Задачи с процентами 7 класс уравнение

Как решать задачи с процентами

О чем эта статья:

Основные определения

Когда мы сравниваем разные части целого, мы используем такие понятия, как половина (1/2), треть (1/3), четверть (1/4). Это удобно: отрезать половину пирога, пройти треть пути, закончить первую четверть в школе.

Чтобы сравнивать сотые доли, придумали процент (1/100): с латинского языка — «за сто».

Процент — это одна сотая часть от любого числа. Обозначается вот так: %.

Как перевести проценты в десятичную дробь? Нужно убрать знак % и разделить число на 100. Например, 18% — это 18 : 100 = 0,18.

А если нужно перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Например:

Выразить дробь в процентах просто. Для перевода сначала превратим ее в десятичную дробь, а потом используем предыдущее правило и переведем десятичную дробь в проценты:

Типы задач на проценты

В 5, 6, 7, 8, 9 классах в задачках по математике на проценты сравнивают части одного целого, определяют долю части от целого, ищут целое по части. Давайте рассмотрим все виды задач на проценты.

Тип 1. Нахождение процента от числа

Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент.

Задача. За месяц на заводе изготовили 500 стульев. 20% изготовленных стульев не прошли контроль качества. Сколько стульев не прошло контроль качества?

Как решаем: нужно найти 20% от общего количества изготовленных стульев (500).

Ответ: из общего количества изготовленных стульев контроль не прошли 100 штук.

Тип 2. Нахождение числа по его проценту

Чтобы найти число по его проценту, нужно его известную часть разделить на то, сколько процентов она составляет от числа.

Задачи по поиску процента по числу и числа по его проценту очень похожи. Чтобы не перепутать — внимательно читаем условия, иначе зайдем в тупик или решим неправильно. Если в задании есть слова «который», «что составляет» и «который составляет» — перед нами задача по нахождению числа по его проценту.

Задача. Школьник решил 40 задач из учебника. Что составляет 16% числа всех задач в книге. Сколько всего задач собрано в этом учебнике?

Как решаем: мы не знаем, сколько всего задач в учебнике. Но нам известно, что 40 задач составляют 16% от общего количества. Запишем 16% в виде дроби: 0,16. Далее известную нам часть целого разделим на ту долю, которую она составляет от всего целого.

40 : 0,16 = 40 · 100 : 16 = 250

Ответ: 250 задач собрано в этом учебнике.

Тип 3. Нахождение процентного отношения двух чисел

Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно ту часть, о которой спрашивается, разделить на общее количество и умножить на 100%.

Задача. В классе учится 25 человек. 10 из них — девочки. Сколько процентов девочек в классе?

Как решаем: поделим 10 на 25, полученную дробь переведем в проценты.

10/25 * 100% = 2/5 * 100% = 2 * 100/5 = 40%

Ответ: в классе 40% девочек.

Тип 4. Увеличение числа на процент

Чтобы увеличить число на некоторое количество процентов, можно найти число, которое выражает нужное количество процентов от данного числа, и сложить его с данным числом.

А можно воспользоваться формулой:

a = b · (1 + с : 100),

где a — число, которое нужно найти,

b — первоначальное значение,

c — проценты.

Задача. В прошлом месяце стикерпак стоил 110 рублей. А в этом месяце на 12% больше. Сколько стоит стикерпак?

Как решаем: можно найти 12% от 110:

Прибавить к исходному числу:

110 + 13,2 = 123,2 рубля.

Или можно воспользоваться формулой, тогда:

110 · (1 + 12 : 100) = 110 · 1,12 = 123,2.

Ответ: стоимость стикерпака в этом месяце — 123 рубля 20 копеек.

Тип 5. Уменьшение числа на процент

Чтобы уменьшить число на несколько процентов, можно найти число, которое выражает нужное количество процентов данного числа, и вычесть его от данного числа.

А можно воспользоваться формулой:

a = b · (1 − с : 100),

где a — число, которое нужно найти,

b — первоначальное значение,

c — проценты.

Задача. В прошлом году школу закончили 100 ребят. А в этом году выпускников на 25% меньше. Сколько выпускников в этом году?

Как решаем: можно найти 25% от 100:

Вычесть из исходного числа 100 − 25 = 75 человек.

Или можно воспользоваться формулой, тогда:

100 · (1 − 25 : 100) = 75/p>

Ответ: 75 выпускников в этом году.

Тип 6. Задачи на простые проценты

Простые проценты — метод расчета процентов, при котором начисления происходят на первоначальную сумму вклада или долга.

