Решение задач с помощью линейных уравнений с одной переменной
Алгоритм решения текстовой задачи с помощью уравнения
Алгоритм решения текстовой задачи с помощью уравнения:
- Проанализировать условие задачи, обозначить неизвестное буквой и составить уравнение.
- Решить полученное уравнение.
- Истолковать результат в соответствии с условием задачи.
Задачи с решениями
Задача 1. Одна сторона треугольника в два раза больше другой и на 3 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 43 см.
Пусть сторона AB=x.
Периметр треугольника: P = AB+AC+BC = x+2x+(2x+3) = 43
$$5x+3 = 43 \iff 5x = 40 \iff x = 40:5 = 8$$
AB = x = 8 см, AC = 2x = 16 см, BC = 2x+3 = 19 см
Ответ: 8 см, 16 см и 19 см
Задача 2. Расстояние между двумя станциями поезд может пройти со скоростью 70 км/ч на полчаса быстрее, чем со скоростью 60 км/ч. Найдите это расстояние.
Пусть x – расстояние между станциями.
По условию разность затраченного времени:
Решаем: $ \frac
Расстояние между станциями 210 км
Задача 3. Бригада должна была изготовить детали за 5 дней, но выполнила работу за 4 дня, т.к. изготавливала каждый день на 12 деталей больше. Сколько деталей изготовила бригада?
Пусть x — количество изготовленных деталей.
Количество деталей в день, шт./дни
Количество дней, дни
По условию разность между количествами деталей в день:
Решаем: $ \frac
Бригада изготовила 240 деталей.
Ответ: 240 деталей
Задача 4. Сумма двух чисел равна 90. Если большее из них разделить на меньшее, то частное равно 3 и в остатке 6. Найдите эти числа.
Пусть x — меньшее число. Тогда большее равно 90-x. По условию: 90-x = 3x+6
$$ 90-6 = 3x+x \iff 4x = 84 \iff x = 21 $$
Меньшее число x = 21, большее число 90-x = 69.
Задача 5. Матери 37 лет, а дочери 13 лет. Когда дочь была или будет втрое младше матери? А вдвое?
Пусть x — число прошедших лет. Возраст матери станет 37+x, дочери 13+x.
$$ \frac<37+x> <13+x>= 3 \iff 37+x = 3(13+x) \iff 37+x = 39+3x \iff 37-39 = 3x-x \iff $$
$$ \iff 2x = -2 \iff x = -1 $$
Дочь была втрое младше матери 1 год тому назад.
$$ \frac<37+x> <13+x>= 2 \iff 37+x = 2(13+x) \iff 37+x = 26+2x \iff 37-26 = 2x-x \iff $$
Дочь будет вдвое младше матери через 11 лет.
Ответ: год назад; через 11 лет
Задача 6. Сколько лет отцу и сыну, еcли в позапрошлом году сын был младше в 5 раз, а в следующем будет младше в 4 раза?
Пусть x — возраст сына в этом году.
Возраст сына, лет
Возраст отца, лет
И для отца, и для сына пройдёт три года:
$$ 4(x+1)-5(x-2) = 3 \iff 4x+4-5x+10 = 3 \iff 4x-5x = 3-14 \iff -x = -11 $$ $$ x = 11 $$
Сейчас сыну 11 лет.
В следующем году отцу будет 4(x+1)=4∙12=48 лет. Значит, сейчас отцу 47 лет.
Ответ: 11 лет и 47 лет.
Задача 7. Сумма цифр данного двузначного числа равна 7. Если эти цифры поменять местами, то получится двузначное число на 9 больше данного. Найдите данное число.
Пусть x — первая цифра данного числа, число десятков.
По условию разность чисел:
$$ (70-10x+x)-(10x+7-x) = 9 \iff 70-9x-9x-7 = 9 \iff $$ $$ \iff -18x = 9-63 \iff -18x = -54 \iff x = 3 $$
Первая цифра x = 3, вторая цифра 7-x = 4.
Данное число 34.
Задача 8. По расписанию автобус должен ехать от посёлка до станции со скоростью 32 км/ч и приезжать на станцию за полчаса до отхода поезда. Но из-за ненастной погоды автобус ехал со скоростью на 7 км/ч меньше и опоздал к поезду на 12 мин. Чему равно расстояние от посёлка до станции?
Пусть x – расстояние от посёлка до станции.
Разность по времени между расписанием и фактическим прибытием:
30 мин+12 мин = 42 мин = $\frac<42><60>$ ч = 0,7 ч
$ \frac
$ 32x-25x = \frac<7> <10>\cdot 32 \cdot 25 = 7 \cdot 16 \cdot 5 $
$ 7x = 7 \cdot 16 \cdot 5 \iff x = 16 \cdot 5 = 80 $
Расстояние 80 км.
