Задачи решаемые уравнением второй степени

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Цели урока:

1. Обучение составлению системы уравнений по условию задачи.
2. Повышение интереса к решению текстовых задач.

Ход урока

I. Устный счет (8 мин)

Является ли решением уравнения х+2у=5 пара чисел: а) (0;1) б) (3;-1) в) (-1;3)

1. Является ли решением системы уравнений ,

пара чисел: а) х=1, у=6 б)х=3, у=2

2. Решите систему уравнений:

3. Определите степень уравнения:

• А) х-у-1,2=0
• Б)
• В)
• Г)

II. Изучение нового материала (10 мин)

При решении задач можно вводить две переменные и составлять систему уравнений.

Решить задачу двумя способами: «Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого».

1 способ— с помощью одной переменной.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен х см, а второй катет – х+7 см. Используя теорему Пифагора, составим уравнение:

корень х=-12 не удовлетворяет условию х>0.

Один катет равен 5 см, второй 12 см

2 способ— с помощью введения двух переменных.

Пусть первый катет х см, второй катет у см (х>0, у>0)

,

,

,

у1=5, у2=-12 (не удовл. условию)

если у=5, то х=7+5=12

один катет равен 5 см, второй катет 12 см

Ответ: 12 см, 5 см

III. Закрепление нового материала (10 мин)

Решение задач:

1. Прямоугольный газон обнесён изгородью, длина которой 30 м. Площадь газона 56 м². Найдите длины сторон газона?

Решение: пусть х м –длина газона, у-ширина газона.

,

,

Ответ: 7 см, 8 см

2. Двое рабочих совместно могут выполнить заданную работу за 12 дней. Если первый рабочий сделает половину работы, а затем второй – вторую половину, то вся работа будет закончена за 25 дней нужно каждому из рабочих в отдельности для выполнения работы?

Решение: пусть для выполнения всей работы первому рабочему потребуется х дней, а второму у дней, тогда за 1 день первый выполняет 1/х часть, а второй 1/у часть всей работы. Работая совместно, всю работу они выполняют за 12 дней.

Таким образом 12(1/х+1/у)=1.

Пусть теперь работа выполняется рабочими поочередно. Тогда для выполнения половины всей работы первому потребуется 1/2:1/х=х/2 дней, а второму 1/2: 1/у=у/2 дней.

,

,

,

,

,

Одному рабочему для выполнения всей работы требуется 20 дней, а другому 30 дней.

Ответ: 20 дней, 30 дней

Решаем по учебнику: №455, №457 (15 мин)

IV. Итог урока.

Домашнее задание: №456, №458, №460 (2 мин)

Алгебра. 9 класс

Двузначное число в четыре раза больше суммы его цифр. Если к этому числу прибавить произведение его цифр, то получится 32. Найдите это двузначное число

Данная задача подразумевает использование формулы двузначного числа.

Допустим, искомое число состоит из x десятков и y единиц.

Исходя из условия и принятых обозначений, составляем систему уравнений:

Раскроем скобки и приведём подобные в первом уравнении системы.

Воспользуемся способом подстановки, для этого выразим из первого уравнения переменную y и подставим его значение во второе уравнение системы.

Решив получившееся квадратное уравнение (2x 2 + 12x – 32 = 0) найдём два корня: –8 и 2.

Очевидно, что цифра не может быть отрицательной, поэтому корень –8 не удовлетворяет условиям задачи.

Итак, значение переменной x мы нашли, осталось подставить это значение в первое уравнение системы и найти значение переменной y.
y = 2 • 2 = 4.

Обратимся ещё раз к началу нашего решения и вспомним, что мы принимали за x, что за y и что требовалось найти.
x – цифра десятков; y – цифра единиц; (10x + y) – искомое число.

Конспекты уроков по алгебре в 9 классе по теме : Решение задач с помощью систем уравнений 2 степени

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

9 класс Урок №_______________________________________________________________
Решение систем уравнений второй степени
Цели урока:

обобщить и систематизировать знания учащихся по теме урока ; подготовить учащихся к написанию самостоятельной работы.

