ГЛАВА 3. Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения прикладных задач физики, биологии, медицины
Задача 1. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий, имеющихся в наличии в рассматриваемый момент времени t. Количество бактерий утроилось в течение 5 часов. Найти зависимость числа бактерий от времени.
Решение. Обозначим количество бактерий в момент времени t через x, тогда — скорость размножения бактерий.
По условию задачи — уравнение с разделяющимися переменными.
Потенцируем последнее выражение и получаем общее решение нашего дифференциального уравнения.
Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям
При t=0, x=x0 -частное решение дифференциального уравнения.
Чтобы найти искомую зависимость, определим коэффициент пропорциональности k. По условию задачи известно, что через 5 часов .
Прологарифмируем последнее выражение
Окончательно получаем
Задача 2. При прохождении света через вещество происходит ослабление интенсивности светового потока, вследствие превращения световой энергии в другие виды энергии, т.е. происходит поглощение света веществом. Найти закон поглощения, если известно, что ослабление интенсивности пропорционально толщине слоя и интенсивности падающего излучения.
Решение. Исходя из условия задачи, можно сразу написать дифференциальное уравнение
,
где dI -ослабление интенсивности при прохождении слоя толщиной dx.
k -коэффициент пропорциональности.
Знак минус показывает, что интенсивность падает по мере прохождения слоя.
Проинтегрируем наше уравнение, предварительно разделив переменные
Исходя из того, что падающий на поверхность вещества свет имел интенсивность I=I0 , при x=0, найдем частное решение
Итак, мы получили закон поглощения света веществом ( закон Бугера), где
k -натуральный показатель поглощения.
Задача 3. Известно, что механические свойства биологических объектов изучаются с помощью вязкоупругих моделей (поршень — пружина). Одной из найболее распространенных является модель Кельвина — Фойхта, состоящая из параллельно соединенных пружины и поршня (см. рис.1).
Рис. 4. Модель Кельвина — Фойхта
Найти зависимость деформации от времени , если к модели приложена постоянная нагрузка.
Решение. Согласно условию задачи , и учитывая также, что при малых деформациях выполняется закон Гука, т.е. , а механическое напряжение, возникающее в вязкой среде пропорционально скорости деформации, т.е. , мы можем написать дифференциальное уравнение.
, или
Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение от начального момента времени и нулевой деформации до текущих значений t и , мы будем иметь сразу частное решение.
Потенцируя последнее выражение, получаем
Находим отсюда
Как видно из полученной формулы, в рамках модели Кельвина — Фойхта деформация при постоянной нагрузке возрастает с течением времени. Это соответствует реальным материалам. Такое свойство материала названо текучестью.
Дифференциальные модели в экономике, биологии и медицине
В этом параграфе мы разберем несколько классических моделей, предложенных за последние 200 лет в различных областях науки: экономике, биологии и медицине. Общим при построении этих моделей является использование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, которые несложно решить, прочитав §59 данного справочника.
п.1. Экономика. Равновесная цена в модели Вальраса
Начальные сведения о модели рыночного равновесия, кривых спроса и предложения – см. §18 справочника для 9 класса.
Рассмотрим поведение рыночной цены при небольшом отклонении от точки равновесия по методу, предложенному Леоном Вальрасом (1874 г.)
Пусть p — цена товара, D(p) — спрос на него, S(p) — предложение.
Пусть спрос и предложение на рынке уравновешены, равновесная цена равна \(p_0\).
Если спрос начнет немного превышать предложение, то цена начнет расти: $$ \frac
=0,\ \ D(p_0)-S(p_0)=0 $$ Разложим каждую из функций с помощью дифференциала (см. §52 данного справочника) с точностью до линейного множителя: \begin
Например:
Пусть \(D(p)=9-\frac
<6>,\ S(p)=\frac
<12>\)
\(\sqrt
Тогда равновесная цена \(9-\frac
Значения производных: \begin
\(p(0)=7:\ p(t)=6+e^<-t>\)
\(p(0)=9:\ p(t)=6+3e^<-t>\)
Все три кривые постепенно сходятся к равновесной цене \(p_0=6\).
Устойчивое схождение к \(p_0\) будет наблюдаться только при условии: $$ D'(p_0)-S'(p_0)\lt 0 $$ Т.е кривая спроса должна быть более крутой в своем спуске, чем кривая предложения на подъеме. Говорят, что эластичность спроса по цене в точке равновесия должна быть выше, чем эластичность предложения по цене.
