Задачи с применением дифференциальных уравнений

Примеры решений задач по дифференциальным уравнениям

Теперь, когда вы научились находить производные и интегралы, самое время перейти к более сложной теме: решению дифференциальных уравнений (они же дифуры, диффуры и диф.уры :)), то есть уравнений, которые вместе с самой функцией (и/или аргументом), содержат и производную или даже несколько.

Как же решать дифференциальные уравнения? Главное, что понадобится, это а) умение правильно определить тип дифференциального уравнения и б) умение хорошо интегрировать — это существенная часть работы. А дальше следовать алгоримам для каждого из типов уравнений, которые подробно описаны в учебниках и ниже в примерах.

В этом разделе вы найдете решенные задачи на составление и решение дифференциальных уравнений. Примеры решений дифуров выложены бесплатно для вашего удобства и отсортированы по темам — изучайте, ищите похожие, решайте свои. Есть трудности в выполнении заданий? Мы готовы оказать помощь по дифференциальным уравнениям

Как решить дифференциальное уравнение онлайн?

Да ладно, неужели только вручную? Мучиться, определять тип, переносить, интегрировать, заменять, снова интегрировать, подставлять, выводить? Наверняка ведь есть онлайн-калькуляторы, которые позволяют решать дифференциальные уравнения?

У меня две новости, хорошая и плохая. Хорошая в том, что действительно самые распространенные типы дифференциальных уравнений математические программы умеют решать. Плохая в том, что обычно они выводят ответ (для научных расчетов этого достаточно), а не полное решение.

Есть известный математический сервис www.wolframalpha.com, которые представляет полные решения множества математических задач, в том числе диффуров онлайн (на английском языке) за 7 долларов в месяц. Ответы же доступны всем и могут помочь проверять правильность своего решения (см. ниже на скриншоте обведено само уравнение и его решение). Подробнее об этом сайте и типичных задачах, решаемых на нем, вы можете узнать тут.

Если вы забьете в поисковик что-то вроде «решить дифференциальное уравнение онлайн», то получите десятки ссылок на сайты, обещающие именно это.

Я проверила все сайты с первых страниц Яндекса и Гугла. Большая часть сайтов использует результаты расчетов www.wolframalpha.com (см. выше) и показывает вам ответ (и рекламу :)). Некоторые при этом не показывают даже ответа или говорят, что уравнение введено некорректно (хотя это вполне стандартное решаемое вручную линейное уравнение с постоянными коэффициентами). Полное решение не выдал ни один сайт.

Выводы? Бесплатно и полно и онлайн — не бывает. Хотите получать полные решения — используйте платную подписку на ВольфрамАльфа (или проконсультируйтесь у нас). Хотите ответы — там же бесплатно. Хотите научиться решать? Придется засучить рукава. Примеры на этой странице и ссылки внизу помогут вам. Удачи!

Общий интеграл, семейство кривых

Задача 1. Показать, что функция $y^2-x^2-Cy=0$ является общим интегралом дифференциального уравнения $y'(x^2+y^2)-2xy=0.$

Задача 2. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых $C_1 x+(y-C_2)^2=0.$

Решения дифференциальных уравнений 1 порядка

Задача 3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка $ xy’+x^2+xy-y=0.$

Задача 4. Решить однородное дифференциальное уравнение $y’=-y/x \quad (x \ne 0).$

Задача 5. Решить дифференциальное уравнение $(y^4-2x^3y)dx+(x^4-2xy^3)dy=0.$

Задача 6. Решить однородное дифференциальное уравнение $(2x+y+1)dx+(x+2y-1)dy=0.$

Задача 7. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка $y’-2xy=3x^2-2x^4.$

Задача 8. Решить дифференциальное уравнение $(x+y^2)y’=y-1.$

Решение задачи Коши для ДУ

Задача 9. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $(1+x^2)dy-2xydx=0.$ Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y(0)=1$.

Задача 10. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка $2y y» +1 =(y’)^2, \, y(1/3)=1, \, y'(1/3)=2$.

Задача 11. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения $$ y’= \frac<2y-x><2x+y>, y(1)=1. $$

Задача 12. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения третьего порядка $$ y»’=x+\cos x, \quad y(0)=0, y'(0)=0, y»(0)=0. $$

Решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Задача 13. Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами $y»+4y’+4y=xe^<2x>.$

Задача 14. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации: $$ y»-3y’=\frac<9e^<-3x>><3+e^<-3x>>, \quad y(0)=4\ln 4, y'(0)=3(3\ln 4-1). $$

Cоставление дифференциальных уравнений

Задача 15. Скорость остывания нагретого тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. За 10 минут тело охладилось от 100 до 60 градусов. Температура среды постоянна и равна 20 градусам. Когда тело остынет до 25 градусов?