Развитие монологической речи учащихся, логического мышления;

Воспитание интереса к математике.

обобщить и систематизировать знания учащихся о способах решения систем уравнений второй степени. ; создать условия для самооценки своих возможностей, атмосферу заинтересованности каждого ученика в результатах деятельности;

развивать познавательную активность, навыки индивидуальной и самостоятельной работы

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.

I. Организационный момент.

II. Устная работа. (Подготовка к ОГЭ) Решите систему уравнений способом сложения:

а) б)

III. Формирование умений и навыков. Все задания разбиты на две группы

Из второго уравнения выразим переменную х и подставим в первое уравнение системы:

Пусть у 2 = а , тогда получим уравнение:

+ а – 12 = 0;

а = 6, то есть у 2 = 6;

у = ± .

Тогда соответствующие значения х будут равны .

О т в е т: ( ; – ), (– ; ).

После решения этой системы предложить учащимся найти другой способ. Если они не догадаются, то помочь им.

Умножим обе части второго уравнения на 2 и сложим почленно левые и правые части уравнений полученной системы:

х 2 + 2 ху + у 2 = 0;

Подставим найденное значение х во второе уравнение:

– у 2 = –6; у 2 = 6; у ₁ = х ₁ = – ; у ₂ = – х ₂ = .

Заметим, что этот способ является более рациональным и интересным.

2-я г р у п п а. 1. № 451.

Известно, что прямая у = kx проходит через точку М (1; 2). Найдем значение k :

2 = k · 1 k = 2.

Таким образом, нужно найти точки пересечения графиков уравнений ( х – 4) 2 + ( у – 6) 2 = 25 и у = 2 х . Для этого нужно решить систему:

( х – 4) 2 + (2 х – 6) 2 = 25;

х 2 – 8 х + 16 + 4 х 2 – 24 х + 36 – 25 = 0;

5 х 2 – 32 х + 27 = 0;

х ₁ = 1 у ₁ = 2 · 1 = 2;

х ₂ = 5,4 у ₂ = 2 · 5,4 = 10,8.

Ответ: (1; 2), (5,4; 10,8).

2. № 450. Р е ш е н и е

Парабола у = х 2 + 1 и прямая у = kx имеют только одну общую точку, если система имеет единственное решение.

Подставим значение у = kx в первое уравнение:

Составленная система будет иметь единственное решение, если это квадратное уравнение имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю.

О т в е т: k = 2 и k = –2.

3. Решите систему уравнений:

Сложим почленно правые и левые части уравнений системы. Получим: х 2 + у 2 + 2 ху + х + у = 12;( х + у ) 2 + х + у = 12.

С д е л а е м з а м е н у: х + у = а – и решим полученное уравнение: а 2 + а – 12 = 0; а ₁ = –4, а ₂ = 3.

В е р н е м с я к з а м е н е: х + у = –4 х = – у – 4;

х + у = 3 х = 3 – у .Подставляя поочередно данные выражения во второе уравнение исходной системы, получим:

О т в е т: (2; 1), (1; 2).

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется решением системы уравнений?

– Опишите способ подстановки решения систем уравнений второй степени.

– Опишите алгоритм решения систем уравнений второй степени способом сложения.

– Любое ли уравнение второй степени можно решить способом подстановки? способом сложения?

Домашнее задание_____________________________________________ Д о п о л н и т е л ь н о: № 438.

9 класс Урок №_______________________________________________________________________
Тема урока: решения задач с помощью систем уравнений

рассмотреть, как могут решаться текстовые задачи с помощью систем уравнений второй степени; формировать умение решать такие задачи :

Развитие монологической речи учащихся, логического мышления;

Воспитание интереса к математике.

рассмотреть, как могут решаться текстовые задачи с помощью систем уравнений второй степени; формировать умение решать такие задачи :

обобщить и систематизировать знания учащихся о способах решения систем уравнений второй степени. ; создать условия для самооценки своих возможностей, атмосферу заинтересованности каждого ученика в результатах деятельности;

развивать познавательную активность, навыки индивидуальной и самостоятельной работы

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Проверка домашней работы .СР по текстам . аналогичным ДР

Решите систему уравнений:

а) б)

Актуализация опорных знаний

Объяснение нового материала.