Формула расчета выглядит так:

S = а · (1 + у · х : 100),

где a — исходная сумма,

S — сумма, которая наращивается,

x — процентная ставка,

y — количество периодов начисления процента.

Задача. Марии срочно понадобились деньги и она взяла на один год в долг 70 000 рублей под 8% ежемесячно. Сколько денег она вернет через год?

Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.

70 000 · (1 + 12 · 8 : 100) = 137 200

Ответ: 137 200 рублей вернет Мария через год.

Тип 7. Задачи на сложные проценты

Сложные проценты — это метод расчета процентов, когда проценты прибыли прибавляют к сумме на остатке каждый месяц. В следующий раз проценты начисляют на эту новую сумму.

Формула расчета выглядит так:

S = а · (1 + х : 100) y ,

где S — наращиваемая сумма,

a — исходная,

x — процентная ставка,

y — количество периодов начисления процента.

Задача. Антон хочет оформить вклад 10 000 рублей на 5 лет в банке, который дает 10% годовых. Какую сумму снимет Антон через 5 лет хранения денег в этом банке?

Как решаем: просто подставим в формулу данные из условий задачи:

10000 · (1 + 10 : 100)3 = 13 310

Ответ: 13 310 рублей снимет Антон через год.

Курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы. Вводный урок — бесплатно!

Есть случаи, когда найти процент от числа проще, если представить проценты в виде простых дробей. В таком случае будем искать часть числа.

• 10% — десятая часть целого. Чтобы найти десять %, понадобится известное разделить на 10.
• 20% — пятая часть целого. Чтобы вычислить двадцать % от известного, его нужно разделить на 5.
• 25% — четверть целого. Чтобы вычислить двадцать пять %, понадобится известное разделить на 4.
• 50% — половина целого. Чтобы вычислить половину, нужно известное разделить на 2.
• 75% — три четверти целого. Чтобы вычислить семьдесят пять %, нужно известное значение разделить на 4 и умножить на 3.

Задача для тренировки. В черную пятницу вы нашли отличный пиджак со скидкой 25%. В обычный день он стоит 8500 рублей, но сейчас с собой есть только 6400 рублей. Хватит ли средств для покупки?

Ответ: средств хватит, так как пиджак стоит 6375 рублей.

Задачи на проценты с решением

Как мы уже убедились, решать задачи на проценты совсем несложно. Для закрепления материала рассмотрим реальные примеры на проценты из учебников и несколько заданий для подготовки к ЕГЭ.

Задача 1. Организм взрослого человека на 70% состоит из воды. Какова масса воды в теле человека, который весит 76 кг?

Ответ: масса воды 53,2 кг

Задача 2. Цена товара понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной ценой?

Обозначим первоначальную цену товара через х. После первого понижения цена станет равной.

Второе понижение цены составляет 25% от новой цены 0,6х, поэтому после второго понижения получим:

0,6х — 0,25 * 0,6x = 0,45x

После двух понижений изменение цены составит:

Так как величина 0,55x составляет 55% от величины x, то цена товара понизилась на 55%.

Задача 3. Четыре пары брюк дешевле одного пальто на 8%. На сколько процентов пять пар брюк стоят дороже, чем одно пальто?

По условиям задачи стоимость четырех пар брюк — это 92% от стоимости пальто

Получается, что стоимость одной пары брюк — это 23% стоимости пальто.

Теперь умножим стоимость одной пары брюк на пять и узнаем, что пять пар брюк обойдутся в 115% стоимости пальто.

Ответ: пять пар брюк на 15% дороже, чем одно пальто.

Задача 4. Семья состоит из трех человек: муж, жена и дочь-студентка. Если зарплата мужа вырастет в два раза, общий доход семьи возрастет на 67%. Если дочери в три раза урежут стипендию, общий доход этой семьи уменьшится на 4%. Вычислить, какой процент в общий доход семьи приносит заработок жены.

По условиям задачи общий доход семьи напрямую зависит от доходов мужа. Благодаря увеличению зарплаты общий доход семьи вырастет на 67%. Значит, зарплата мужа составляет как раз 67% от общего дохода.

Если стипендия дочери уменьшится в три раза (т.е. на 1/3), останется 2/3 — это и есть 4%, на которые уменьшился бы семейных доход.

Можно составить простую пропорцию и выяснить, что раз 2/3 стипендии — это 4% дохода, то вся стипендия — это 6%.

А теперь отнимем от всего дохода вклад мужа и дочери и узнаем, какой процент составляет заработок жены в общем доходе семьи: 100 – 67 – 6 = 27.