Задача 16. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 5 м/сек. На полном ходу ее мотор выключается и через 40 сек после этого скорость лодки уменьшается до 2 м/сек. Определить скорость лодки через 2 минуты после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

Решения нелинейных дифференциальных уравнений

Задача 17. Решить дифференциальное уравнение $y^2 ^2 -2xyy’+2y^2-x^2=0.$

Задача 18. Решить дифференциальное уравнение $^2-4xyy’+8y^2=0.$

Задачи с применением дифференциальных уравнений

Примеры решения задач по механике, требующих интегрирования дифференциальных уравнений

(Задачи взяты из задачника: И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», М.: Наука, 1981г., 460с.)

Задача №1. Пример задачи, приводящей к интегрированию дифференциальных уравнений методом разделения переменных.

При движении тела в неоднородной среде сила сопротивления изменяется по закону Н, где v – скорость тела в м/с, а s – пройденный путь в метрах. Определить пройденный путь как функцию времени, если начальная скорость v ₀=5 м/с.

Будем считать, что движение происходит вдоль оси 0Х, и что при t =0 тело находилось в начале координат, тогда проекция на ось 0Х силы, действующей на тело, может быть записана в виде

.

С учётом этого выражения, имеем следующее уравнение движения (считая массу тела m =1 кг)

, (1)

которое дополняется начальными условиями

, (2)

Решение уравнения второго порядка (1) можно свести к двум последовательным интегрированиям дифференциальных уравнений первого порядка. Чтобы получить первое уравнение, перепишем (1) в виде:

, (3)

и домножим на dt левую и правую части (3), учитывая при этом, что dx = v_xdt , получим:

, или (4)

Это уравнение с разделяющимися переменными (вида (1.5) из Раздела №1 Части I ). Очевидно, что оно, дополняется начальным условием, следующим из (2):

(5)

Разделив переменные в (4), в соответствие с формулой (1.7):

,

вычисляя данные интегралы, получим частный интеграл уравнения (4) (в форме (В.4) из Введения к Части I ):

(6)

Выразив отсюда v_x , будем иметь частное решение уравнения (4) (в форме (В.6) из Введения к Части I ):

(7)

Заменяя теперь в (7)

,

мы снова получаем уравнение с разделяющимися переменными (вида (1.1) из Раздела №1 Части I )

(8)

Разделяя в (8) переменные, с учётом начального условия (2), ищем частный интеграл этого уравнения (в виде (1.4) из Раздела №1 Части I ):

(9)

Вычисляя интегралы в (9), получим:

(10)

— частный интеграл уравнения (8) в форме (В.4) из Введения к Части I. Выражая отсюда x , получим частное решение уравнения (8):

, (11)

которое одновременно является и частным решением уравнения движения (1), удовлетворяющим начальным условиям (2), то есть, представляет собой закон движения тела (координата x , (или в данном случае путь), как функция времени). Таким образом, решение исходного уравнения движения второго порядка (1) в процессе решения задачи было сведено к интегрированию двух уравнений первого порядка с разделяющимися переменными (4) и (8).

Задача №2. Пример задачи, приводящей к интегрированию линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Тело К, размерами которого можно пренебречь, установлено в верхней точке А шероховатой поверхности неподвижного полуцилиндра радиуса R . Какую начальную горизонтальную скорость , направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу К, чтобы оно начав движение, остановилось на поверхности цилиндра, если коэффициенты трения скольжения при движении и покое одинаковы и равны .

Расставляем силы, действующие на тело, и записываем второй закон Ньютона:

Спроектируем данное равенство на направление движения и перпендикулярное ему. Эти направления указаны на рисунке векторами и . Таким образом, для описания движения мы используем естественный способ. В результате получим:

(1)

Здесь учтено, что центростремительное ускорение

,

.

Сделаем в первом уравнении в (1) замену переменной — перейдем от дифференцирования по времени к дифференцированию по углу :

(т.к. )

С учетом этой замены перепишем (1):

(2)

Домножая второе уравнение на , и вычитая из первого, получим:

(3)

Это уравнение типа (2.1) (из Раздела №2 Части I ), в котором независимой переменной вместо t является ; неизвестной функцией вместо ;

; .

Уравнение (3) дополняется начальным условием:

(4)

С учетом указанных обозначений, используя формулу (2.9) (из Раздела №2 Части I ), решение уравнения (3) можно записать в виде:

(5)

Вычисляя с помощью интегрирования по частям интервалы в (5) , окончательно получим:

(6)

По условиям задачи тело должно остановиться на поверхности; т.е. при каком-то угле .