Учащиеся уже умеют применять системы линейных уравнений для решения текстовых задач. Поэтому главным при изучении данного материала будет обобщение и систематизация их знаний о решении таких задач, а также закрепление методов решения систем уравнений второй степени.

Для демонстрации принципа решения задач с помощью систем уравнений второй степени достаточно привести пример из учебника.

V1. Формирование умений и навыков. Цель: На этом уроке главное, чтобы учащиеся усвоили схему решения задач с помощью систем уравнений второй степени. Необходимо дать им под запись примерный план, согласно которому можно осуществлять решение таких задач. На первых порах необходимо, чтобы учащиеся вслух комментировали решение задач согласно записанному плану

1. Прочитать условие задачи и понять его.

2. Указать объекты, о которых идет речь в задаче.

3. Одну из величин обозначить за х , а другую – за у .

4. Составить систему уравнений по условию задачи.

5. Решить эту систему уравнений.

6. Интерпретировать полученные результаты.

Упражнения: 1. № 455, № 457.2. № 460.

1) В условии речь идет о прямоугольном треугольнике. Требуется найти его площадь.

2) Известна гипотенуза треугольника и его периметр. Для нахождения площади нужно знать его катеты.

3) Обозначим один катет треугольника через х см, а другой – через у см.

4) Зная периметр треугольника, составим уравнение: х + у +37 = 84.

По теореме Пифагора составим второе уравнение: х 2 + у 2 = 37 2 .

Получим систему уравнений:

5) Решим эту систему уравнений способом подстановки:

47 2 – 94 у + у 2 + у 2 – 37 2 = 0;2 у 2 – 94 у + (47 – 37) (47 + 37) = 0;2 у 2 – 94 у + 10 · 84 = 0; у 2 – 47 у + 420 = 0;

у ₁ = 35 х ₁ = 12; у ₂ = 12 х ₂ = 35.6) Получаем, что катеты треугольника равны 12 см и 35 см. Найдем его площадь: S = · 12 · 35 = 210 (см 2 ). О т в е т: 210 см 2 .

3. № 463. При решении этой задачи учащимся поможет рисунок, сделанный согласно ее условию.

Пусть стороны прямоугольника равны х см и у см. Учитывая, что его площадь равна 30 см 2 , получим уравнение: ху = 30. S ₁ = х 2 см 2 , S ₂ = у 2 см 2 .Получим уравнение 2 х 2 + 2 у 2 = 122 или х 2 + у 2 = 61.

Составим систему уравнений:

Находим ее решения: (–6; –5), (6; 5), (–5; –6), (5; 6).

Первое и третье решения не подходят по условию задачи. Значит, стороны прямоугольника равны 5 см и 6 см. О т в е т: 5 и 6 см.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие существуют способы решения систем уравнений второй степени?

– В чем заключается каждый из этих способов?

– Опишите план решения текстовой задачи с помощью системы уравнений.

Домашнее задание: № 456, № 458, № 459.

9 класс Урок №___________________________________________________Решение задач с помощью
систем уравнений второй степени

Цели урока формировать умение решать задачи на движени е с помощью систем уравнений второй степени рассмотреть, как могут решаться текстовые задачи с помощью систем уравнений второй степени; формировать умение решать такие задачи : Развитие монологической речи учащихся, логического мышления;Воспитание интереса к математике.

Задачи урока. рассмотреть, как могут решаться текстовые задачи с помощью систем уравнений второй степени; формировать умение решать такие задачи : обобщить и систематизировать знания учащихся о способах решения систем уравнений второй степени. ; создать условия для самооценки своих возможностей, атмосферу заинтересованности каждого ученика в результатах деятельности;развивать познавательную активность, навыки индивидуальной и самостоятельной работы

Тип урока : урок усвоения новых знаний.