Задача 9*. Если к двузначному числу приписать справа и слева цифру 4, то получится число в 54 раза больше исходного. Найдите исходное двузначное число.
Пусть x — исходное число.
Если приписать по 4 слева и справа, в полученном четырёхзначном числе первая 4 указывает на количество тысяч, число x — на количество десятков, последняя 4 – на количество единиц. Соотношение чисел:
Решаем: $ 4004+10x = 54x \iff 4004=44x \iff x = \frac<4004> <44>= \frac<1001> <11>= 91 $
Исходное число x = 91.
Задача 10. Для проведения экзамена закуплены тетради. Если их сложить в пачки по 45 штук, останется одна лишняя тетрадь, а если сложить в пачки по 50 штук, то в одной пачке не будет хватать 4 тетради. Сколько тетрадей было куплено, если пачек по 45 тетрадей получается на одну больше, чем пачек по 50 тетрадей?
Урок алгебры в 7-м классе: «Решение задач с помощью линейных уравнений с одной переменной»
Разделы: Математика
Цели урока:
- Формирование умения решать линейные уравнения и применять эти умения при решении текстовых задач.
- Развитие поисковой деятельности и мыслительной активности учащихся, умения применять свои знания в нестандартных ситуациях.
- Привитие учащимся интереса к предмету посредствам применения информационных технологий.
Ход урока
Организационный момент
Устный опрос: (вопросы классу) 2 слайд.
1). Какое уравнение называется линейным?
2). Что значит решить линейное уравнение?
3). Что называют корнем уравнения?
4). Какие из приведенных ниже уравнений являются линейными? (ответ обосновать)
а) | б) | в) 4х — 16 = 24 |
г) | д) 13,4 — 6х = 12 | е) |
5). Назвать этапы математического моделирования, используемые при решении задач.
Подготовка к ГИА (1бальные задания — устно) 3-6 слайды
1. Цена килограмма яблок у рублей. Сколько рублей надо заплатить за 600 г таких яблок?
1). (р.) | 2). 600 у (р.) | 3). 0,6у (р.) | 4). (р.) |
2. Запишите выражение для нахождения цены 1 кг сахара ( в руб.), если n тонн сахара стоят m рублей.
1). (р.) | 2). (р.) | 3). (р.) | 4). (р.) |
3. По какой формуле можно рассчитать скорость автомобиля (в км/ч), если за t мин он проезжает S км.
1). | 2). | 3). | 4). St |
4. Туристы прошли 75% от всего туристического маршрута, и им осталось пройти 5 км. Какова длина всего маршрута?
1). 3,75 км | 2). 20 км | 3). 15 км | 4). 2 км |
4. Составление математической модели к задачам 4.18, 4.19, 4.25 — учебник Алгебра 7, задачник, авт. А.Г. Мордкович, Л.А.Александрова, М., 2009г. (составление краткой записи задачи, вспомогательной таблицы и самой математической модели)
4.18. В железной руде содержатся железо и примеси в отношении 7: 2. Сколько тонн железа получится из 189 т руды?
1 часть | х |
2 части | 2х |
7 частей | 7х |
всего | 2х + 7х=9х |
Т.к. всего 189 т, то математическая модель 9х = 189.
4.19. Цена персиков на 20р. выше, чем цена абрикосов. Для консервирования компота купили 3 кг персиков и 5 кг абрикосов. По какой цене покупали фрукты, если вся покупка обошлась 620 рублей? (7 слайд)
Решение: 1. Краткая запись:
Цена 1 кг | Кол-во |
кг
2. Вспомогательная таблица:
руб.
кг
Руб.
3. Математическая модель 3(х+20) + 5х= 620
4.25. Масса двух моторов равна 52 кг. Масса одного из них в 2 раза больше другого. Найдите массу каждого мотора.
Решение: 1. Вспомогательная таблица:
1 мот. | х |
2 мот. | 2х |
вместе | 2х + х |
2. Математическая модель х + 2х = 52
Решение задач с выделением трех этапов моделирования.
4.30.Катер за 2 часа по озеру и за 3 часа против течения реки проплывает такое же расстояние, что и за 3 ч 24 мин по течению реки. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 3 км/ч. (8 слайд)
v, км/ч | t, ч | S, км | |
по озеру | х | 2 | 2х |
против течения | х — 3 | 3 | 3(х — 3) |
по течению | х + 3 | 3,4 | 3,4(х + 3) |
Т.к. расстояние, пройденное по озеру и против течения равно расстоянию, пройденному по течению, то составим и решим уравнение 2х + 3(х — 3) = 3,4(х+3)
2х + 3х — 9 = 3,4х + 10,2
5х — 9 = 3,4х + 10,2
5х — 3,4х = 10,2 + 9
Значит, 12 км/ч — собственная скорость катера.
