Задачи системы уравнений проценты по

«Решение прикладных задач с помощью системы уравнений с двумя переменными.»

Цель урока: научиться решать задачи с процентами на сплавы и смеси с помощью составления системы уравнений, а также научиться составлять к задаче математическую модель.

Просмотр содержимого документа
««Решение прикладных задач с помощью системы уравнений с двумя переменными.»»

Учитель: Коровкина Надежда Михайловна

Тема урока: «Решение прикладных задач с помощью системы уравнений с двумя переменными.»

Тип урока: Урок закрепления изученного материала.

Цель урока: научиться решать задачи с процентами на сплавы и смеси с помощью составления системы уравнений, а также научиться составлять к задаче математическую модель.

Сегодня мы будем учиться составлять математические модели к задачам на смеси и сплавы.

Рассмотрим 2 способа составления математической модели:

описательный и с помощью таблицы.

Работа с учебником. Решаем задачи №540, 546

Рассмотрим решение и оформление задачи № 540

1 способ (описательный). Давайте разберемся.

? О чем идет речь в задаче? (ответы учащихся)

Предполагаемые ответы учащихся

Какой жизненный процесс описан в задаче?

Это задача на «смеси»

Какими основными величинами характеризуется этот процесс?

Масса и процентная концентрация

Какие ситуации описаны в задаче?

30% раствор солякой кислоты

10%раствор соляной кислоты

800г нового раствора с 15% содержанием соляной кислоты

(получен при смешивании 1 и 2 растворов)

Что известно о массах растворов?

Ничего. Принимаем за неизвестное, т.е за х и у.

Вспомните , пожалуйста, из химии или из математики , как найти массу вещества в растворе? ( m_р* %, т.е сначала мы проценты переводим в дробь и умножаем массу раствора на эту дробь)

30% = 0,3 10% = 0,1 15%=0,15

Составим математическую модель задачи

1 способ (описательный)

2 способ ( с помощью таблицы)

уравнений: х + у = 800

0,3 х + 0,1у = 0,15*800

Проводим анализ полученных результатов и записываем ответ.

Рассмотрим решение задачи №546 из учебника.

? Читаем задачу. О чем идет речь в задаче? …

В чем отличие от предыдущей задачи?

В отличии от предыдущей задачи здесь в сплаве содержатся 2 вещества- медь и цинк. Причем известно, что одного вещества больше, чем другого.

? Вспомните, пожалуйста, как найти процентное содержание вещества в сплаве? (Массу вещества поделить на общую массу раствора или сплава и умножить на 100%).

Составим математическую модель 1 способом (описательным) .

2 способ (в виде таблицы)

Проводим анализ полученных результатов и записываем ответ.

? Для чего нам нужно такое подробное описание задачи?

Объясняю: при подготовке к ОГЭ вы уже видели и знаете, что в №22 предлагается для решения именно задача прикладного характера, причем необходимо не просто ее решить в виде какого-то действия, а нужно привести полное подробное решение данной задачи. Только в этом случае она будет оценена в 2 балла. Вот для этого мы и учимся составлять математические модели задач.

Обучающая самостоятельная работа.

В качестве закрепления материала я предлагаю вам самим решить задачи №541, 547 (желательно разными способами)

Результат вашего решения прошу выслать мне на электронную почту в срок до 13.04.20

Если возникнут затруднения пишите! Желаю удачи!

А.Г. Мерзляк , В.Б.Полонский и др .Учебник алгебры 9 класс п. 15

Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Алгоритм решения задачи с помощью системы линейных уравнений

1. Обозначить неизвестные величины переменными («от смысла к буквам»).
2. По условию задачи записать уравнения, связывающие обозначенные переменные.
3. Решить полученную систему уравнений.
4. Истолковать результат в соответствии с условием задачи («от букв к смыслу»).

Задуманы два числа. Если от первого отнять второе, то получается 10. Если к первому прибавить удвоенное второе, то получается 91. Найдите задуманные числа.

