Задачи по теме рациональные уравнения 8 класс

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Примеры

Пример 1. От посёлка до речки 60 км. Утром турист на скутере отправился на речку. Вечером он возвратился в посёлок, но при этом ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей и потратил на дорогу на 18 мин больше. Сколько времени ехал турист от речки к посёлку?

Пусть t — время вечером, на дорогу от речки к посёлку.

Тогда время утром, на дорогу от посёлка к речке t- $\frac<18><60>$ = t-0,3 (ч)

По условию разность скоростей равна 10:

$$1,8=t(t-0,3), t \neq 0, t \neq 0,3$$

$$ D = 0,3^2-4 \cdot (-1,8) = 0,09+7,2=7,29 = 2,7^2 $$

$$ t = \frac<0,3 \pm 2,7> <2>= \left[ \begin t_1 = -1,1 \\ t_2 = 1,5 \end \right. $$

Выбираем положительный корень, t = 1,5 ч

Пример 2. Катер прошёл по течению 120 км. На этот же путь против течения от тратит времени в 1,5 раза больше. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде 20 км/ч.

Пусть u — скорость течения

По условию время против течения в 1,5 раз больше:

$$ 1,5(20-u) = 20+u, u \neq \pm 20 $$

Пример 3. В раствор, содержащий 50 г соли, добавили 150 г воды. В результате концентрация соли уменьшилась на 7,5%. Найдите первоначальную массу раствора.

Пусть x — масса воды в первоначальном растворе, в граммах.

По условию разность концентраций:

$$ 50 \cdot 150 = \frac<75> <1000>(x+50)(x+200), x \neq -50, x \neq -200 $$

$$ D = 250^2-4 \cdot (-90000) = 62500+360000 = 100(625+3600) = $$

$$ = 100 \cdot 4225 = 650^2 $$

$$ x = \frac<-250 \pm 650> <2>= \left[ \begin x_1 = -450 \\ x_2 = 200 \end \right. $$

Выбираем положительный корень x=200 г – начальное количество воды в растворе. Начальная масса всего раствора: 50+200 = 250 г.

Пример 4. Мастер и его ученик, работая вместе, выполняют норму на 8 ч. Если каждый работает самостоятельно, то мастер тратит на выполнение нормы на 12 ч меньше, чем ученик. Сколько часов тратит каждый из них на выполнении нормы?

Пусть N изделий – это норма, t — время, потраченное мастером.

Из последней строки таблицы получаем:

$$ 8(2t+12) = t(t+12), t \neq 0, t \neq -12$$

$$ t^2-4t-96 = 0 \Rightarrow (t-12)(t+8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin t_1 = -8 \\ t_2 = 12 \end \right. $$

Выбираем положительный корень, t=12 ч — время, которое мастер потратит самостоятельно. Ученик потратит 12+12=24 ч.

Ответ: 12 ч и 24 ч

Пример 5*. Один фрилансер может выполнить проект на 12 дней быстрее, чем второй. Над новым проектом первый фрилансер сначала проработал самостоятельно 6 дней, а затем к нему присоединился второй. Через 3 дня совместной работы \frac<3> <5>проекта было готово.

За сколько дней каждый из фрилансеров может выполнить проект самостоятельно? За сколько дней проект был фактически выполнен?

Пусть d — количество дней первого фрилансера при самостоятельной работе.

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений табличным методом

Разделы: Математика

Математика в наши дни проникает во все сферы жизни. Овладение практически любой профессией требует тех или иных знаний по математике. Особое значение в этом смысле имеет умение смоделировать математически определённые реальные ситуации. Данное умение интегрирует в себе разнообразные специальные умения, адекватные отдельным элементам математических знаний, их системам, а также различные мыслительные приёмы, характеризующие культуру мышления.

В школьной математике знакомство с математическим моделированием основано, прежде всего, на решении текстовых задач. Текстовая задача несет в себе важные элементы математического моделирования. Решая ее, учащийся некие производственные, экономические, житейские связи зашифровывает с помощью математических символов, придавая им абстрактную математическую форму. Решая уравнения, учащийся расшифровывает результат, согласуя его со здравым смыслом. Вот почему решению текстовых задач, этому важнейшему мостику между математикой и ее приложениями должно уделяться особое внимание. При этом представляется, что техника решения текстовых задач может отрабатываться на любых задачах. Было бы наивным думать, что задача на движение, начинающаяся словами «Два автомобиля:» непременно предназначена для будущих водителей, а для школы со спортивным уклоном она должна начинаться словами «Два лыжника:».