Ответ: заработок жены составляет 27%.

Задача 5. В свежих абрикосах 90% влаги, а в сухофрукте кураге только 5%. Сколько килограммов абрикосов нужно, чтобы получить 20 килограммов кураги?

Исходя из условия, в абрикосах 10% питательного вещества, а в кураге в концентрированном виде — 95%.

Поэтому в 20 килограммах кураги 20 * 0,95 = 19 кг питательного вещества.

Значит, 19 килограммов питательного вещества в абрикосах — это 10% веса свежих абрикосов. Найдем число по проценту.

Ответ: 190 кг свежих абрикосов потребуется для изготовления 20 кг кураги.

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА «Решение задач на проценты с помощью уравнений»
план-конспект урока по алгебре (7 класс) по теме

Урок для обучающихся 7 класса.

Скачать:

Предварительный просмотр:

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА
«Решение задач на проценты с помощью уравнений»

Якименко Евгения Александровна

МОУ СОШ №6 г. Богородск Нижегородской области

Тема «Решение задач на проценты с помощью уравнений»

Гл.2 «Уравнения с одним неизвестным» ( урок 5 в данной теме)

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. «Алгебра 7», М.: Просвещение, 2009 г.

1. Цель и задачи урока

Цель: выявить задачи трех видов на проценты и найти способы их решения, закрепить умение решать основные задачи на проценты; создать и исследовать математическую модель.

познакомить учащихся с понятиями «скидка», «распродажа», «бюджет», «тарифы», «пеня»;

исследовать обобщенную схему решения, спрогнозировать конкретную ситуацию и исследовать ее.

сформировать умение применять знания процентов в жизненных ситуациях.

1. Тип урока — комбинированный
2. Формы работы учащихся — фронтальная, индивидуальная, самостоятельная работа в парах.
3. Необходимое техническое оборудованиекомпьютер для учителя с выходом в Интернет, мультимедиа-проектор, мультимедийный экран, 12 компьютеров, авторская электронная презентация с необходимыми упражнениями и изображениями.
4. Структура и ход урока

1) Организационный момент.

2) Сообщение цели урока.

3)Устная работа (актуализация прежних знаний).

4) Изучение нового материала.

5) Первичное закрепление.

6) Подведение итогов.

СТРУКТУРА И ХОД УРОКА

Название используемых ЭОР

(с указанием порядкового номера из Таблицы 2)

(с указанием действий с ЭОР, например, демонстрация)

Проверка явки на урок, отметка в журнале отсутствующих

Ребята настраиваются на работу

Сообщение цели урока

— Сегодня на уроке, ребята вы, вместе со мной вспомните решение задач на проценты, а также вы исследуете еще один способ решения задач на проценты

(актуализация прежних знаний).

— Выполните устно задания, представленные вашему вниманию на экране:

1. Представьте данные десятичные дроби в процентах:

0,5 0,24 0,867 0,032 1,3 0,0081

0,01 154 3,2 0,7 10 15

Проговаривают устно и смотрят правильный ответ на доске

50% 24% 86,7% 3,2% 130% 0,81%

1% 15400% 320% 70% 1000% 1500%

1. Представьте проценты десятичными дробями:

2% 12,5% 2,67% 0,06% 32,8%

1000% 510% 0,5% 213% 0,1%

0,02 0,125 0,0267 0,0006 0,328

10 5,1 0,005 2,13 0,001

— Основные понятия, связанные с процентами:

1. Нахождение процентов данного числа.

Решение задачи записываем в тетради.

30% от 60 составляет?

Чтобы найти а % от в , надо в∙0,01а.

2. Нахождение числа по его процентам.

3% числа х составляют 150.

Если известно, что а% числа х равно в , то х=в:0,01а

3.Нахождение процентного отношения чисел.

Сколько процентов составляет 150 от 600?

Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100%. 100%

— Прослушивание информации и выполнение тестового задания

— Решение основных задач на проценты.

На сколько процентов надо увеличить число 90, чтобы получить 120?

Цену товара снизили на 30%, затем новую цену повысили на 30%. Как изменилась цена товара?

Пусть первоначальная цена товара а, тогда:

а-0,3а=0,7а – цена товара после снижения,

0,7а+0,7а 0,3=0,91а – новая цена.

1,00-0,91=0,09 или 9%

Ответ: цена снизилась на 9%

Почему нельзя сказать, что цена товара не изменилась?

Так как повышение цены товара на 30% произошло от измененной цены, а не первоначальной.