Подставляя вместо в (6) выразим оттуда :

(7)

Значение угла можно выразить через , поскольку ;

то из уравнений (2) получим:

(8)

Отсюда: ;

(9)

;

из (7) будем иметь:

(10)

Следовательно, чтобы тело остановилось на шероховатой поверхности цилиндра, нужно, чтобы его начальная скорость не превосходила значение, определенного в (10).

Задача №3. Пример задачи, приводящей к решению линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Тело массы 5 кг подвешено к концу пружины жёсткости 20 Н/м и помещено в вязкую среду. Период его колебаний в этом случае равен 10 с. Найти постоянную демпфирования, логарифмический декремент колебаний и период свободных колебаний.

Выберем начало координат в положении статического равновесия тела и расставим силы, действующие на тело в процессе колебаний (считаем, что тело в данный момент времени движется вверх). Если АВ обозначает длину нерастянутой пружины, то отрезок ОВ представляет статическое удлинение пружины под действием силы mg . По закону Гука mg = k × ОВ, где k — коэффициент жёсткости пружины. Записываем второй закон Ньютона:

.

Проектируем это равенство на ось ОХ, учитывая, что

, .

В результате получим уравнение колебаний

, или (1)

где , .

Уравнение (1) представляет собой однородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (уравнение (1.1) Части II ). Для его решения используем схему, описанную в Разделе №1 Части II .

Составляем характеристическое уравнение:

. (2)

Вычисляем дискриминант уравнения (2):

. (3)

Поскольку в данном случае, в соответствие с условиями задачи движение тела носит колебательный (периодический) характер, то его координата должна изменяться со временем по гармоническому закону, то есть по закону косинуса или синуса. Для того же, чтобы решение уравнения (1) выражалось через данные функции, мы должны считать, что D (4)

где величины и определяются следующим образом:

, (5)

В случае отсутствия затухания (когда n =0), , и тело совершает свободные колебания с периодом с.

Если же n ¹ 0, то период колебаний, с учётом (5),:

.

Выражаем отсюда , и определяем постоянную демпфирования a (коэффициент пропорциональности в формуле для силы сопротивления):

Подставляя данные задачи, получим a =19 .

В соответствие со своим определением, логарифмический декремент затухания есть натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд, (то есть взятых через половину периода колебания ): . Вычисляя n и подставляя значение Т, получим =9,5.

Задача №4. Пример задачи, приводящей к решению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для уменьшения действия на тело массы m возмущающей силы устанавливают пружинный амортизатор с жидкостным демпфером. Коэффициент жёсткости пружины k . Считая, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости ( ), найти максимальное динамическое давление всей системы на фундамент при установившихся колебаниях.

Направим ось 0 X вдоль направления движения, выбрав начало координат в положении статического равновесия тела. При этом считаем, что сила тяжести скомпенсирована силой статического сжатия пружины амортизатора. Записываем второй закон Ньютона:

.

Проектируем это равенство на ось ОХ, учитывая, что

, , .

В результате получим уравнение колебаний

, или , (1)

где обозначено , .

При колебаниях на фундамент действует сила, складывающаяся из силы деформации пружины и силы сопротивления, равная в соответствие с третьим законом Ньютона,

. (2)

Следовательно, для вычисления этой силы нужно знать уравнение движения тела , для чего необходимо решить уравнение (1). Поскольку в задаче рассматриваются уже установившиеся колебания, то есть рассматривается движение тела, установившееся по истечению достаточно большого промежутка времени от момента его начала. При этом тело будет совершать колебания с частотой вынуждающей силы. Поэтому мы должны найти частное решение уравнения (1), соответствующее этим вынужденным колебаниям. Для этого используем метод подбора по правой части. Представим, в соответствие с формулой (2.5) (из Раздела №2 Части II ) решение уравнения (1) в виде

(3)

Обозначим для краткости записи через и подставим (3) в (1):

Приравнивая коэффициенты при и , получим следующую систему уравнений:

Решая данную систему, находим

, (4)

Подставим (4) в (3):

(5)

Данную формулу, обозначая

, (6)

можно переписать в виде:

(7)

Подставим теперь (7) в (2):

(8)

, (9)

формулу (8) можно переписать в виде

(10)

Отсюда следует, что максимальное динамическое давление всей системы на фундамент равно

. (11)

Примеры дифференциальных уравнений с решениями

• Попробуйте решить приведенные ниже дифференциальные уравнения.
• Нажмите на изображение уравнения, и вы попадете на страницу с подробным решением.

Примеры решений дифференциальных уравнений первого порядка

Примеры решений дифференциальных уравнений второго и высших порядков

Найти общее решение дифференциального уравнения, или решение с заданными начальными условиями.

Примеры решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка

Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием:
,
при .

Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению
,
и проходящую через данную окружность
, .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 28-01-2016 Изменено: 26-11-2021