Применение на практике различных задач на составление уравнений позволяет создавать такие учебные ситуации, которые требуют от учащегося умения смоделировать математически определённые физические, химические, экономические процессы и явления, составить план действия в решении реальной проблемы. Практика последних лет говорит о необходимости формирования умений решения задач на составление уравнений различных типов ещё и в связи с включением их в содержание ГИА и ЕГЭ.

Однако, анализ образовательной практики по данному направлению говорит о том, что значительная часть учащихся испытывает серьёзные затруднения при решении задач на составление уравнений. В большей степени это связано с недостаточной сформированностью у учащихся умения составлять план действий, алгоритм решения конкретной задачи, культурой моделирования явлений и процессов. Большинство учащихся решают такие задачи лишь на репродуктивном уровне.

Решению текстовых задач предшествует достаточно долгое время, отводимое на отработку решения уравнений. Начиная с 8 класса, как только выучены дробные рациональные выражения, решения задач по алгебре практически все сводятся к решению дробных рациональных уравнений, которые, в свою очередь, включают чаще всего решение квадратных уравнений.

В 8 классе решение задач с помощью дробных рациональных уравнений как показывает опыт эффективнее решать табличным методом, так как он является более наглядным, что важно для подготовки к ГИА в 9 классе.

Все задачи, решаемые с помощью дробных рациональных уравнений, можно разделить на несколько групп:

• Задачи на движение по местности.
• Задачи на движение по воде.
• Задачи на работу.
• Задачи на нахождение дробей и т.д.

Начинать обучение следует с простых задач, условия которых полностью соответствуют названиям основных типов, и сводящихся к решению дробных рациональных уравнений. Затем можно приступать к решению более сложных задач. Рекомендуется подобрать разноуровневые задачи по каждому типу, что дает возможность работать со школьниками разных математических способностей.

Мы стараемся научить детей строить таблицы с данными величинами задачи, слева обозначаются объекты (автомобили, лодки, пешеходы, самолеты и т.д.), сверху в колонках — величины, характеризующие данную задачу, и обязательно единицы их измерения. И дети понимают, что из трех величин, зная две, всегда можно записать третью.

Приведем пример оформления задачи:

Автобус-экспресс отправился от вокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 120км от вокзала. Пассажир, опоздавший на 10 минут на автобус, решил добраться до аэропорта на такси. Скорость такси на 10км/ч больше скорости автобуса. С какой скорость ехал автобус, если он приехал в аэропорт одновременно с такси?

Пусть км/ч — скорость автобуса, тогда составим и заполним таблицу:

Скорость (км/ч)	Время (ч)	Путь (км)
Автобус
Такси

Т.к. по условию задачи пассажир опоздал на автобус на 10 минут =часа, то составим и решим уравнение:

, ОДЗ: >0 (т.к. скорость положительна)

720(х+10) — 720х= х (х+10),

Далее решая квадратное уравнение, получаем:

-90 — не входит в ОДЗ, значит, скорость автобуса равна 80 км/ч.

Основная часть класса уверенно заполняет таблицу и составляет уравнение.

В зависимости от выделенного времени, обучаемым может быть предложен широкий спектр мероприятий — семинары, кружки, факультативы, индивидуальные и групповые консультации и т.д., в рамках которых обучаемые более глубоко осваивают решение задач с помощью уравнений.

Практикум по решению задач табличным методом с помощью дробных рациональных уравнений можно провести во второй половине дня на групповой консультации по математике, что целесообразно в рамках школы полного дня.

Список предлагаемых задач:

Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше ее знаменателя. Если к числителю этой дроби прибавить 19, а к знаменателю 28, то она увеличится на . Найдите эту дробь.

Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Какова скорость течения реки?

Два комбайна убрали поле за 4 дня. За сколько дней мог убрать поле каждый комбайн, если одному из них для выполнения этой работы потребовалось бы на 6 дней меньше, чем другому?

Моторная лодка прошла против течения 8 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 30 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч.