В повседневной жизни все мы являемся покупателями, оплачиваем коммунальные услуги, иногда случается, что приходится платить штрафы, а также производим некоторые банковские операции, делаем маринады для консервирования. Поэтому сегодня на уроке попробуем решить все эти проблемы. В этом нам помогут знания по математике.

Зонт стоил 360 рублей. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре еще на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре?

1. 100-15=85%
2. 360∙0,85=306(р)- стоимость зонта в ноябре.
3. 100-10=90%
4. 306∙0,9=275,4(р)-стоимость зонта в декабре.

Ответ: 275 руб.40 коп.

Дополнительный вопрос: На сколько процентов по отношению к первоначальной цене подешевел зонт?

При приеме на работу директор предприятия предлагает зарплату 4200 р. Какую сумму получит рабочий после удержания налога на доходы физических лиц?

При начислении налога на доходы физических лиц нужно учитывать стандартный вычет 400 р., налог 13% берется от оставшейся суммы.

В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составит 3 р.15к. вместо 2 р.75 к. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5%.

Дополнительный вопрос. Сколько будет стоить отправка заказного письма, если эта услуга сейчас оценивается в 5 р. 50 к?

Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

1. 0,04∙250=10 (р.) — штраф
2. 250+10=260 (р.) — оплата, если просрочат 1 день
3. 250+10∙7=320 (р.) – придется заплатить родителям

Ответ: 320 рублей.

Гимнастика для глаз.

Изучение нового материала

Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8% соли, чтобы получить 5% раствор?

Поможет нам решить эту задачу уравнение. Что называют уравнением?

Равенство, содержащее неизвестное, обозначенное буквой.

Значит, мы должны составить равенство, в котором одна из неизвестных величин обозначена буквой. Какую из величин обозначим буквой?

Пусть хг – количество воды, которое надо добавить,

— Уравнение – это равенство, поэтому теперь мы должны составить равенство, в котором будет участвовать х и другие величины. Для этого нам потребуется выразить и другие неизвестные в задаче величины через х.

(50+х)г – новое количество раствора

50∙0,08г – количество соли в исходном растворе

0,05∙(50+х) г – количество соли в новом растворе

— Итак, все неизвестные величины мы выразили через данные и через х. Все ли данные в условии задачи величины мы использовали?

— Как записать это отношение в виде равенства?

— Итак, мы получили уравнение, которое является математической моделью для данной задачи. Теперь мы создали математическую модель задачи. Каким должен быть следующий шаг в решении задачи?

— Как исследовать полученную модель?

— Давайте устно проведем анализ найденной величины.

Проводится анализ задачи.

№2 Задача на проценты

— Предлагаю вам провести проверку усвоенных знаний, для этого вам нужно пройти к компьютерам и выполнить задания, предложенные в модуле

— Ребята выполняют тест на компьютере с самопроверкой, те ребята, которые выполнили раньше могут подойти и оказать помощь нуждающимся.

— На следующем уроке мы продолжим учиться решать задачи с помощью уравнений, а дома попробуйте составить сюжетную задачу, которую можно решить с помощью уравнения.

Можно приготовить презентацию.

— Запись домашнего задания в дневник.

Оцените свое умение выполнять каждое из указанных действий. (Раздаются карточки.)

Напротив каждого действия поставьте

Нахождение процентов от данного числа

Нахождение числа по его процентам.

Нахождение процентного отношения чисел.

Решение основных задач на проценты.

Решение сюжетных задач.

Составление математической модели.

Учащиеся индивидуально оценивают свое умение выполнять перечисленные действия. Результаты этой работы будут учтены при составлении системы упражнений для актуализации знаний на следующем уроке. Учащиеся также оценивают собственный вклад в совместно полученные результаты деятельности на уроке, отражая собственное эмоциональное состояние.

Приложение к плану-конспекту урока

«Решение задач на проценты с помощью уравнений»

ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ НА ДАННОМ УРОКЕ ЭОР

Тип, вид ресурса

Форма предъявления информации (иллюстрация, презентация, видеофрагменты, тест, модель и т.д.)