Подготовка к ГИА. Решение задач из сборника заданий ГИА-2010.В.В. Кочагина, М.Н. Кочагиной .Алгебра. Москва. Эксмо, 2009.
1. Велосипедист собирался преодолеть расстояние от поселка до станции за 5 часов. Выехав из поселка, он увеличил свою скорость на 3 км/ч и проехал расстояние до станции за 4 часа. Чему равно расстояние от поселка до станции?
Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, если буквой х обозначено расстояние (в км) от поселка до станции (1балл) (9 слайд)
1). 5(х — 3) = 4х | 2). 5х = 4(х + 3) | 3). —= 3 | 4). —= 3 |
Т.к. буквой х обозначено расстояние, то используя формулу пути, варианты 1 и 2 не подходят. При увеличении скорости сократится время в пути, значит, значение дроби будет больше, чем . Таким образом, искомое уравнение будет в 4 варианте.
2.Численность рабочих, работающих в двух цехах завода, относятся как 3: 4. Сколько человек в меньшем цехе, если всего на заводе работает 4900 рабочих? (1 балл). 10 слайд
1 часть | х |
3 части | 3х |
4 частей | 4х |
всего | 3х + 4х=7х |
Т.к. всего работает 4900 рабочих, то составим и решим уравнение:
Значит, 700 человек — 1 часть. В меньшем цехе — 3 части, тогда 3 х 700= 2100 (раб.).
Ответ: 2100 человек.
3. На три полки поставили 278 книг. На первую из них поставили на 14 книг больше, чем на вторую. На третью полку в два раза больше, чем на вторую. Сколько книг поставили на первую полку? (1 балл) (11 слайд)
1). 68 | 2). 80 | 3). 132 | 4). 70 |
Решение: (12 слайд)
1 полка | ?, на 14 кн. больше |
2 полка | ? |
3 полка ?, в 2 раза больше
1полка, кн. | х + 14 |
2 полка кн. | х |
3 полка, кн. | 2х |
Всего, кн | 2х + х + х + 14 |
Так как, всего было 278 книг, то составим и решим уравнение
Значит, на второй полке было 66 книг.
2). 66 + 14 = 80 (кн.) — на первой полке.
4. Изделие, цена которого 500 рублей, сначала подорожало на 10%, а затем еще на 20%. Какова окончательная цена изделия? (2 балла) 13 слайд
500 рублей — 100%
после подорожания на 10% — 110% = 1,1 1,1 х 500 = 550 (рублей)
550 рублей — 100%
после подорожания на 20 % — 120% = 1,2 1,2 х 550 = 660 (рублей).
Ответ: 660 рублей.
5. В первый день со склада было отпущено 20% имевшихся яблок. Во второй день 180% от того количества яблок, которое было отпущено в первый день. В третий день — оставшиеся 88 кг. Сколько кг яблок было на складе первоначально? (2 балла) (14 слайд)
Разберем 2 способа решения этой задачи.
1 способ (с помощью уравнения).
Было, кг | х |
Продали в 1 день, кг | 0,2х |
Продали во 2 день, кг | 0,2 х 1,8= 0,36х |
Продали в третий день, кг | 88 |
Составим и решим уравнение.
0,2х + 0,36х + 88 = х
Значит, первоначально было 200 кг яблок.
180% от 20% — 1,8 х 0,2 = 0,36 — 36%
20% + 36% = 56% — за два дня
44% составляют 88 кг, (найти целое по его части)
88 : 0,44 = 200 (кг) было яблок.
Домашнее задание параграф 4 № 4.22, 4.29, 4.32.
Подведение итога урока. Решение кроссворда. (15 слайд)
Решение текстовых задач с помощью линейных уравнений
Содержание
Раньше с помощью уравнений вы часто решали текстовые задачи, так как этот способ наиболее универсален и прост для нахождения ответа. В данном уроке:
- сформулируем основные понятия
- разберем алгоритм действий
- узнаем, на что обращать особое внимание
- прорешаем примеры таких задач
Для лучшего понимания темы вспомним, что такое текстовая задача:
Текстовая задача – описание с помощью слов какой-то ситуации, где в итоге требуется что-то из перечисленного:
— дать количественную характеристику какого-то элемента этой ситуации
— установить наличие какого-то отношения между элементами (либо его отсутствие)
— определить вид этого отношения
О том, что такое линейное уравнение, мы говорили в предыдущем уроке.
Решение задачи и математическая модель
Когда от нас требуется решить задачу, мы должны с помощью правильной цепочки действий над имеющимися в задании данными выполнить указанное в ней требование.
Почему важно научиться решать задачи? Часто они описывают какие-то реальные ситуации, которые вам будут попадаться в жизни дальше. И их придется решать.