«От смысла к буквам»:

Пусть x и y — задуманные числа.

Уравнения по условию задачи::

Решение системы уравнений:

«От букв к смыслу»:

Задуманы числа 37 и 27.

Примеры

Пример 1. Периметр прямоугольника равен 48 см. Его длина больше ширины в 3 раза.

Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b — длина и ширина прямоугольника.

$$ <\left\< \begin P = 2(a+b) = 48 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 3b+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 4b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 18 \\ b = 6 \end \right.> $$

Ответ: длина прямоугольника 18 см, ширина 6 см.

Пример 2. Два программиста из Бомбея, работающие в одном проекте, написали 100500 строк кода. Первый работал 70 дней, второй – 100 дней. Сколько строк писал каждый программист ежедневно, если за первые 30 дней первый написал на 5550 строк больше, чем второй?

Пусть x — ежедневное количество строк для 1-го программиста, y- для 2-го.

$$ <\left\< \begin 70x+100y = 100500 |:10 \\ 30x-30y = 5550 |:30 \end \right.> (-) \Rightarrow <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ x-y=185 | \times 10 \end \right.>$$

$$ \Rightarrow (+) <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ 10x-10y = 1850 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 17x = 11900 \\ y = x-185 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 700 \\ y = 515 \end \right.> $$

Ответ: 700 строк и 515 строк

Пример 3. За 2 кг конфет и 3 кг печенья заплатили 1540 руб. Сколько стоит 1 кг конфет и 1 кг печенья, если 2 кг печенья дороже 1 кг конфет на 210 руб.?

Пусть x — цена за 1 кг конфет, y — за 1 кг печенья.

$$ <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ 2y-x = 210 | \times 2 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ -2x+4y = 420 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7y = 1960 \\ x = 2y-210 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 350 \\ y = 280 \end \right.> $$

Ответ: 1 кг конфет — 350 руб. и 1 кг печенья — 280 руб.

Пример 4. Катер за 3 ч движения против течения реки и 2 часа по течению проходит 73 км. Найдите собственную скорость катера и скорость течения, если за 4 ч движения по течению катер проходит на 29 км больше, чем за 3 ч движения против течения.

Пусть v — скорость катера (км/ч), u — скорость течения (км/ч).

$$ \Rightarrow <\left\< \begin 5v-u = 73 \\ v+7u = 29 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5(29-7u)-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 145-35u-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow$$

Ответ: скорость катера 15 км/ч и скорость течения 2 км/ч

Пример 5. 5 карандашей и 3 тетрадки вместе стоили 170 руб. После того, как карандаши подешевели на 20%, а тетрадки подорожали на 30%, за 3 карандаша и 5 тетрадок заплатили 284 руб. Найдите первоначальную цену карандаша и тетрадки.

Пусть x – первоначальная цена карандаша, y — тетрадки.

$$ <\left\< \begin 5x+3y = 170 \\ 3\cdot0,8x+5\cdot1,3y = 284 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5x+3y = 170 |\times \frac<2,4> <5>\\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2,4x+1,44y = 81,6 \\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> $$

Ответ: карандаш сначала стоил 10 руб., тетрадка — 40 руб.

Пример 6*. Велосипедист планирует добраться из пункта А в пункт В. Если он будет ехать на 3 км/ч быстрее, чем обычно, он доберётся на 1 час раньше. А если он будет ехать на 2 км/ч медленней, чем обычно, то – на 1 час позже. Найдите обычную скорость велосипедиста и время поездки при этой скорости.

Пусть v – обычная скорость велосипедиста (км/ч), t — обычное время (ч).

Расстояние между А и В неизменно, и по условию равно:

Ответ: обычная скорость 12 км/ч, время 5 ч

Пример 7*. В одной бочке налито 12 л, во второй – 32 л. Если первую бочку доверху наполнить водой из второй, то вторая бочка будет наполнена ровно наполовину своего объёма. Если вторую бочку доверху наполнить водой из первой, то первая бочка будет наполнена на 1/6 своего объёма. Найдите объём каждой бочки.