Если степень при экспоненте будет положительной, \(D'(p_0)-S'(p_0)\gt 0\) решение уходит на бесконечность. Говорят, что такое решение неустойчиво.
Если степень при экспоненте будет равна нулю, \(D'(p_0)-S'(p_0)=0\), цена не будет меняться и останется неравновесной.
п.2. Биология. Логистическое уравнение Ферхюльста для роста популяции
Пусть \(P(t)\) – численность популяции. Построим модель её изменения со временем.
Логично предположить, что прирост потомства в популяции пропорционален количеству особей, из чего получаем:
Закон Мальтуса (1798 г.): $$ \frac |
Решением этого уравнения будет \(P(t)=P_0e^
Закон Ферхюльста (1838 г.): $$ \frac \(K\)- максимальный размер популяции в условиях ограниченных ресурсов. |
Решение уравнения Ферхюльста (логистическая кривая): $$ P(t)=\frac |
Например:
Пусть популяция растет со скоростью \(r=0,1\) тыс/год
Начальное количество особей \(P_0=1\) тыс
Максимальное количество, которое способна прокормить данная территория, \(K=10\) тыс
Модель показывает, что через 70 лет популяция займет всю нишу, и её рост фактически прекратится.
На начальном этапе преобладает r-стратегия: бурное размножение и короткая продолжительность жизни.
Исчерпание ресурсов заставляет переходить на K-стратегию: низкий темп размножения и долгую жизнь.
Экспериментально рост популяции по кривой Ферхюльста был подтвержден в лабораторных условиях для мух-дрозофил. В естественных условиях для животных – и тем более, в рамках социума для людей – закономерность нарушается.
п.3. Медицина. Модель развития эпидемии SIR
Традиционной моделью, описывающей процесс развития эпидемии, является модель SIR (Susceptible/Infected/Recovered), предложенная У. Кермаком и А. Маккендриком в 1927 г.
Вся популяция в модели делится на три группы:
- \(S(t)\)— восприимчивые к инфекции, здоровые на момент времени \(t\);
- \(I(t)\)— уже инфицированные;
- \(R(t)\)— выздоровевшие, больше невосприимчивые к инфекции.
Популяция считается постоянной, т.е. \(N=S(t)+I(t)+R(t)=const\).
Рождаемость и смертность не учитывается.
Получаем следующую систему дифференциальных уравнений: $$ \begin
Начальные условия в момент времени \(t=0\): $$ S(0)=S_0\geq 0,\ \ I(0)=I_0\geq 0,\ \ R(0)=R_0\geq 0 $$ Переход из одной группы в другую можно изобразить линейной схемой:
№ | Переход одного человека из одной группы в другую | Скорость перехода |
1 | $$ (S;I)\rightarrow (S-1;\ I+1) $$ | $$ \beta\frac |
2 | $$ (I;R)\rightarrow (I-1;\ R+1) $$ | $$ \gamma I $$ |
Полученная система уравнений не является линейной и не имеет точного аналитического решения. Но её можно решить с использованием численных методов.
$$ \begin
Например:
Пусть общее количество населения N=10 тыс.чел.
В начальный момент инфицирован 1% населения: $$ S(0)=0,99N,\ \ I(0)=0,01N,\ \ R(0)=0 $$ Параметры: \(\beta=0,128;\ \gamma=0,096\) в расчете на день (эти параметры были рассчитаны по фактическим данным для лихорадки Эбола в Сьерра-Леоне).
Результат моделирования в MATLAB:
Красная кривая – это количество болеющих в данный момент. Как мы видим, к концу года она стремится к 0. Пик приходится на 70-80 дней с начала эпидемии и составляет 413 чел. или 4,13% населения.
Зеленая кривая – количество переболевших, к концу года выходит на асимптоту в 4700 чел. или 47,0% населения.
Синяя кривая – количество так и не заболевших, к концу года спускается на асимптоту в 5300 чел. или 53,0% населения.
Чем больше больных у вас будет в начале эпидемии и чем больше параметр \(\beta\), тем выше будет пик \(I_
Модель SIR – это начальный этап для исследований. На практике для моделирования эпидемий могут использоваться модели с десятками переходов и параметров, с постепенным усложнением по мере накопления данных.
