Задачи рациональные уравнения 8 класс

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений

Решение многих задач приводит к дробным рациональным уравнениям.

Задача 1. Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч?

Решение: Пусть х км/ч — скорость лодки в стоячей воде. Тогда скорость лодки по течению (jc + 3) км/ч, а против течения (х — 3) км/ч.

По течению реки 25 км лодка прошла за ч, а против течения 3 км — за ч. Значит, время, затраченное на весь путь, равно

По условию задачи на весь путь лодка затратила 2 ч. Следовательно,

Решив это уравнение, найдём его корни: x₁ = 2 и х₂ = 12.

По смыслу задачи скорость лодки в стоячей воде должна быть больше скорости течения. Этому условию удовлетворяет второй корень — число 12 и не удовлетворяет первый.

Задача 2. К сплаву меди и цинка, содержащему 10 кг цинка, добавили 20 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве уменьшилось на 25%. Какова была первоначальная масса сплава?

Решение: Пусть первоначальная масса сплава была равна х кг. Тогда меди в нём было (x — 10) кг и она составляла

от массы сплава. Масса нового сплава, полученного после добавления 20 кг цинка, оказалась равной (х + 20) кг, а медь в нём составила

По условию задачи содержание меди уменьшилось на 25%. Следовательно,

Решив это уравнение, найдём, что оно имеет два корня: х₁ = 20 и х₂ = 40. Оба корня удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 20 кг или 40 кг.

Упражнения

1. Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если к числителю этой дроби прибавить 7, а к знаменателю — 5, то она увеличится на . Найдите эту дробь.
2. Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была на 20 км/ч больше скорости другого, и поэтому он пришёл к месту назначения на 1 ч раньше. Найдите скорость каждого автомобиля.
3. Один из лыжников прошёл расстояние в 20 км на 20 мин быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная, что один из них двигался со скоростью, на 2 км/ч большей, чем другой.
4. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля, зная, что расстояние между городами равно 560 км.
5. Чтобы ликвидировать опоздание на 1 ч, поезд на перегоне в 720 км увеличил скорость, с которой шёл по расписанию, на 10 км/ч. Какова скорость поезда по расписанию?
6. В прошлом году в фермерском хозяйстве собрали 192 ц пшеницы. В этом году благодаря использованию новых технологий удалось повысить урожайность пшеницы на 2 ц с гектара. В результате такой же урожай собрали с площади, на 0,4 га меньшей. Какова была урожайность пшеницы в хозяйстве в прошлом году?
7. На молодёжном карнавале Андрей купил билеты лотереи «Надежда» на 240 р. Если бы он потратил эти деньги на билеты лотереи «Удача», то смог бы купить на 4 билета больше, так как они были на 5 р. дешевле. Сколько стоил билет лотереи «Надежда»?
8. Предприниматель приобрёл акции одинаковой стоимости на 110 000 р. Если бы он отложил покупку на год, то сумел бы приобрести на эту сумму на 20 акций меньше, так как цена одной акции данного вида возросла за этот год на 50 р. Сколько акций приобрёл предприниматель?
9. Старинная задача. Несколько человек обедали вместе и по счёту должны были уплатить 175 шиллингов. Оказалось, что у двоих не было при себе денег. Поэтому каждому из остальных пришлось уплатить на 10 шиллингов больше, чем приходилось на его долю. Сколько человек обедало?
10. Сотрудники отдела решили совместно приобрести холодильник за 7200 р. Однако трое отказались участвовать в покупке, и остальным пришлось уплатить на 200 р. больше, чем предполагалось. Сколько сотрудников работает в отделе?
11. Турист проплыл на лодке против течения реки 6 км и по озеру 15 км, затратив на путь по озеру на 1 ч больше, чем на путь по реке. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите скорость лодки при движении по озеру.
12. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км, а против течения 25 км. По течению она шла столько же времени, сколько против течения. Какова скорость течения реки?
13. Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошёл 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость течения реки.
14. В водный раствор соли добавили 100 г воды. В результате концентрация соли в растворе понизилась на 1%. Определите первоначальную массу раствора, если известно, что в нём содержалось 30 г соли.
15. Сплав золота и серебра содержал 40 г золота. После того как к нему добавили 50 г золота, получили новый сплав, в котором содержание золота возросло на 20%. Сколько серебра было в сплаве?
16. При совместной работе двух кранов разгрузку баржи закончили за 6 ч. Сколько времени потребовалось бы каждому крану отдельно для разгрузки баржи, если известно, что первому крану для этого требуется на 5 ч больше, чем второму?
17. Два автомата разной мощности изготовили за 2 ч 55 мин некоторое количество деталей. За какое время это количество деталей мог бы изготовить первый автомат, если известно, что ему для этого потребуется на 2 ч больше, чем второму автомату?
18. Велосипедист проехал из посёлка до станции с некоторой постоянной скоростью, а возвращался со скоростью на 5 км/ч большей. Какова была первоначальная скорость велосипедиста, если известно, что средняя скорость на всём пути следования составляла 12 км/ч?
19. Мотоциклист половину пути проехал с некоторой постоянной скоростью, а затем снизил скорость на 20 км/ч. Какова была скорость мотоциклиста на первой половине пути, если известно, что средняя скорость на всём пути составила 37,5 км/ч?
20. Докажите, что:

Найдите значение выражения:

Составьте квадратное уравнение, зная его корни:

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений. Алгебра (8-й класс)

Разделы: Математика

Класс: 8

— отработка навыков решения задач на составление дробных рациональных уравнений;

— знакомство с геометрическим способом решения уравнений;

— развитие способности к содержательному обобщению и рефлексии;

— развитие алгоритмического мышления;

— повышение интереса к решению математических задач

— показать связь с другими предметами, с жизнью.

Пусть математика сложна,
Ее до края не познать
Откроет двери всем она,
В них только надо постучать.

Чтобы двери в мир математики открывались как можно легче мы сегодня будем учиться… Чему?

Ребус этот разреши,
А ответ нам напиши
Сей ответ встречаешь часто,
Не решаешь их напрасно.

— Правильно, наш урок посвящен задачам, и не простым, а задачам на составление дробных рациональных уравнений.

I. Актуализация опорных знаний.

1. Большинство задач на составление дробных рациональных уравнений в результате сводится к решению квадратных уравнений. Большой вклад в решение уравнений внес французский математик — … Как его звали? — Франсуа Виет “вызывает вас на соревнование, предлагая для решения следующие уравнения:

(На экране и на партах уравнения)

— Как называются такие уравнения?

— С помощью какой теоремы решим данные уравнения?

— Какое свойство коэффициентов квадратного уравнения можно использовать при решений некоторых уравнений?

В-1

1. Х 2 + 7Х +10 = 0
2. Х 2 — 19 Х+18=0
3. Х 2 +9Х+20=0
4. Х 2 -17Х+30=0
5. 13Х 2 -29Х+16=0
6. 17Х 2 -19Х-36=0

В-2

1. Х 2 + 7Х-8 = 0
2. Х 2 + 17Х-18=0
3. Х 2 -15Х+50=0
4. Х 2 +13Х+30=0
5. 12Х 2 -35Х+23=0
6. 100Х 2 +150Х+50=0

А сейчас поменяйтесь работами с соседом по парте, делаем проверку, выставляем оценку (ответы на экране) Собираем работы, чтобы я тоже могла посмотреть и выставить оценки.

2. Проверка домашнего задания с последующим использованием для углубленного изучения темы:

— нужно оформить решение домашней задачи № 610 на доске (1 ученик);

— а мы поработаем устно.

1) Верно ли решены уравнения?

А) х₁ =1, х₂=4

Ответ: нет, корень х=1 — посторонний.

Б) х=1

Ответ: нет, есть еще один корен Х=2.

Какой вывод нужно сделать?

2) Найти общий знаменатель дробей в каждом из уравнений:

Ответ: 5х-2 или 2-5х

II. Поиск задач, математическими моделями которых являются дробные уравнения.

— Мы научились решать дробные уравнения.