Пусть x — объём первой бочки (л), y – объём второй (л).

Пусть a л перелито из второй бочки, и первая наполнилась до краёв, а во второй воды осталось наполовину:

Теперь пусть b л перелито из первой бочки, и вторая наполнилась до краёв, а в первой воды осталось на 1/6:

$$ <\left\< \begin x+ \frac<1> <2>y = 44 | \times 2 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2x+y = 88 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 1\frac<5> <6>x = 44 \\ y = 88-2x \end \right.> \Rightarrow $$

Ответ: первая бочка 24 л, вторая – 40 л

Пример 8*. Если школьник едет в школу на автобусе, а возвращается домой пешком, то он тратит на всю дорогу полтора часа. Если он едет туда и обратно на автобусе, то он тратит полчаса. Сколько времени потратит школьник, если он пойдёт туда и обратно пешком?

Пусть s — расстояние между домом и школой, v — скорость автобуса, u — скорость школьника, t — искомое время, потраченное на дорогу туда и обратно пешком.

По условию задачи:

Из второго уравнения $ \frac = \frac<0,5> <2>= 0,25 $. Подставляем в первое уравнение:

И тогда искомое время:

$$ t = \frac<2s> = 2\cdot1,25 = 2,5 (ч) $$

Решение текстовых задач на проценты. 9-й класс

Класс: 9

Презентация к уроку

Продолжительность урока: 45 минут.

Девиз: “Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что следует знать”. (Пифагор)

образовательные:

сообщить краткую историю появления процентов;
• привести примеры повседневного использования процентных вычислений в настоящее время; формировать навыки прикладного использования аппарата линейных уравнений, уметь использовать приобретенные навыки в практической деятельности и повседневной жизни; выявить уровень овладения учащихся комплексом знаний и умений по решению задач на проценты;

развивающая:

• развивать способности к самостоятельному выбору метода решения задач;
• умение обобщать, абстрагировать и конкретизировать задание; умение оценивать собственные возможности;

воспитательная:

• воспитывать познавательный интерес к математике, культуру общения, способность к коллективной работе, воспитывать потребность в самообразовании.

Оборудование урока:

• карточки с заданиями для самостоятельной работы
• карточки с дифференцированными домашними заданиями
• презентация к уроку
• персональный компьютер, мультимедиа проектор

План урока

1. Организационный момент
2. Повторение основных понятий
3. Фронтальная письменная работа
4. Рефлексия
5. Дифференцированное домашнее задание

Организационный момент

Постановка цели. Мотивация “Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что следует знать. Пифагор

1 этап. Актуализация понятия процента.

Ребята, тема нашего сегодняшнего урока “Решение текстовых задач на проценты”.

Многие задачи в математике связаны с понятием “проценты”, “процентное содержание”. Эти задачи входят в задания по итоговой аттестации.

Слово “процент” происходит от латинского слова pro centum,что буквально означает “за сотню” или “со ста”. Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотовых долях. Процент — это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого.

Знак “%” происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента.

Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

Актуализация опорных знаний и умений.

— Что называется процентом ( сотая часть числа)

— В какой форме еще можно записывать проценты? (Проценты можно записать в виде обыкновенной или десятичной дроби)

Задание 1. ( устно) Соотнести проценты и соответствующие им дроби (Приложение 1)

— При решении задач используются основные сокращенные процентные отношения

— Основные задачи на проценты – это:

— 1. Нахождение процентов данного числа.

Чтобы найти р % от а, надо а*0,01р

— 2. Нахождение числа по его процентам.

Если известно, что р% числа равно b, то а = b: 0,01р

— 3. Нахождение процентного отношения чисел.

Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100%

Задание 2. Произвести расчеты ( ответы записать на листах, с последующей проверкой)

В магазине А цену на товар сначала увеличили на 30%, затем снизили на 30%. В магазине Б — снизили на 30 %, затем увеличили на 30%. Где выгодно совершить покупку? (цены одинаковые)

2. Решение основных задач на проценты

— На уроках математике мы решаем много задач. Но нужны ли проценты нам в обычной жизни?