Д ИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В МЕДИЦИНСКОЙ ПРАКТИКЕ. — презентация
Презентация была опубликована 2 года назад пользователемнадежда чаш-оол
Похожие презентации
Презентация на тему: » Д ИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В МЕДИЦИНСКОЙ ПРАКТИКЕ.» — Транскрипт:
1 Д ИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В МЕДИЦИНСКОЙ ПРАКТИКЕ
2 План: 1. Основные понятия и определения дифференциального уравнения 2. Методы решения дифференциальных уравнений. 3. Применение дифференциальных уравнений для решения задач.
3 1. Основные понятия и определения дифференциального уравнения Уравнения, в которых неизвестными являются не только сами функции, но и их производные называются дифференциальными уравнениями. y+y+3x=0
4 Уравнения, в которых неизвестными являются не только сами функции, но и их производные называются дифференциальными уравнениями. y+y+3x=0 Если в уравнение входит независимая переменная, неизвестная функция и её первая производная, то это уравнение называется дифференциальным уравнением I порядка Если в уравнение входит независимая переменная, неизвестная функция, производные и производная n-го, то это уравнение называется дифференциальным уравнением n- порядка.
5 Пример: Решить уравнение у =5 Решение: y=5x+C – общее решение дифференциального уравнения Зададим начальные условия : х 0 =0, у 0 =1 и подставим в общее решение соответственно вместо х и у. Получаем у=5 х+1-это частное решение дифференциального уравнения. Геометрически общее решение y=5x+C представляет собой семейство прямых
6 Дифференциальное уравнение I порядка Обыкновенные диф.уравнения y=f(x) диф.уравнения с разделяющимися переменными y=f(x)g(y) Линейные диф.уравнения I порядка y+p(x)y=f(x) Однородные Если f(x)=0 У +p(x)y=0 -это уравнение с разделяющимися переменными. Неоднородные Если f(x) не равно 0.
7 2. Метоы решения дифференциального уравнения Обыкновенное дифференциальное уравнение y=f(x)
8 Пример: Решить дифференциальное уравнение y=5 х+2 Решение:
9 Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными y=f(x)g(y) Решается это уравнение по шагам: 1.dy/dx=f(x)g(y) 2.dy/g(y)=f(x)dx 3. Интегрируем обе части выражения. 4. Находим первообразные. 5. Выражаем функцию у через х.
10 Пример: Решить дифференциальное уравнение: Решение: Выражаем функцию у через х:
11 Линейное дифференциальное уравнение I порядка y+p(x)y=f(x) Если f(x)=0, то уравнение называется линейным однородным уравнением: y+p(x)y=0
12 Пример: Найти общее решение дифференциального уравнения: y+y2cosx=0 Решение: — формула общего решение уравнения Подставляем в формулу общего решения и получаем: — общее решение уравнения
13 Линейное дифференциальное уравнение I порядка y+p(x)y=f(x) Если f(x)0, то уравнение называется линейным неоднородным уравнением. Общее решение неоднородного уравнения имеет вид:
14 Пример: Найти общее решение дифференциального уравнения: y+yx=3 х Решение: Формула общего решения уравнения: Обозначим: p(x)=x, f(x)=3x
15 3. Применение дифференциальных уравнений для решения задач.
16 Составление и применение дифференциальных уравнений Решение любой задачи с помощью математического анализа можно разбить на три этапа: 1. перевод условий задачи на язык математики; 2. решение задачи; 3. оценка результатов.
17 Закон растворения лекарственных форм вещества из таблеток Скорость растворения лекарственных форм вещества из таблеток пропорциональна количеству лекарственных форм вещества в таблетке. Установить зависимость изменения количества лекарственных форм вещества в таблетке с течением времени. Обозначим через m количество вещества в таблетке, оставшееся ко времени растворения t. Тогда dm/dt= -km, где k-постоянная скорости растворения. Минус в уравнении означает, что количество лекарственных форм вещества с течением времени убывает.
18 Закон размножения бактерий с течением времени Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий в данный момент. Установить зависимость изменения количества бактерий от времени. Обозначим количество бактерий, имеющихся в данный момент, через х. Тогда dx/dt=kx, где k – коэффициент пропорциональности.
19 Закон роста клеток с течением времени Для палочковидных клеток, у которых отношение поверхности клетки к её объёму сохраняется постоянным, скорость роста клетки dl/dt пропорциональна длине клетки l в данный момент: dl/dt = (α — β) l где α, β – постоянные, характеризующие процессы синтеза и распада.