А для чего они нужны? Какие задачи приводят к их появлению?

— Такие ,в которых одна величина выражается через другие при помощи дробного выражения.

Например: время =; ;

Cторона прямоугольника=;

;

и другие.

Итак, вы могли убедиться, что людям разных профессий приходится иметь дело с задачами на дробно-рациональные уравнения.

И на свете нет профессий
Вы заметьте-ка
Где бы нам не пригодилась Ма-те-ма-ти-ка!

III. Решение задач + рисунок.

Проверим домашнюю задачу № 610. Поезд опаздывал на 1 час,чтобы приехать вовремя, увеличил скорость на 10 км/час на перегоне в 720 км. Найти скорость поезда по расписанию.

S (км)	V(км/час)	T (ч)
По расписанию	720	Х	720

ХНа самом деле720Х+1072О

720х+7200-720х-х2-10х=0

Х₁=80 х₂= -90 (не удовлетворяет условию задачи).

80 км/час- скорость поезда по расписанию.

Вы решили эту задачу алгебраическим методом. Я предлагаю решить используя геометрический метод

2. Геометрический метод.

Экскурс в историю. Геометрический метод решения задач появился во времена Евклида ( 3 век до нашей эры) и использовался не только в геометрии, но и в алгебре. Развивалась геометрическая алгебра. В старинных индийских сочинениях этого времени доказательство или решение сводилось к чертежу, подписанному одним словом “Смотри!”. Решение алгебраической задачи геометрическим методом осуществляется в три этапа:

1) построение геометрической задачи, то есть перевод ее на язык геометрии,

2) решение получившейся геометрической задачи,

3) перевод полученного ответа с геометрического языка на естественный.

АВ=х –скорость поезда по расписанию (км/час).

АД – время движения поезда по расписанию (ч).

SАВСД = АВ х АД =720

Так как поезд увеличил скорость на 10 км/час, то прибавим к отрезку АВ отрезок ВЕ, условно изображающий 10 км/час. C увеличенной скоростью поезд прошел весь путь на 1 час быстрее, поэтому вычтем из отрезка АД отрезок ДК, условно изображающий 1 час.

S AEFK=SАВСД =720

S1+S3=S2+S3 —> S1=S2. S1 = Х и S2 =10 х EF.

Получили, что используя что S 1=S2 получим уравнение:

Решив это уравнен мы узнаем, что скорость поезда по расписанию была 80 км/час

Уравнения могут быть такими:

Обратите внимание, что переход к квадратному уравнению от первого и последнего уравнений осуществляется быстрее, чем в случае с другими составленными уравнениями.

IV.Физкультминутка (упражнение для глаз).

V. Задача ( ЕГЭ) В9.

Одна мастерская должна была изготовить 420 деталей, другая, за тот же срок 500 деталей. Первая выполнила свою работу на 4 дня раньше срока, а вторая на 7. Сколько деталей в день изготовляла вторая мастерская, если известно, что ежедневно она изготовляла на 5 деталей больше, чем первая?

— О чем идет речь в задаче? (О двух мастерских)

— Значит имеем: 1 и 2 мастерские

— Чем занимались эти мастерские ?

— Что спрашивается в задаче?

Пусть х (х>0)l деталей в день изготавливала П мастерская, тогда 1 изготавливала (Х-5) деталей в день. Сколько дней работала каждая мастерская?

— Какая из них быстрее справилась с работой?

— На сколько? (На 3 дня раньше чем 1 мастерская)

Детали	Количество деталей в день	Сколько дней работала	Справились раньше
1 мастерская	420	(х-5)		на 4 дня
П мастерская	500	Х		На 7 дней

Получим уравнение х(х-5)

420х-500х +2500-3х?+15х =0

Х ₁ =

Х₂= (не удовлетворяет условию задачи)

— Значит 2 мастерская изготавливала в день 20 деталей.

Ответ: 20 деталей.

