Задачи по теме показательные и логарифмические уравнения

Задания по теме «Показательные и логарифмические уравнения»

Открытый банк заданий по теме показательные и логарифмические уравнения. Задания C1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1172

Условие

а) Решите уравнение \log_2^2(2\sin x+1)-17\log_2(2\sin x+1) +16=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ \frac\pi 4;\,2\pi \right].

Решение

а) После замены t=\log_2(2 \sin x+1) исходное уравнение примет вид t^2 -17t+16=0. Корни этого уравнения t=1, t=16. Возвращаясь к переменной x , получим:

\left[\!\!\begin \log_2(2 \sin x+1)=1,\\ \log_2(2 \sin x+1)=16; \end\right. \left[\!\!\begin 2\sin x+1=2,\\ 2\sin x+1=2^<16>. \end\right.

Второе уравнение совокупности не имеет корней. Решая первое уравнение, получим:

\sin x =\frac12, x=(-1)^n\frac\pi 6+\pi n,n \in \mathbb Z.

б) Запишем решение уравнения в виде x=\frac\pi 6 +2\pi n,n \in \mathbb Z или x=\frac<5\pi >6+2\pi k,k\in \mathbb Z и выясним, для каких целых значений n и k справедливы неравенства \frac\pi 4\leqslant \frac\pi 6+2\pi n\leqslant 2\pi и \frac\pi 4\leqslant \frac<5\pi >6+2\pi k\leqslant 2\pi.

Получим: \frac1<24>\leqslant n\leqslant \frac<11> <12>и -\frac7<24>\leqslant k\leqslant \frac7<12>, откуда следует, что нет целых значений n , удовлетворяющих неравенству \frac1<24>\leqslant n\leqslant \frac<11><12>;\,\,\, k=0 — единственное целое k , удовлетворяющее неравенству -\frac7<24>\leqslant k\leqslant \frac7<12>.

При k=0, x=\frac<5\pi >6+2\pi\cdot 0=\frac<5\pi >6. Итак, \frac<5\pi >6 — корень уравнения, принадлежащий отрезку \left[ \frac\pi 4;\,2\pi \right].

Ответ

а) (-1)^n\frac\pi 6+\pi n,n \in \mathbb Z.

Урок-практикум » Показательные и логарифмические уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ И АСТРАХАНСКОЙ ОБЛАСТИ

ГБОУ АО СПО «АСТРАХАНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

Решение показательных и логарифмических уравнений

Разработал : преподаватель математики

Сардарова Валида Яхьяевна

Цель урока: закрепить, систематизировать, отработать умения и навыки решения студентами показательных и логарифмических уравнений, подготовка обучающихся к экзамену .

показать значимость математики для планирования и осуществления алгоритмической деятельности, выполнения заданных и конструирования новых алгоритмов.

формирование умений математически обрабатывать самостоятельно получаемые данные, делать выводы;

формирование приемов логического мышления (сравнение, аналогия, анализ условий), навыков самоконтроля и взаимоконтроля;

создать условия для формирования умений и навыков применять знания в различных конкретных ситуациях.

воспитание у студентов любознательности через познавательную информацию;

содействие воспитанию интереса к математике;

привитие навыков коллективной работы и товарищеской взаимопомощи;

формирование личной и общей ответственности за выполнение коллективной работы;

воспитание у студентов аккуратности, бережного отношения к рабочему времени, культуры труда.

Тип урока – урок совершенствования знаний, умений и навыков.

Форма урока – урок-практикум.

Наглядность: интерактивная доска, карточки устного опроса, карточки с алгоритмической инструкцией.

Знать: свойства показательной и логарифмической функций, методы решения логарифмических и показательных уравнений.

Уметь: решать показательные и логарифмические уравнения.

1. Сообщение цели и плана урока:

На предыдущих уроках, изучив свойства показательной и логарифмической функций, вы рассмотрели методы решения показательных и логарифмических уравнений. Сегодня ваша задача привести теоретические знания в систему и закрепить навыки решения показательных и логарифмических уравнений.

Тема: Решение показательных и логарифмических уравнений.

План урока ( записан на доске до начала урока ):

1. Свойства показательной функции

2. Свойства логарифмической функции

3. Методы решения показательных и логарифмических уравнений

Работа на уроке строится следующим образом: повторение теоретического материала, затем решение показательных и логарифмических уравнений бригадным методом.

2. Работа над темой урока:

2.1. Трое учащихся на доске выполняют следующие задания:

Записать свойства показательной функции

Записать свойства логарифмической функции

Определить методы решения уравнений:

1.

2.

3.

4.

5.

Задания написаны на доске до начала урока

2.2. Остальная часть группы работает по карточкам устного опроса. Преподаватель демонстрирует карточки, предварительно поставив цель:

вспомните определение логарифма

Вычислите: Заполните пропуски:

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

Учащиеся дают ответы, обосновав их.

2.3. Задание проецируется на интерактивную доску:

Найти область определения Цель: повторить

1. — область определения

2. логарифмической функции

3.

4.

Методом беседы с учащимися находится область определения логарифмической функции.

2.4. Проверка работы учащихся у доски. Подчеркнуть, что запись на доске останется, и ею можно воспользоваться при выполнении самостоятельной работы.

2.5. Самостоятельная работа бригадным методом.

Учащиеся группы разбиты на бригады (6 разнородных по составу). В каждой бригаде назначен бригадир (из сильных учащихся). В бригаде 4 человека, они сидят за столом лицом друг к другу, чтобы можно было общаться во время работы.