20 Закон разрушения клеток в звуковом поле Кавитация ультразвуковых волн проявляется в виде разрывов суспензионной среды и образования мельчайших пузырьков и пустот, плотность которых незначительна по сравнению с плотностью воды. Простейшие (бактерии, водоросли, дрожжи, лейкоциты, эритроциты) могут быть разрушены при кавитации, возникающей в интенсивном звуковом поле. Относительные скорости разрушения биологических клеток различных видов остаются постоянными в очень широком диапазоне частот. Эти скорости могут характеризовать относительную хрупкость клеток различных видов. Чтобы выразить это количественно, нужно определить скорость разрушения клетки в постоянном звуковом поле. Изучение этого вопроса показывает, что, пока по крайней мере 1% популяции остаётся не разрушенным, можно записать: dN/dt = — RN где N – концентрация клеток; t –время; R — постоянная
21 Внутривенное введение глюкозы При внутривенном введении глюкозы с помощью капельницы скорость поступления глюкозы в кровь постоянна и равна С. В крови глюкоза разлагается и удаляется из кровеносной системы со скоростью, пропорциональной имеющемуся количеству глюкозы. Дифференциальное уравнение, описывающее данный процесс: dx/dt=c-αx, где х-количество глюкозы в крови в текущий момент времени; с-скорость поступления глюкозы в кровь; α-положительная постоянная
22 Теория эпидемий В теории эпидемий при условии, что изучаемое заболевание носит длительный характер, процесс передачи инфекции значительно более быстрый, чем течение самой болезни, и зараженные особи не удаляются из колонии и передают при встречах инфекцию незараженным особям. Пусть в начальный момент t=0, а – число зараженных, b – число незараженных особей, x(t), y(t) – соответственно число зараженных и незараженных особей к моменту времени t. В любой момент времени t для промежутка, меньшего времени жизни одного поколения, имеет место равенство х+у=а+b (1) Уравнение зомби-апокалипсиса (bN)(S/N)Z = bSZ, где N общее число населения, S число людей, восприимчивых к атакам зомби, Z общее число самих зомби b вероятность заражения вирусом.
23 Теория эпидемий При этих условиях нужно установить закон изменения числа незаражённых особей с течением времени, т.е. найти y=f(x). Так как инфекция передаётся при встречах зараженных особей с незараженными, то число незараженных особей будет убывать с течением времени пропорционально количеству встреч между зараженными и незараженными особями. Для промежутка времени dt dy=-βxy, откуда dy/dt= — βxy, где β – коэффициент пропорциональности. Подставив в это уравнение значение х из равенства (1), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: dy/dt= — βy (a+b-y)
24 Пример: Составьте дифференциальное уравнение и найдите частные решения: Концентрация лекарственного препарата в крови уменьшается вследствие выведения вещества из организма. Скорость уменьшения концентрации пропорциональна концентрации вещества в данный момент. Определить зависимость концентрации данного вещества в крови от времени, если в начальный момент времени она была равна 0,2 мг/л, а через 23 часа уменьшилась вдвое Решение: Уравнение описывающее этот процесс: m — концентрация лекарственного препарата в крови в данный момент времени; k — коэффициент пропорциональности, где — скорость выведения вещества из организма,
25 Решение: Решая полученное уравнение, получаем: где m 0 -концентрация вещества в крови в начальный момент времени t=0, m – текущая концентрация вещества в крови в момент времени t.
26 Решение: Потенцируя, получим: По условию задачи m 0 =0,2 мг/л, m=m 0 /2 мг/л, t=23 ч. Подставляем и находим: Зависимость концентрации данного вещества в крови от времени, описывается следующим законом:
27 Контрольные вопросы для закрепления: 1. Дайте понятие дифференциальному уравнению, его решению. 2. Назовите методы решения дифференциальных уравнений, охарактеризуйте каждый. 3. Приведете примеры обыкновенного дифференциального уравнения, уравнения с разделяющими переменными, линейного. 4. Приведите примеры дифференциального уравнения первого, второго, третьего порядка. 5. Каково практическое применение дифференциальных уравнений.
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/differencialnye-modeli-v-ekonomike-biologii-i-medicine/
http://www.myshared.ru/slide/1399244/