Гиперссылка на ресурс, обеспечивающий доступ к ЭОР

OMS Module file

OMS Module file

Решение задач на проценты

OMS Module file

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

«Решение задач на проценты с помощью уравнений» 7 класс Учитель Якименко Е.А. Богородск 2011-2012 учебный год Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 6

Содержание Представьте десятичные дроби в процентах. Представьте проценты десятичными дробями. Основные понятия, связанные с процентами . Распродажа. Бюджет. Зарплата. Тарифы. Штрафы. Растворы. Основные этапы решения задачи Домашнее задание. Рефлексия

Представьте данные десятичные дроби в процентах: 0,5 0,24 0,867 0,032 1,3 0,0081 0,01 154 3,2 0,7 10 15 50% 50% 50% 50% 50% 50% 50% 3,2% 86,7% 130% 0,81% 1% 15400% 24% 320% 70% 1000% 1500%

Представьте проценты десятичными дробями: 2% 12,5% 2,67% 0,06% 32,8% 1000% 510% 0,5% 213% 0,1% 0,02 0,125 0,0267 0,0006 0,328 5,1 10 0,005 2,13 0,001

Заполни таблицу 18% р% 18 100 р 100 0,01р 0,18

1. Нахождение процентов данного числа. Чтобы найти a% от b , надо b · 0,01a 30% от 60 составляет ? x = 150 : 0,03 x = 5000 2. Нахождение числа по его процентам. Если известно, что a% от x равно b , то x = b : 0,01a 3% от числа x составляют 150 ? 60 · 0,3 = 18 Основные понятия, связанные с процентами

3. Нахождение процентного отношения чисел Чтобы найти процентного отношения чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100%. Сколько процентов составляет число 150 от 600 ? Основные понятия, связанные с процентами Слайд 17 Авторская презентация

Модуль 1 Повторим еще раз Модуль1. oms

Решение основных задач на проценты. На сколько процентов надо увеличить число 90, чтобы получить 120? 120 – 90 = 30 30: 90 = ∙ 100% = 33 Ответ: 33

Решение основных задач на проценты. Цену товара снизили на 30%, затем новую цену повысили на 30%. Как изменилась цена товара? Пусть первоначальная цена товара а, тогда: а-0,3а=0,7а – цена товара после снижения, 0,7а+0,7а  0,3=0,91а – новая цена. 1,00-0,91=0,09 или 9% Ответ: цена снизилась на 9%

Распродажа. Зонт стоил 360 рублей. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре еще на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре? 100-15=85% 360∙0,85=306( р)- стоимость зонта в ноябре. 100-10=90% 306∙0,9=275,4(р)-стоимость зонта в декабре. Ответ: 275 руб.40 коп.

Бюджет. Зарплата. При приеме на работу директор предприятия предлагает зарплату 4200 р. Какую сумму получит рабочий после удержания налога на доходы физических лиц?

При начислении налога на доходы физических лиц нужно учитывать стандартный вычет 400 р., налог 13% берется от оставшейся суммы. (4200-400)∙0,13=494 (р.)-налог 4200-494=3706 (р.) Ответ: 3706 р.

Тарифы. В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составит 3 р.15к. вместо 2 р.75 к. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5%. 3,15-2,75=0,4(р)-разность тарифов 0,4:3,15=0,14545… 0,14545=14,5% Ответ: соответствует

Штрафы. Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю? 0,04∙250=10 (р.) — штраф 250+10=260 (р.) — оплата, если просрочат 1 день 250+10∙7=320 (р.) – придется заплатить родителям Ответ: 320 рублей.

Растворы. Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8% соли, чтобы получить 5% раствор?

Приготовление маринада Пусть х г – количество воды, которое надо добавить, (50+х )г – новое количество раствора 50∙0,08 г – количество соли в исходном растворе 0,05∙(50+х) г – количество соли в новом растворе

Решение уравнения Составим уравнение: 50∙0,08 = 0,05∙(50+х), 50∙8 = 5∙(50+х), 80 = 50+х, х = 30 Ответ: 30 г.

Основные этапы решения задачи 1. Проанализировать условие задачи, составить краткую запись. 2. Обозначить неизвестную величину буквой х. 3. Выразить все неизвестные величины через данные и х. 4. Составить уравнение. 5. Решить уравнение. 6. Найти искомую величину. 7. Проверить результат по смыслу задачи. 8. Записать ответ.

Самостоятельная работа Решите задачу с помощью уравнения

Домашнее задание Составить сюжетную задачу, которую можно решить с помощью уравнения. Решить эту задачу. Создать презентацию

Рефлексия Напротив каждого действия поставьте «+» — нет затруднений; «+-» — необходима тренировка; «-» — испытываю затруднения. Нахождение процентов от данного числа Нахождение числа по его процентам. Нахождение процентного отношения чисел. Решение основных задач на проценты. Решение сюжетных задач. Составление математической модели. Исследование модели.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Интегрированный урок физики и математики Тема урока: Решение физических задач с помощью линейных уравнений

Урок на данную тему проводился в рамках открытого методического дня школы. На уроке присутствовали учителя не только школы и города, но школ Республики Хакасия. Всего на уроке было гостей 16 человек. .