В процессе нахождения ответов для разнообразных текстовых задач мы можем математическим языком (с помощью цифр) записать все данные. В результате перевода условия задачи из словесного в математический язык и получается уравнение. Это уравнение часто называют математической моделью ситуации.
Математическая модель — это способ описания реальной жизненной ситуации (задачи) с помощью математического языка.
Мы должны не просто составить уравнение по написанному в задаче условию, но и, конечно, решить его. То есть необходимо найти корень составленного уравнения. Но и найденный корень – это, как правило, еще не решение.
В младших классах вы находили ответы для задач попроще. Далее они станут сложнее и сложнее, и с найденным корнем уравнения нужно будет произвести какие-то дальнейшие действия. А потом необходимо обязательно удостовериться, не противоречит ли полученный ответ логике.
Важно: Иногда бывает, что у задачи нет правильного ответа и нужно быть особо внимательным при его формулировке.
Рассмотрим на самом простом примере
Несколько ребят на уроке труда собирали яблоки в саду около школы. Всего они насобирали $29$ кг яблок. Каждый из учеников собрал по $4$ кг яблок. Сколько ребят собирали яблоки в саду около школы?
Составим уравнение, обозначив количество учеников за $x$. Получим: $$4x = 29$$ $$x = \frac <29><4>$$$$x = 7,25$$
У нас получилось нецелое число. Но может ли быть количество ребят нецелым числом? Конечно, нет, поэтому такая задача решения не имеет.
Ответ: решения нет.
Разберем другой пример.
Сейчас папе $46$ лет, а сыну $16$. Сколько лет назад папа был старше сына в $3$ раза?
Сначала найдем разницу в возрасте папы и сына: $$46-16 = 30$$ То есть, сын родился, когда папе было $30$ лет. Эта разница в возрасте будет сохраняться всю жизнь. Например, когда ребенку было $5$ лет, то папе все равно было на $30$ лет больше.
Теперь по условию задачи обозначим за $x$ возраст сына в момент, когда он был в 3 раза младше папы. Тогда папе в это же время было $3x$ лет. А разница между $3x$ и $x$, как мы выяснили, равна $30$ годам.
Составим уравнение: $$3x-x = 30$$ Упростим и решим его: $$2x = 30$$ $$x = 15 (лет)$$ Получили ли мы ответ? Еще нет, так как мы нашли только возраст сына. А в задаче требуется узнать, сколько лет назад случилась описанная ситуация. Если сейчас сыну $16$ лет, а тогда ему было $15$, то найдем разницу: $$16-15 = 1 (год)$$ То есть, мы выяснили, что папе было в $3$ раза больше, чем сыну один год назад. Это и будет ответом на нашу задачу.
Ответ: $1$ год назад.
Как видите, в данном задании найденный корень уравнения еще не был нужным нам ответом, и необходимо было решать дальше.
Важно: корень составленного к задаче уравнения – это часто еще не ответ на поставленный в ней вопрос!
Этапы решения заданий с помощью линейного уравнения
Все перечисленные в примерах выше действия для решения задач с помощью линейных уравнений мы можем свести к одному общему алгоритму:
- Выбрать, какую неизвестную величину обозначить за переменную $x$.
- Через введенную переменную выразить остальные неизвестные величины.
- На основе имеющихся данных составить уравнение и решить его.
- При необходимости найти другие неизвестные величины.
- Проанализировать, соответствуют ли полученные результаты смыслу задачи.
- Сформулировать и записать ответ.
Как правило, легче всего составить уравнение с помощью записи данных задачи в таблицу.
К примеру, решим такую задачу: в столовой на одной полке было в $2$ раза больше кружек, чем на другой. Перед очередным классом с первой полки взяли $16$ кружек, но потом на другую поставили $4$. В итоге на обеих полках оказалось одинаковое количество кружек. Найдите, сколько на каждой полке кружек было первоначально.
Решение. Обозначим исходное количество кружек на второй полке за $x$ и составим таблицу:
Было | Стало | |
$1$-я полка | $2x$ | $2x-16$ |
$2$-я полка | $x$ | $x+4$ |
Так как по условию задачи кружек на обеих полках стало поровну, то $$2x-16 = x+4$$ Упростим и решим, перенеся $x$ влево, а $16$ вправо с противоположным знаком: $$2x-x = 16+4$$ $$x=20$$ Так мы нашли исходное количество кружек на второй полке. Тогда на первой полке было: $$20\times 2 = 40 (кружек)$$
Ответ: на первой полке было $40$ кружек, а на второй $20$.
http://urok.1sept.ru/articles/565270
http://obrazavr.ru/algebra/7-klass-algebra/vyrazheniya-tozhdestva-uravneniya/uravneniya-s-odnoj-peremennoj/reshenie-tekstovyh-zadach-s-pomoshhyu-linejnyh-uravnenij/