Бригадир выбирает карточку-задание, в которой четыре обязательных упражнения, и пятое дополнительное.

Озвучиваются обязанности бригадира:

1. Распределить работу между членами бригады

2. Контролировать работу членов бригады

3. Целенаправленно вести в бригаде обсуждение заданий

4. Подвести итоги общей работы каждого члена бригады

1.

2.

3.

4.

5.

1.

2.

3.

4.

5.

1.

2.

3.

4.

5.

1.

2.

3.

4.

5.

1.

2.

3.

4.

5.

1.

2.

3.

4.

5.

Каждой бригаде предлагаются карточки с алгоритмической инструкцией по решению задач:

Метод уравнивания оснований

Метод вынесения за скобку общего множителя

Метод введения новой переменной

Ответ :

Ответ :

Ответ :

Решение с помощью определения логарифма

Метод введения новой переменной

ОДЗ :

Ответ :

ОДЗ:

Ответ:

Учащиеся вместе обсуждают ход решения, помогают, объясняя друг другу. При необходимости пользуются консультацией преподавателя.

После выполнения каждого задания бригадир сообщает об этом преподавателю. Преподаватель проверяет оформление, ответ (по карточке с эталонами ответов).

Обобщающий урок «Решение показательных и логарифмических уравнений», 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Цель урока: повторить свойства логарифмической функции, уметь применять их при решении уравнений, систематизировать знания по теме, воспитывать интерес к предмету, подготовка к итоговой аттестации.

Оборудование урока:

1. Кодоскоп.
2. Карточки с заданиями для кодоскопа, дифференцированные задания (тесты).
3. Плакаты:
   1. свойства степеней, логарифмов;
   2. основные методы решения уравнений.

Ход урока

I. Вступительное слово учителя. Сообщаются цели урока

II. Проверка домашнего задания по показательным и логарифмическим уравнениям

III. Устное решение задач

а) определение логарифмического числа;
б) повторение свойств логарифма.

1. Установите соответствие. (работают два ученика)

2. При каких значения x имеет смысл выражение? (работает весь класс)

log₅x = 3

3. Устный счет. (работает весь класс)

Вычислите следующие логарифмы:

log5 5	log8 1	log3 27	lg 1000
log11 121
log6 18 + log6 2	log2 log3 81	log3 18 — log3 2	log9 0

IV. Решение уравнений

1. Программированный контроль, работает весь класс (готовые карточки для кодоскопа)

Код ответов высвечивается с помощью кодоскопа.

4

x > 36

x > 100

2. Фронтальная работа (каждое задание решается учеником у доски с комментариями)

1. Решите уравнение:
   Решение:
   1. ∣x — 2∣ = 1,
      x — 2 = 1 или x — 2 = -1
      х₁ = 3 или х₂ = 1;
   2. 
      

   Ответ: -0,2; 0,5; 3; 1

2. Решите уравнение: 2 ∣3x — 5∣ = 4∙8 ∣x — 1∣
   Решение:
   Так как функция у = 2t – возрастает, то ∣3x — 5∣ = 2 + 3∣x — 1∣.
   1. при x ≤ 1 ,
      -(3x — 5) = 2 — 3(x — 1)
      -3x + 5 = 2 — 3x + 3
      -3x + 3x = -5 + 5
      0 = 0 — верно, значит x ≤ 1
   2. -(3x — 5) = 2 + 3(x — 1)
      -3x + 5 = 2 + 3x — 3
      -3x — 3x = -5 — 1
      -6x = -1
      x = 1- число не принадлежит рассматриваемому промежутку.
   3. при
      
      3x — 5 = 2 + 3(x — 1)
      3x — 5 = 2 + 3x — 3
      0∙x = 4- не верно, нет корней.

   Ответ: (-∞; 1]

3. Решите уравнение: log₂ 2 (x — 1) 2 = 5 + log_0,5(x — 1)
   log₂ 2 (x — 1) 2 — log_0,5(x — 1) = 5
   4∙log₂ 2 (x — 1) 2 + log₂(x — 1) = 5
   О.Д.З. x — 1 > 0, т.е. x > 1
   Пусть log₂(х — 1) = t, тогда 4t 2 + t — 5 = 0
   
   log₂(x — 1) = 1 или log₂(x — 1) = -5 / 4
   log₂(x — 1) = log₂ 2 или log₂(x — 1) = log₂ 2 -5 / 4
   

   x — 1 = 2 или

   x = 3 или

   Ответ: 3;

3. Самостоятельная работа по тестам, с последующей самопроверкой (Приложение)

Ответы к тестам:

Учащиеся проверяют друг друга правильность выполнения заданий и выставляют оценки.

V. Подведение итогов урока

Мы повторили основные методы решения показательных, логарифмических уравнений, что поможет при сдаче ЕГЭ.

VI. Задание на дом

Cоставить тесты из 4-6 заданий по теме: «Решение показательных, логарифмических уравнений», с кодами ответов.

Литература

1. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений/А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева и др. – 2-е изд., испр.- М.: Мнемозина, 2001.
2. Тематические тесты. Часть 1. Математика. ЕГЭ-2009.:/Под редакцией Ф. Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: Легион, 2008.- (Готовимся к ЕГЭ).
3. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов/ А. П. Ершова, В. В. Голобородько.- М.: Илекса, 2002.