ПЛАН – КОНСПЕКТ УРОКА «Урок – решение задач прямолинейного движения тел».

ПЛАН – КОНСПЕКТ УРОКА «Урок – решение задач прямолинейного движения тел».Цель урока: Формировать систему представлений о механическом движении объекта и системы объектов.Задачи: Научить а)анализ.

ПЛАН – КОНСПЕКТ УРОКА «Урок – решение задач прямолинейного движения тел».

ПЛАН – КОНСПЕКТ УРОКА «Урок – решение задач прямолинейного движения тел».Цель урока: Формировать систему представлений о механическом движении объекта и системы объектов.Задачи: Научить а)анализ.

План -конспект урока на тему «Задачи на проценты»

План урока с подробным описанием всех этапов.

ПЛАН-КОНСПЕКТ открытого урока Решение задач по теме «треугольники»

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА Решение задач по теме «треугольники» 7 класс.Урок-закрепление.

Конспект урока «Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений», 8 класс, Алимов Ш.А., Колягин Ю.М.

Конспект урока по теме «Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений»Обучающие цели: Обеспечить усвоение умения решать алгебраические и геометрические задачи с помощью квадратных.

Открытый урок » решение экономических задач на проценты»

Решение задач экономического характера на проценты-одна из тем,которая интересна от 5 до 11 класса.Тем более для нашего Пушкинского лицея экономики политики и права.

Задачи на проценты, 7 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ

Задачи с процентами часто попадаются в экзаменационных заданиях. Многих они сбивают с толку – как разобраться с условием и как это решить? И совершенно зря, потому что с задачами на проценты каждый часто встречается в обычной жизни.

Пока такие задачки остаются оторванными от реальности строчками в учебнике, их бывает сложно понять и тем более решить. Чтобы стало понятнее, мы вам сейчас покажем примеры из обычной жизни, где вам могут встретиться проценты. А еще просто и доступно объясним, как решать задачи на проценты. И все у вас станет на свои места.

Задачи про проценты вокруг нас

Давайте оглядимся по сторонам: значения в процентах указаны на упаковках с любыми продуктами. Значок процента «%» смотрит на нас с рекламных плакатов скидок и распродаж. В новостях проценты сразу бросаются в глаза, когда речь идет о повышении цен на товары или коммунальные услуги. Разве вы сможете расшифровать все эти послания, если не научитесь решать задачи с процентами? Но вы, конечно, научитесь – мы в вас верим.

А вот такая ситуация: вы купили что-нибудь через интернет и получили извещение от ближайшего почтового отделения. Или сами собираетесь послать подарок другу в другой город. Вам обязательно надо уметь разбираться с процентами, чтобы узнать, сколько денег почта захочет получить за свои услуги по пересылке.

Или возьмем банковские кредиты и ипотеку. Банки в договорах всегда пишут мелкими буквами всякие вещи, которые полезно понимать. Например, какой процент по кредиту придется заплатить банку кроме тех денег, которые вы у него «одолжили» и обязаны вернуть.

А самый близкий школьникам пример связан с ЕГЭ. Каждый год после экзаменов публикуют официальную статистику. В которой немало задействованы и проценты. И эти проценты имеют прямое отношение к будущим выпускникам. Например, процент ребят, сдавших экзамен по математике на «хорошо» и «отлично» косвенно говорит о том, сколько абитуриентов с высокими баллами могли подать документы в вузы на технические специальности. А еще на программирование, прикладную математику и т.п. Чем их больше, тем выше конкурс. Если сравнивать их результаты со своими оценками, можно прикинуть собственные шансы на поступление.

Что такое процент?

Самое очевидное определение: процент – это десятичная дробь . В жизни редко что-то можно сравнивать целиком, чаще приходится сравнивать разные части чего-то целого. Поэтому мы используем такие понятия, как половина (1/2), треть (1/3), четверть (1/4). Ну да, все так привыкли к слову «четверть» в школе, что забывают о его формальном значении – «четвертая часть учебного года». Сравнивать сотые доли удобнее всего – так появился процент (1/100): pro centum – «за сто» на латыни.

Все задачи по математике на проценты вертятся вокруг сравнения частей одного целого, определения, какую долю составляет часть от целого, нахождения целого исходя из величины его части и т.п.

Проценты можно записать со знакомым всем значком процента: 1%. Можно представить в виде десятичной дроби (или натурального числа). Для этого нужно разделить на 100: 0,01. Можно наоборот: выразить число в процентах. Тогда его следует умножить на 100%.