Расстояние 700 км экспресс проходит на 4 часа быстрее товарного поезда, так как его скорость больше скорости товарного поезда на 20 км/ч. Определите скорость каждого из поездов, если известно, что они движутся с постоянной скоростью без остановок.

Мастеру на выполнение заказа потребуется на 5 дней меньше, чем его ученику, но при совместной работе они выполнят заказ на 4 дня быстрее, чем мастер, работающий в одиночку. За сколько дней выполнит заказ мастер, работая в одиночку?

На участке пути длиной 300 км поезд увеличил скорость на 10 км/ч, в результате чего прибыл на конечную станцию на 1 час раньше, чем планировалось по расписанию. С какой скоростью должен был идти поезд по расписанию?

Прозаик хочет набрать на компьютере рукопись объемом 450 страниц. Если он будет набирать на 5 страниц в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 3 дня раньше. Сколько страниц в день планирует набирать прозаик?

Дорога между пунктами А и В состоит из подъема и спуска, а ее длина равна 19 км. Пешеход прошел путь из А в В за 5 часов. Время его движения на спуске составило 4 часа. С какой скоростью пешеход шел на спуске, если скорость его движения на подъеме меньше скорости движения на спуске на 1 км/ч?

Велосипедист отправился с некоторой скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 88 км. Возвращаясь из В в А, он ехал поначалу с той же скоростью, но через 2 часа пути вынужден был сделать остановку на 10 минут. После этого он продолжил путь в А, увеличив скорость на 2 км/ч, и в результате затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Количество решаемых задач может меняться в зависимости от отводимого на это время.

Используемая литература:

Разработка уроков по теме « Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений»(8 класс).docx

Данная разработка представляет систему уроков по применению дробных рациональных уравнений в решении текстовых задач. Расчитана на 4 часа.

Просмотр содержимого документа
«Разработка уроков по теме « Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений»(8 класс).docx»

Разработка уроков по теме: «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений»(8 класс)

Тип рока: знакомство с новым материалом

Цели: — совершенствовать навык составления уравнения по условию задачи, умения проверять соответствие найденного решения условию задачи;

-формировать умения и навыки применения дробных рациональных уравнений при решении задач « на движение»;

— развивать логическое мышление учащихся.

1. Устная работа. Составьте уравнение для решения задачи:

1. Расстояние между городами скорый поезд, идущий со скоростью 90 км/ч, проходит на 1,5 ч быстрее товарного, который идет со скоростью 60 км/ч. Каково расстояние между городами?

2. Ученику и мастеру дано задание изготовить одинаковое количество деталей. Мастер, изготовляя 18 деталей в час, затратил на выполнение задания на 3 часа меньше, чем ученик, который изготавливал лишь 12 деталей в час. Сколько деталей было заказано?

2. Новая тема. Для оформления решения можно использовать таблицу. Перед заполнением таблицы ответить на вопросы:

— Какой процесс описывается в задаче? (движение, движение по реке, работа);

— Какими величинами характеризуется этот процесс? (S, v, t, A, k, t, C и т.д.);

— Как связаны между собой эти величины? (S=vt, A=kt, C= цN);

— Сколько реальных процессов описывается в задаче? (два пешехода- два процесса движения и т. д.; сколько реальных процессов в задаче- столько строчек в таблице);

— Значения каких величин известны?

— Значения каких величин сравниваются?

— Значения каких величин требуется найти?

Одну из неизвестных величин обозначить через х. Выразить неизвестные величины через х и известные величины. Используя одно из сравнений величин составить уравнение.

3. Решение задач.

Стр. № Из города А в город В выехал велосипедист. Через 1ч36 мин вслед за ним выехал мотоциклист и прибыл в В одновременно с велосипедистом. Найти скорость велосипедиста, если она меньше скорости мотоциклиста на 32 км/ч, а расстояние между городами 45 км.

Рассмотреть 4 способа решения:

1.. х- скорость мотоциклиста

Мотоциклист выехал на 1ч 36 мин позже. Составим и решим уравнение учитывая, что 1 ч 36 мин= 1ч :

—=.