VI. Домашнее задание: (заранее написать на доске) № 609.

(Придумать задачу по уравнению и решить ее )

VII. Самостоятельно решить задачу № 615.

12(Х+10)+12Х-(х 2 +10Х)=0

12Х+120+12Х-х 2 -10Х=0

Х 2 -14Х-120=0 Д=196+480=676=26? Х₁=

Один из рабочих выполнит работу за 20 дней, а другой за 30 дней. Ответ: 20 дней и 30 дней.

Итог урока: Общеизвестно высказывание: “Решение математической задачи можно сравнить со взятием крепости”.

После данного урока решение большинства задач, я надеюсь,со взятием крепости уже не ассоциируется. Вы согласны со мной, ребята?

То интересна, то сложна.
Получается задача —
Радуется душа.

Пусть вам будут по плечу любые задачи. Успехов!

Спасибо за урок!

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Примеры

Пример 1. От посёлка до речки 60 км. Утром турист на скутере отправился на речку. Вечером он возвратился в посёлок, но при этом ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей и потратил на дорогу на 18 мин больше. Сколько времени ехал турист от речки к посёлку?

Пусть t — время вечером, на дорогу от речки к посёлку.

Тогда время утром, на дорогу от посёлка к речке t- $\frac<18><60>$ = t-0,3 (ч)

По условию разность скоростей равна 10:

$$1,8=t(t-0,3), t \neq 0, t \neq 0,3$$

$$ D = 0,3^2-4 \cdot (-1,8) = 0,09+7,2=7,29 = 2,7^2 $$

$$ t = \frac<0,3 \pm 2,7> <2>= \left[ \begin t_1 = -1,1 \\ t_2 = 1,5 \end \right. $$

Выбираем положительный корень, t = 1,5 ч

Пример 2. Катер прошёл по течению 120 км. На этот же путь против течения от тратит времени в 1,5 раза больше. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде 20 км/ч.

Пусть u — скорость течения

По условию время против течения в 1,5 раз больше:

$$ 1,5(20-u) = 20+u, u \neq \pm 20 $$

Пример 3. В раствор, содержащий 50 г соли, добавили 150 г воды. В результате концентрация соли уменьшилась на 7,5%. Найдите первоначальную массу раствора.

Пусть x — масса воды в первоначальном растворе, в граммах.

По условию разность концентраций:

$$ 50 \cdot 150 = \frac<75> <1000>(x+50)(x+200), x \neq -50, x \neq -200 $$

$$ D = 250^2-4 \cdot (-90000) = 62500+360000 = 100(625+3600) = $$

$$ = 100 \cdot 4225 = 650^2 $$

$$ x = \frac<-250 \pm 650> <2>= \left[ \begin x_1 = -450 \\ x_2 = 200 \end \right. $$

Выбираем положительный корень x=200 г – начальное количество воды в растворе. Начальная масса всего раствора: 50+200 = 250 г.

Пример 4. Мастер и его ученик, работая вместе, выполняют норму на 8 ч. Если каждый работает самостоятельно, то мастер тратит на выполнение нормы на 12 ч меньше, чем ученик. Сколько часов тратит каждый из них на выполнении нормы?

Пусть N изделий – это норма, t — время, потраченное мастером.

Из последней строки таблицы получаем:

$$ 8(2t+12) = t(t+12), t \neq 0, t \neq -12$$

$$ t^2-4t-96 = 0 \Rightarrow (t-12)(t+8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin t_1 = -8 \\ t_2 = 12 \end \right. $$

Выбираем положительный корень, t=12 ч — время, которое мастер потратит самостоятельно. Ученик потратит 12+12=24 ч.

Ответ: 12 ч и 24 ч

Пример 5*. Один фрилансер может выполнить проект на 12 дней быстрее, чем второй. Над новым проектом первый фрилансер сначала проработал самостоятельно 6 дней, а затем к нему присоединился второй. Через 3 дня совместной работы \frac<3> <5>проекта было готово.

За сколько дней каждый из фрилансеров может выполнить проект самостоятельно? За сколько дней проект был фактически выполнен?

Пусть d — количество дней первого фрилансера при самостоятельной работе.