Проверка домашней работы

Устная работа. Периметр прямоугольника равен 20 см, а его площадь равна 21 см 2 . Пусть х и у – стороны этого прямоугольника. Какая из систем соответствует условию задачи?

а) б) в)

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.

2. Прямоугольный участок земли площадью 2080 м 2 обнесен изгородью, длина которой равна 184 м. Найдите длину и ширину участка.

В а р и а н т 2

1. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.

2. Прямоугольный участок земли площадью 3250 м 2 обнесен изгородью, длина которой равна 230 м. Найдите длину и ширину участка.

IV. Формирование умений и навыков. Сначала необходимо актуализировать знания учащихся о решении задач на движение, выделив р я д э т а п о в.

1) Анализ условия:

– Какие объекты рассматриваются в задаче?

– Какое движение описано в задаче (однонаправленное, движение навстречу, по кругу и т. д.)?

– Значения каких величин известны?

2) Выделение процессов, которые описаны в задаче.

3) Выбор неизвестных величин и заполнение таблицы.

4) Составление системы уравнений.

5) Решение системы уравнений.

6) Интерпретация и проверка полученного решения.

Как реализуются описанные этапы, можно разобрать на примере задачи № 472 .

1) В задаче описано движение двух пешеходов навстречу друг другу. Известно расстояние между пунктами и расстояние, которое прошли пешеходы за 4 часа.

2) Выделим два процесса:

– реальное движение пешеходов;

– движение при условии выхода одного из пешеходов на 1 ч раньше.

3) Пусть х км/ч – скорость первого пешехода и у км/ч – скорость второго пешехода.

Заполним две таблицы:

4) Известно, что расстояние от А до В равно 40 км, поэтому получим уравнение: 4 х + 4 у = 36. Известно, что при движении с заданным условием первый пешеход был в пути на 1 ч дольше, то есть получим уравнение: = 1. Составим систему уравнений:

5) Решим ее способом подстановки:

20 у – 20 (9 – у ) – у (9 – у ) = 0; 20 у – 180 + 20 у – 9 у + у 2 = 0; у 2 + 31 у – 180 = 0; у ₁ = 5 х ₁ = 9 – 5 = 4;

у ₂ = – 36 (не подходит по смыслу задачи).

6) Получаем скорости пешеходов: 4 км/ч и 5 км/ч. О т в е т: 4 и 5 км/ч.

Упражнения: 1. № 473, № 547.(индивидуальные задания)

2. № 461. (коллективное решение)

Пусть х км/ч – скорость первого отряда и у км/ч – скорость второго отряда.

Известно, что первый отряд прошел на 4,8 км больше, чем второй. Получим уравнение:

4 х – 4 у = 4,8. На рисунке ОА = 4 х и ОВ = 4 у . По теореме Пифагора, получим уравнение:

(4 х ) 2 + (4 у ) 2 = 24 2 . Составим систему уравнений:

Решая систему способом подстановки , находим, что х = 4,8 и у = 3,6 (другое решение является отрицательным). О т в е т: 4,8 и 3,6 км/ч.

Сильным в учебе учащимся можно дополнительно дать выполнить № 548.

Пусть х км/ч – скорость первого автомобиля, а у км/ч – скорость второго.

В первую таблицу занесем данные о прохождении каждым автомобилем всего пути, а во вторую – об их движении после встречи.

Поскольку после встречи первый автомобиль приходит в N через 1,25 ч, а второй в М через 0,8 ч, то первый на весь путь тратит на 1,25 – 0,8 = 0,45 ч больше. Получим уравнение:

= 0,45. После встречи первый автомобиль проходит 1,25 х км, а второй – 0,8 у км. Получим уравнение: 1,25 х + 0,8 у = 90.

Решая эту систему, находим, что х = 40 и у = 50.

О т в е т: 40 км/ч и 50 км/ч.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Опишите различные способы решения систем уравнений второй степени.

– Перечислите этапы решения задач на движение.

– Какие виды движения могут описываться в задаче?

– В чем заключается интерпретация полученного решения?

Домашнее задание: № 462, № 474. Д о п о л н и т е л ь н о: № 549.