2. х- скорость велосипедиста

ч

ч

Велосипедист выехал раньше на 1 ч раньше. Составим и решим уравнение:

—=

3. х- время велосипедиста

км/ч

ч

Скорость велосипедиста на 32 км/ч меньше. Составим и решим уравнение:

—=32

4. х- скорость мотоциклиста

ч

ч

Скорость мотоциклиста на 32 км/ч больше. Составим и решим уравнение:

—=32

Решить любое из уравнений .

Стр.138 № 617. Составить 4 таблицы, решить любое из получившихся уравнений

Стр.138 №618,619 самостоятельно.

4.Итог урока. Повторить шаги заполнения таблицы.

5.Домашнее задание: стр.138 №620, 621, на повторение 610(б).

Тип урока: закрепление изученного

Цели:- закрепить умения и навыки решения задач «на движение по воде», составлять таблицы,

-продолжить формирование умений и навыков решения дробно- рациональных уравнений;

— развивать логическое мышление учащихся.

1. Проверка домашнего задания. Краткую запись и составленные уравнения к №620, 621 вынести на доску, обсудить решение.

2. Устная работа. Составьте уравнение для решения задачи.

-Два велосипедиста участвовали в соревнованиях. Второй стартовал позже первого на 6 мин, но пришел на финиш одновременно с первым. Какова длина трассы, если скорость одного велосипедиста 18 км/ч, а другого 20 км/ч?

-Повторить алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

3. Решение задач.

При решении задач «на движение по воде» учитывать , что собственная скорость может быть сформулирована как скорость в стоячей воде, на озере, скорость течения как скорость плота по реке, скорость по течению равна сумме собственной скорости и скорости течения, скорость против течения равна разности собственной скорости и скорости течения.

х- собственная скорость

ч

ч

По озеру затрачено на 1 час больше. Составим и решим уравнение.

—=1,

-2х-9х+30=0,

-11х+30=0,

=5, =6

Ответ: 5 км/ч, 6 км/ч.

Скорость собственная(в стоячей воде)

Скорость по течению

ч

Скорость против течения

ч

На весь путь затрачено 3 часа. Составим и решим уравнение

.+=3,

3+1160-1200+14х=0,

3+14х-40=0,

D=169, 1690, уравнение имеет 2 корня.

=2, =-— не удовлетворяет условию, т. к. скорость не может быть отрицательной.

Ответ: 2 км/ч скорость течения.

Стр. № 702 на доске и в тетрадях.

По течению плот

ч

ч

Плот плыл на 10 часов дольше. Составим и решим уравнение:

—=10,

-17х+30=0,

D=289-120=169, 1690, уравнение имеет 2 корня.

=2, =15- скорость течения реки не может быть.

Ответ: 2 км/ч скорость течения.

Стр. №704 самостоятельно.

ч

ч

5ч20мин=ч, Плот плыл на 5ч20 мин дольше. Составим и решим уравнение:

—=.

=81, 810, уравнение имеет 2 корня.

=-15 – не удовлетворяет условию задачи, =3.

Ответ: 3 км/ч скорость плота.

3 Итог урока. Повторить алгоритм решения задач «на движение по воде».

4.Домашнее задание. Стр.39 №628, 703, на повторение №695(з), 696(а).

Тип урока: применение знаний и умений

Цели:— применить полученные знания и умения составления и решения дробных рациональных уравнений в решении задач «на работу»;

— продолжить формирование логического мышления учащихся.

1. Проверка домашнего задания. Разобрать решение задач №628, 703- 2 учащихся краткая запись и составленные уравнения на доске.

2. Устная работа. А) Составьте задачу по уравнению + =1,5.

Б) На строительстве железной дороги работали 2 бригады. Первая бригада ежедневно прокладывала на 40 м путей больше, чем вторая. Первая работала 8 дней, а вторая-10 дней. Оказалось, что они выполнили одинаковую работу. Какой длины путь прокладывала первая бригада ежедневно? (200 м)

Какой процесс описывается в задаче? Какими величинами характеризуется этот процесс? Как связаны между собой эти величины? Что известно о выполненной работе? Какую величину надо найти в задаче?

3. Решение задач. Если работа абстрактная, то она принимается за 1.

=10 –производительность 2, =-6- не удовлетворяет условию задачи.

Х+5=15- производительность 1.

-36=0,

=6, =-6 – не удовлетворяет условию задачи.