— Проценты прочно вошли в нашу жизнь – скидки, налоги, кредиты, на любой продуктовой этикетке мы встречаем проценты.

Для решения я предлагаю вам задачи из нашей повседневной жизни.

При оплате услуг через платежный терминал взымается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?

300 * 0,05= 15 р – комиссия

300 + 15 = 315 сумма вместе с комиссией;

320 р — надо положить на счет.

Задача 2 (из задач учеников)

На покупку планшета взяли кредит 20000 р на 1 год под 16 % годовых. Вычислите, сколько денег необходимо вернуть банку, какова ежемесячная сумма выплат?

20000*0,16 = 3200 – один год

20000 + 3200 = 23200 р

Мобильный телефон стоил 5000 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 3000 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

5000 – 3000 = 2000 – на столько снижена цена на телефон

2000: 5000 *100 = 2:5 *100 = 0,4 *100 = 40 %

3. Задачи на смеси и сплавы.

На выпускных экзаменах встречается много задач на смеси и сплавы. При решении таких задач мы используем таблицу.

Таблица для решения задач имеет вид (на доске)

Смешали 8 литров 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Сумма масс некоторого вещества в двух первых растворах (то есть в первых двух строчках) равна массе этого вещества в полученном растворе (третья строка таблицы):

20 x = 8*0,15 + 12 * 0,25

20 x = 1,2 + 3 = 4, 2

x = 4,2 : 20 = 0,21 = 21 %

Старинный способ решения задач на смеси, сплавы и растворы (правило креста).

Впервые о нем было упомянуто в первом печатном учебнике математики Леонтия Магницкого.

Данный способ применялся купцами и ремесленниками при решении различных практических задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался рецепт решения: либо рисовалась схема, либо словесно описывалась последовательность действий — поступай так и получишь ответ.

Один раствор содержит 20 % соли, а второй – 70 %. Сколько граммов первого и второго раствора нужно взять, чтобы получить 100 г 50% раствора.

Применим правило “креста”.

Значит, 100 г смеси составляют 20 + 30 = 50 частей.

100 : ( 20 + 30 ) = 2 г — на 1 часть.

2 * 20 = 40 г – 20% раствора

2 * 30 = 60 г – 70 % раствора

Ответ: 40 г- 20 % раствора; 60 г- 70 % раствора.

Первый сплав содержит 10 % меди, второй — 25 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 30 кг, содержащий 20 % меди. Какое количество каждого сплава было использовано?

Решить задачу разными способами: системой уравнений, линейным уравнением, “крестом”.

1 способ: (система уравнений)

0,15 у = 0,3 у = 2 , значит х = 1.

Ответ: 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг.

2 способ: ( линейное уравнение)

х * 0,1 + ( 3 — х ) * 0,25 = 3 * 0,2

х * 0,1 + 0,75 — х * 0,25 = 0,6

х = 1, значит 3 – 1 = 2.

Ответ : 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг.

5+10 = 15 частей в 3 кг

3: 15 = 0,2 кг – в 1 части.

На 5 частей – 0,2 * 5 = 1 кг

На 10 частей — 0, 2 * 10 = 2 кг

Ответ: 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг.

Защита решения задачи (по одному ученику от ряда представляют свое решение ).

Вывод: Разные способы решения дают одинаковый результат. И вы сами выбираете тот путь решения, который больше подходит для данной задачи.

4 этап. Рефлексия

Продолжите фразу:

• Сегодня на уроке я повторил .
• Сегодня на уроке я узнал .
• Сегодня на уроке я научился .

5 этап. Домашнее задание (карточки каждому ученику, задачи разного уровня)

Критерии оценки домашнего задания:

Решить данные задачи двумя способами. Уровень сложности выбираете самостоятельно.

6 этап. Оценка знаний

— Оцените свои знания и умения по данной теме.