Типы задач на проценты

Раз мы уже договорились, что задачи на проценты – это задачи на дроби, такой тактики будем придерживаться и дальше.

Тип 1: Находим процент (дробь) от числа.

· Задача. За месяц на предприятии изготовили 500 приборов. 20% изготовленных приборов не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не прошло контроль качества?

· Решение. Нужно найти 20% от общего количества изготовленных приборов (500). 20% = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 из общего количества изготовленных приборов контроль не прошло.

Тип 2: Находим число по его проценту (дроби).

· Задача. Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что составляет 23% числа всех задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом пособии для самоподготовки?

· Решение. Мы не знаем, сколько всего задача в пособии. Но зато нам известно, что 38 задач составляют 25% от общего их количества. Запишем 23% в виде дроби: 0,23. Далее нам следует известную нам часть целого разделить на ту долю, которую она составляет от всего целого: 38/0,25 = 38 * 100/25 = 152. Именно 152 задачи включили в этот сборник.

Тип 3: Находим процентное отношение двух чисел (часть от целого числа).

· Задача. В классе 30 учеников. 14 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе?

· Решение. Чтобы узнать, какой процент составляет одно число от другого, нужно то число, которое требуется найти, разделить на общее количество и умножить на 100%. Значит, 14/30*100% = 7/15*100% = 7*100%/15 = 47%.

Тип 4: Увеличиваем число на процент.

· Задача. На прошлогоднем экзамене по математике 140 старшеклассников получили пятерки. В этом году число отличников выросло на 15%. Сколько человек получили пятерки за экзамен по математике в этом году?

· Решение . Если некое число а увеличено на х %, то оно увеличилось в (1 + х /100) раз. Откуда а * (1 + х /100) . Подставим в эту формулу данные нам по условию задачи цифры и получим ответ: 140 * (1 + 15/100) = 161.

Тип 5: Уменьшаем число на процент.

· Задача. Год назад школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько выпускников в этом году?

· Решение. Если число а уменьшено на х % и при этом 0 ≤ х ≤ 100, то число уменьшено в (1 – х/100) раз. И нужное нам число находим по формуле а * (1 – х/100) . Подставляем цифры из условия задачи и получаем ответ: 100 * (1 – 25/100) = 75.

Тип 6: Задачи на простые проценты.

· Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей сроком на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они заплатят банку через год?

· Решение. Простые проценты называются так, потому что они начисляются многократно, но всякий раз к исходной сумме. Если обозначить исходную сумму как а , сумму, которая наращивается, как S , процентную ставку как х % и количество периодов начисления процента как у , то формулу можно записать так: S = а * (1 + у * х/100) . Теперь подставим сюда цифры из условия задачи и узнаем, сколько денег родители заплатят банку: S = 5000 * (1 + 12 * 15/100) = 14000.

Тип 7: Задачи на сложные проценты.

· Задача. На этот раз сумма кредита 25000 рублей, взятых под те же 15% сроком на 3 месяца. Снова надо узнать, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.

· Решение. Сложные проценты отличаются от простых тем, что процент много раз начисляется не к исходной сумме, а к сумме с уже начисленными раньше процентами. Пускай снова S – наращиваемая сумма, а – исходная, х % — процентная ставка, у – количество периодов начисления процента. В этом случае формула принимает вид: S = а * (1 + х/100) у . Подставляем цифры из условия: S = 25000 * (1 + 15/100) 3 = 38021,875 – искомая сумма.

Кстати, простые задачи на проценты можно очень легко решать с помощью пропорции. Этот метод наглядный и дает такой же результат, так что выбирать можно каждому тот способ решения, который кажется проще. Давайте решим задачу №3 про класс и процент девочек в нем, составив пропорцию.

· Решение. Обозначим искомый процент девочек в классе как х , общее количество учеников примем за 100%. Пропорция выглядит так:

Перемножим крест накрест левую и правую части пропорции и получим, что 30* х = 14 * 100 («30 относится к х также, как 14 относится к 100»). Откуда найти х уже совсем несложно: х = 14 * 100/30 = 47%.

Задачи на проценты с решением

Давайте решим несколько задач для подготовки к ЕГЭ. Как вы сами видите, решать их совсем несложно. Сейчас просто закрепим материал.

Задача 1. После открытия торгов на бирже в понедельник акции некой компании выросли в цене на неизвестное количество процентов. А во вторник на то же самое количество процентов упали в цене. В итоге они подешевели на 4% по отношению к своей первоначальной стоимости в понедельник. На какой процент акции этой компании поднимались в цене в понедельник?

Решение. Пускай первоначальная стоимость акций это 1. В понедельник акции дорожают на х * 100%. Их стоимость в это время: 1 + х * 1. Во вторник акции дешевеют на х * 100%. Их стоимость после этого: 1 + х – х * (1 + х). После чего они стали дешевле на 4%, т.е. стали стоить 0,96.

Отсюда 1 + х – х * (1 + х) = 0,96 ↔1 – х 2 = 0,96 ↔ х 2 = 0,04 ↔ х = 0,2. Т.е. в понедельник акции компании дорожали на 20%.

Задача 2. Четыре пары брюк дешевле одного пальто на 8%. Подсчитайте, на сколько процентов пять пар брюк стоят дороже, чем одно пальто.

Решение. Исходя из условия задачи, стоимость четырех пар брюк – это 92% от стоимости пальто. Легко подсчитать, что стоимость одной пары брюк – это 23% стоимости пальто (92/4 = 23). Теперь умножим стоимость одной пары брюк на пять и узнаем, что пять пар брюк обойдутся в 115% стоимости пальто (23 * 5 = 115). Т.е. пять пар брюк на 15% дороже, чем одно пальто.

Задача 3. Семья состоит из трех человек: муж, жена и дочь-студентка. Если зарплата мужа вырастет в два раза, общий доход семьи возрастет на 67%. Если дочери в три раза урежут стипендию, общий доход этой семьи уменьшится на 4%. Надо вычислить, какой процент в общий доход семьи приносит заработок жены.

Решение. Из условия следует, что общий доход семьи находится в прямой зависимости от доходов мужа. Не так важно, насколько ему поднимут зарплату. В любом случае общий доход семьи вырастет на 67%. Значит, зарплата мужа составляет как раз эти 67% от общего дохода. Если стипендия дочери уменьшится в три раза (т.е. на 1/3), останется 2/3 – это и есть 4%, на которые уменьшился бы семейных доход. Можно составить простую пропорцию и выяснить, что раз 2/3 стипендии – это 4% дохода, то вся стипендия – это 6%. А теперь отнимем от всего дохода вклад мужа и дочери и узнаем, какой процент составляет заработок жены в общем доходе семьи: 100% – 67% – 6% = 27%.

Задача 4. В емкости находится 5 литров водного раствора с концентраций вещества, равной 12%. В емкость добавили еще 7 литров воды. Раствор какой концентрации (с каким процентным содержанием вещества) получился после этого?

Решение. Опишем концентрацию вещества в растворе такой формулой: С = Vвещества/ Vраствора * 100%. Изначально в растворе содержится 0,12 * 5 = 0,6 литра вещества. Когда были добавлены 7 литров воды, объем раствора в емкости увеличился. Но концентрация вещества понизилась (его объем остался неизменным). Подставим все известные нам цифры в формулу и получим ответ: 0,6/5 + 7 *100% = 0,6 /12 * 100% = 5%.

Задача 5. В свежих абрикосах 90% влаги, а в кураге, которая из них получается, только 5%. Сколько килограммов абрикосов нужно, чтобы получить 20 килограммов кураги?

Решение. Исходя из условия, в абрикосах 10% питательного вещества, а в кураге оно содержится в концентрированном виде – 95%. Поэтому в 20 килограммах кураги 20 * 0,95 = 19 кг питательного вещества. На вопрос задачи мы ответим, если разделим одинаковое количество питательного вещества, которое содержится в разных объемах свежих абрикосов и кураги, на его процентное содержание в абрикосах. Чтобы получить 20 килограммов кураги, нужно взять 19/0,1 = 190 килограммов свежих абрикосов.

Сами видите, решать задачи на проценты не так уж сложно. Если усвоить основные правила и подключить воображение, вы сможете щелкать такие задачки как орешки.

Вы даже можете составить задачу на проценты сами по нашим образцам. Кстати, будет очень хорошо, если вы так и поступите. Можете оставить нам свои задачи в комментариях – пускай другие наши читатели решат ваши задачи. А вы сможете решить те, что придумают они. Чтобы задач для подготовки к экзаменам получилось больше, расскажите про эту статью своим друзьям в социальных сетях.

Вот увидите, задачи на проценты вам придется решать еще много раз даже после того, как вы закончите школу. Они встречаются в физике, химии, биологии. Да и в повседневной жизни умение решать их может не раз пригодится. Не бойтесь сложных задач – мы всегда поможем вам найти к ним ключ.