), получаем аналогичную систему для угловых ускорений:

Решаем систему уравнений для ускорений (6) и получаем

Вычисляем ускорение точки М:

Ответ.

• Равновесие тяжелой рамы
• Расчет составной конструкции
• Момент силы относительно оси
• Равновесие вала
• Неравномерное вращательное движение
• Плоскопараллельное движение тела
• Определение передаточных отношений различных передач
• Задачи на поступательное движение тела

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Теоретическая механика:
Вращательное движение твердого тела

Смотрите также решения задач по теме «Вращательное движение» в онлайн решебниках Яблонского, Мещерского, Чертова (с примерами и методичкой для заочников), Иродова и Савельева.

При поступательном движении тела (§ 60 в учебнике Е. М. Никитина) все его точки движутся по одинаковым траекториям и в каждый данный момент они имеют равные скорости и равные ускорения.

Поэтому поступательное движение тела задают движением какой-либо одной точки, обычно движением центра тяжести.

Рассматривая в какой-либо задаче движение автомобиля (задача 147) или тепловоза (задача 141), фактически рассматриваем движение их центров тяжести.

Вращательное движение тела (Е. М. Никитин, § 61) нельзя отождествить с движением какой-либо одной его точки. Ось любого вращающегося тела (маховика дизеля, ротора электродвигателя, шпинделя станка, лопастей вентилятора и т. п.) в процессе движения занимает в пространстве относительно окружающих неподвижных тел одно и то же место.

Движение материальной точки или поступательное движение тела характеризуют в зависимости от времени линейные величины s (путь, расстояние), v (скорость) и а (ускорение) с его составляющими a_t и a_n.

Вращательное движение тела в зависимости от времени t характеризуют угловые величины : φ (угол поворота в радианах), ω (угловая скорость в рад/сек) и ε (угловое ускорение в рад/сек 2 ).

Закон вращательного движения тела выражается уравнением
φ = f (t).

Угловая скорость – величина, характеризующая быстроту вращения тела, определяется в общем случае как производная угла поворота по времени
ω = dφ/dt = f’ (t).

Угловое ускорение – величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, определяется как производная угловой скорости
ε = dω/dt = f» (t).

Приступая к решению задач на вращательное движение тела, необходимо иметь в виду, что в технических расчетах и задачах, как правило, угловое перемещение выражается не в радианах φ, а в оборотах φ_об.

Поэтому необходимо уметь переходить от числа оборотов к радианному измерению углового перемещения и наоборот.

Так как один полный оборот соответствует 2π рад, то
φ = 2πφ_об и φ_об = φ/(2π).

Угловая скорость в технических расчетах очень часто измеряется в оборотах, произведенных в одну минуту (об/мин), поэтому необходимо отчетливо уяснить, что ω рад/сек и n об/мин выражают одно и то же понятие – скорость вращения тела (угловую скорость), но в различных единицах – в рад/сек или в об/мин.

Переход от одних единиц угловой скорости к другим производится по формулам
ω = πn/30 и n = 30ω/π.

При вращательном движении тела все его точки движутся по окружностям, центры которых расположены на одной неподвижной прямой (ось вращающегося тела). Очень важно при решении задач, приведенных в этой главе, ясно представлять зависимость между угловыми величинами φ, ω и ε, характеризующими вращательное движение тела, и линейными величинами s, v, a_t и a_n, характеризующими движение различных точек этого тела (рис 205).

Если R – расстояние от геометрической оси вращающегося тела до какой-либо точки А (на рис. 205 R=OA), то зависимость между φ – углом поворота тела и s – расстоянием, пройденным точкой тела за то же время, выражается так:
s = φR.

Зависимость между угловой скоростью тела и скоростью точки в каждый данный момент выражается равенством
v = ωR.

Касательное ускорение точки зависит от углового ускорения и определяется формулой
a_t = εR.

Нормальное ускорение точки зависит от угловой скорости тела и определяется зависимостью
a_n = ω 2 R.

При решении задачи, приведенной в этой главе, необходимо ясно понимать, что вращением называется движение твердого тела, а не точки. Отдельно взятая материальная точка не вращается, а движется по окружности – совершает криволинейное движение.

§ 33. Равномерное вращательное движение

Если угловая скорость ω=const, то вращательное движение называется равномерным.

Уравнение равномерного вращения имеет вид
φ = φ₀ + ωt.

В частном случае, когда начальный угол поворота φ₀=0,
φ = ωt.

Угловую скорость равномерно вращающегося тела
ω = φ/t
можно выразить и так:
ω = 2π/T,
где T – период вращения тела; φ=2π – угол поворота за один период.

§ 34. Равнопеременное вращательное движение

Вращательное движение с переменной угловой скоростью называется неравномерным (см. ниже § 35). Если же угловое ускорение ε=const, то вращательное движение называется равнопеременным . Таким образом, равнопеременное вращение тела – частный случай неравномерного вращательного движения.

Уравнение равнопеременного вращения
(1) φ = φ₀ + ω₀t + εt 2 /2
и уравнение, выражающее угловую скорость тела в любой момент времени,
(2) ω = ω₀ + εt
представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного движения тела.

В эти формулы входят всего шесть величин: три постоянных для данной задачи φ₀, ω₀ и ε и три переменных φ, ω и t. Следовательно, в условии каждой задачи на равнопеременное вращение должно содержаться не менее четырех заданных величин.

Для удобства решения некоторых задач из уравнений (1) и (2) можно получить еще две вспомогательные формулы.

Исключим из (1) и (2) угловое ускорение ε:
(3) φ = φ₀ + (ω + ω₀)t/2.

Исключим из (1) и (2) время t:
(4) φ = φ₀ + (ω 2 — ω₀ 2 )/(2ε).

В частном случае равноускоренного вращения, начавшегося из состояния покоя, φ₀=0 и ω₀=0. Поэтому приведенные выше основные и вспомогательные формулы принимают такой вид:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. Неравномерное вращательное движение

Рассмотрим пример решения задачи, в которой задано неравномерное вращательное движение тела.