Решить под контролем учителя № 633, 715, 718.

4. Итог урока Чем похожи задачи, разобранные на уроках? (Структурой).

5. Домашнее задание №631, 716, 721.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Цели:- обобщить знания о задачах, решаемых с помощью дробных рациональных уравнений;

— рассмотреть задачи на урожайность, стоимость;

— продолжить формирование логического мышления.

1. Самостоятельная работа.

Составить таблицу и уравнение для решения задач. Оценка «5» ставится, если одна из задач решена до конца.

1. Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч. Прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость течения реки?

2. Два комбайна убрали поле за 4 дня, за сколько дней мог убрать поле каждый комбайн, если одному из них для выполнения этой работы потребовалось бы на 6 дней меньше, чем другому?

3. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого на 20 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 2 ч 24 мин раньше второго. С какой скоростью шел первый автомобиль, если известно, что расстояние между городами равно 420 км?

1. Катер прошел 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова собственная скорость катера, если скорость течения 2 км/ч?

2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполнит такую же часть работы, какую второй- за три дня?

3. Два велосипедиста одновременно отправляются в 80- километровый пробег. Первый едет со скорость на 2 км/ч большей, чем второй и прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

+2х-960=0,

=-32-не может быть, =30ц с гектара в прошедшем году.

Стоимость 1 акции

Было на 20 акций меньше. Составим и решим уравнение.

+50х-2750000=0,

=-550- не удовлетворяет условию,

=500 р стоила акция.

Разница 10 ш. Составим и решим уравнение.

-2х-350=0,

=-5 –не удовлетворяет условию, =7 человек обедали.

Ответ: 7 человек.

3. Итог урока. Повторить план составления таблицы.

4. Домашнее задание. №722, 677.

Тип урока: проверка и коррекция знаний

Цель: проверить умение решать задачи с использованием дробных рациональных уравнений.

1. Самостоятельная работа

1. Числитель обыкновенной дроби на 2 меньше знаменателя. Если числитель увеличить на 1, а знаменатель увеличить на 3, то получится дробь, равная данной. Найдите данную дробь.

2. .Моторная лодка прошла 60 км по течению реки и 36 км по озеру, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

3. Путь от А до В. Равный 20 км, турист должен был пройти за определенное время. Однако он был задержан с выходом из А на 1 час, поэтому ему пришлось увеличить скорость на 1 км/ч, чтобы ликвидировать опоздание. С какой скоростью должен был идти турист?

1. Знаменатель обыкновенной дроби на 1 больше ее числителя. Если к числителю дроби прибавить 2, а к знаменателю прибавить 3, то получится дробь, равная данной. Найти данную дробь.

Расстояние между пристанями равно 112 км. Двигаясь о течению, катер прошел это расстояние на 1 час быстрее, чем обратный путь. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

3. На участке пути длиной 300 км поезд увеличил скорость на 10 км/ч, в результате чего прибыл на конечную станцию на 1 час раньше, чем планировалось о расписанию. С какой скоростью должен был идти поезд о расписанию?

«5» ставится за решение 2 и 3 задачи, «4»- за 1 и 2 задачу, «3»- за 1 , краткую запись и составленное уравнение к 2 задаче.

2. Решить задачи: самостоятельно с проверкой в классе.

1. Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 320 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба?

2. Для наполнения бассейна через первую трубу потребуется столько же времени, что и при наполнении через вторую и третью трубы одновременно. Сколько времени потребуется для наполнения бассейна через каждую трубу, если через первую наполняют бассейн на 16 ч быстрее, чем через третью, и на 4 ч быстрее, чем через вторую?.

3. Итог урока. Повторить алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

4. Домашняя контрольная работа.

1. Решить уравнение:

А) = ; б) + = 3.

2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же на обратный путь затратил времени на 10 мин меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в В?

1. Решите уравнение:

2. Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шел 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч ?

1. Решите уравнение:

2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по дороге длиной 48 км, обратно он возвращался по другой дороге, которая короче первой на 8 км. Увеличив на обратном пути скорость на 4 км8ч, велосипедист затратил на 1 ч меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из пункта А в пункт В?

1. Решите уравнение:

2. Катер прошел 15 км против течения и 6 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шел 22 км по озеру, Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч?