Задачи за 7 класс уравнениями

Решение задач с помощью линейных уравнений с одной переменной

Алгоритм решения текстовой задачи с помощью уравнения

Алгоритм решения текстовой задачи с помощью уравнения:

• Проанализировать условие задачи, обозначить неизвестное буквой и составить уравнение.
• Решить полученное уравнение.
• Истолковать результат в соответствии с условием задачи.

Задачи с решениями

Задача 1. Одна сторона треугольника в два раза больше другой и на 3 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 43 см.

Пусть сторона AB=x.

Периметр треугольника: P = AB+AC+BC = x+2x+(2x+3) = 43

$$5x+3 = 43 \iff 5x = 40 \iff x = 40:5 = 8$$

AB = x = 8 см, AC = 2x = 16 см, BC = 2x+3 = 19 см

Ответ: 8 см, 16 см и 19 см

Задача 2. Расстояние между двумя станциями поезд может пройти со скоростью 70 км/ч на полчаса быстрее, чем со скоростью 60 км/ч. Найдите это расстояние.

Пусть x – расстояние между станциями.

По условию разность затраченного времени:

Решаем: $ \frac <60>— \frac <70>= \frac<1> <2>| \times 420 \iff 7x-6x = 210 \iff x = 210 $

Расстояние между станциями 210 км

Задача 3. Бригада должна была изготовить детали за 5 дней, но выполнила работу за 4 дня, т.к. изготавливала каждый день на 12 деталей больше. Сколько деталей изготовила бригада?

Пусть x — количество изготовленных деталей.

Количество деталей в день, шт./дни

Количество дней, дни

По условию разность между количествами деталей в день:

Решаем: $ \frac <4>— \frac <5>= 12 | \times 20 \iff 5x-4x = 240 \iff x = 240 $

Бригада изготовила 240 деталей.

Ответ: 240 деталей

Задача 4. Сумма двух чисел равна 90. Если большее из них разделить на меньшее, то частное равно 3 и в остатке 6. Найдите эти числа.

Пусть x — меньшее число. Тогда большее равно 90-x. По условию: 90-x = 3x+6

$$ 90-6 = 3x+x \iff 4x = 84 \iff x = 21 $$

Меньшее число x = 21, большее число 90-x = 69.

Задача 5. Матери 37 лет, а дочери 13 лет. Когда дочь была или будет втрое младше матери? А вдвое?

Пусть x — число прошедших лет. Возраст матери станет 37+x, дочери 13+x.

$$ \frac<37+x> <13+x>= 3 \iff 37+x = 3(13+x) \iff 37+x = 39+3x \iff 37-39 = 3x-x \iff $$

$$ \iff 2x = -2 \iff x = -1 $$

Дочь была втрое младше матери 1 год тому назад.

$$ \frac<37+x> <13+x>= 2 \iff 37+x = 2(13+x) \iff 37+x = 26+2x \iff 37-26 = 2x-x \iff $$

Дочь будет вдвое младше матери через 11 лет.

Ответ: год назад; через 11 лет

Задача 6. Сколько лет отцу и сыну, еcли в позапрошлом году сын был младше в 5 раз, а в следующем будет младше в 4 раза?

Пусть x — возраст сына в этом году.

Возраст сына, лет

Возраст отца, лет

И для отца, и для сына пройдёт три года:

$$ 4(x+1)-5(x-2) = 3 \iff 4x+4-5x+10 = 3 \iff 4x-5x = 3-14 \iff -x = -11 $$ $$ x = 11 $$

Сейчас сыну 11 лет.

В следующем году отцу будет 4(x+1)=4∙12=48 лет. Значит, сейчас отцу 47 лет.

Ответ: 11 лет и 47 лет.

Задача 7. Сумма цифр данного двузначного числа равна 7. Если эти цифры поменять местами, то получится двузначное число на 9 больше данного. Найдите данное число.

Пусть x — первая цифра данного числа, число десятков.

По условию разность чисел:

$$ (70-10x+x)-(10x+7-x) = 9 \iff 70-9x-9x-7 = 9 \iff $$ $$ \iff -18x = 9-63 \iff -18x = -54 \iff x = 3 $$

Первая цифра x = 3, вторая цифра 7-x = 4.

Данное число 34.

Задача 8. По расписанию автобус должен ехать от посёлка до станции со скоростью 32 км/ч и приезжать на станцию за полчаса до отхода поезда. Но из-за ненастной погоды автобус ехал со скоростью на 7 км/ч меньше и опоздал к поезду на 12 мин. Чему равно расстояние от посёлка до станции?

Пусть x – расстояние от посёлка до станции.

Разность по времени между расписанием и фактическим прибытием:

30 мин+12 мин = 42 мин = $\frac<42><60>$ ч = 0,7 ч

$ \frac<25>— \frac <32>= 0,7 | \times 32 \cdot 25 $

$ 32x-25x = \frac<7> <10>\cdot 32 \cdot 25 = 7 \cdot 16 \cdot 5 $

$ 7x = 7 \cdot 16 \cdot 5 \iff x = 16 \cdot 5 = 80 $

Расстояние 80 км.

Задача 9*. Если к двузначному числу приписать справа и слева цифру 4, то получится число в 54 раза больше исходного. Найдите исходное двузначное число.

Пусть x — исходное число.

Если приписать по 4 слева и справа, в полученном четырёхзначном числе первая 4 указывает на количество тысяч, число x — на количество десятков, последняя 4 – на количество единиц. Соотношение чисел:

Решаем: $ 4004+10x = 54x \iff 4004=44x \iff x = \frac<4004> <44>= \frac<1001> <11>= 91 $

Исходное число x = 91.

Задача 10. Для проведения экзамена закуплены тетради. Если их сложить в пачки по 45 штук, останется одна лишняя тетрадь, а если сложить в пачки по 50 штук, то в одной пачке не будет хватать 4 тетради. Сколько тетрадей было куплено, если пачек по 45 тетрадей получается на одну больше, чем пачек по 50 тетрадей?

Пособие по алгебре «Решение задач с помощью уравнений» (7класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Текстовые задачи – традиционно трудный материал для значительной части учащихся. Во многом это связанно с необходимостью четкого осознания различных соотношений между описываемыми в тексте задачи объектами.

В этом пособии сделана попытка поэлементного обучения решению текстовых задач. Рассмотрены их основные сюжетные варианты.

Материал предназначен для организации начального этапа обучения решению текстовых задач (на последующих этапах необходимо предлагать задачи, не разбитые на вопросы) и может быть использован для организации самостоятельной работы всего класса, а также для индивидуальной работы со слабыми учащимися в классе и дома.

1.Задачи на выполнение плановых заданий……………………………………. 5

2. Задачи на изменение количеств………………………………………………… 6

3. Задачи на сплавы и смеси………………………………………………………. 7

6. Задачи на движение по реке……………………………………………………. 11

7. Задачи на составление систем линейных уравнений…………………………. 12

1. Задачи на выполнение плановых заданий

При строительстве стадиона укладчики бетона, перевыполняя дневную норму на 180 м3, не только выполнили 10-дневное задание за один день до срока, но и уложили дополнительно 320 м3 бетона. Сколько кубометров бетона должно быть уложено за 10 дней по плану?

Обозначив дневную норму укладки бетона (в м3) буквой х, выразите:

1) Сколько кубометров бетона должно было быть уложено за 10 дней по плану;

2) Сколько кубометров бетона укладывалось за день;

3) Сколько кубометров бетона было уложено за 1 день до срока.

Сравните количество бетона (в м3), уложенное за 1 день до срока, с количеством бетона (в м3), которое планировалось уложить за 10 дней, и запишите уравнение.

Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи.

1. На сколько процентов перевыполнялась укладчиками дневная норма? (Ответ округлите до десятых долей процента.)

2. Сколько кубометров бетона будет уложено за 10 дней, если укладчики будут продолжать работать в том же темпе?

Фермер планировал провести, сев за 7 дней. Но он засевал в день на 3 га больше, чем планировал, и за 3 дня до срока ему оставалось засеять 21 га. Сколько гектаров должен был засеять фермер?

Обозначив дневную норму сева (в га) буквой х, выразите:

1) Сколько всего гектаров должен был засеять фермер;

2) Сколько гектаров засевалось за 1 день;

3) Сколько гектаров было засеяно за 3 дня до срока.

Сравните число засеянных за 3дня до срока гектаров с числом гектаров, которые планировал засеять фермер за 7 дней, и напишите уравнение.

Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи.

1. На сколько процентов фермер перевыполнял дневную норму? (Ответ округлите до десятых долей процента.)

2. На сколько процентов был выполнен план сева за 3 дня до срока?

2. Задачи на изменение количества

В одном овощехранилище было 440т картофеля, а в другом – 408 т. С первого ежедневно вывозили по 60 т, а во второе ежедневно завозили по 48 т картофеля. Через сколько дней во втором овощехранилище окажется в 3 раза больше картофеля, чем в первом?

Обозначив искомое число дней буквой х, выразите:

1) Число тонн картофеля, вывезенного за х дней из первого овощехранилища;

2) Число тонн картофеля, завезенного за х дней во второе овощехранилище;

3) Число тонн картофеля, оставшегося через х дней в первом овощехранилище;

4) Число тонн картофеля, оказавшегося через х дней во втором овощехранилище.

Сравните количество картофеля, оказавшегося через х дней в овощехранилищах, и запишите уравнение. Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи.

1. На сколько процентов больше картофеля было в первом овощехранилище, чем во втором?

2. На сколько процентов больше картофеля оказалось во втором овощехранилище, чем в первом, через два дня?

В одном баке 940 л воды, а в другом – 480л. Из первого выливают за час в 3 раза больше воды, чем из второго. Через 5 ч в первом баке остается на 40 л меньше воды, чем во втором. Сколько литров воды выливается из каждого бака за 1 ч?

Обозначив буквой х число литров воды, выливаемой за 1 ч из второго бака, выразите:

1) Количество воды, выливаемой за 1 ч из первого бака;

2) Количество воды, выливаемой из второго бака за 5 ч;

3) Количество воды, выливаемой из первого бака за 5 ч;

4) Количество воды, оставшейся в каждом в каждом из баков через 5 ч.

Сравните оставшиеся количества воды и запишите уравнение. Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи.

1. На сколько процентов объем воды в первом баке был больше, чем во втором?

2. На сколько процентов объем воды во втором баке стал больше, чем в первом, через 5 ч?

Сплав меди и цинка содержит 82% меди. После добавления в сплав 18кг цинка процентное содержание меди в сплаве понизилось до 70%. Сколько меди и сколько цинка было в сплаве первоначально?

Обозначив буквой х первоначальную массу сплава в килограммах, выразите:

1) Массу меди в сплаве;

2) Массу сплава после добавления цинка;

3) Отношение массы меди к новой массе сплава.

Составьте уравнение, учитывая, что процент содержания меди в полученном сплаве известен. Решите уравнение и найдите массы меди и цинка в первоначальном сплаве.

1. Сколько цинка нужно было добавить в первоначальный сплав, чтобы его процентное содержание составляло 50?

2. Можно ли, добавляя в первоначальный сплав равные массы меди и цинк, получить сплав, содержащий 50% цинка?

Сплав олова и меди, масса которого 16 кг, содержит 55% олова. Сколько килограммов олова нужно добавить в сплав, чтобы повысить содержание олова в сплаве до 60%?

Обозначив искомую массу олова буквой х, выразите:

1) Сколько килограммов олова было в сплаве первоначально;

2) Сколько килограммов олова стало в сплаве после добавления;

3) Массу полученного сплава;

4) Отношение массы олова к массе полученного сплава.

Запишите уравнение, решите его и ответьте на вопросы задачи.

1. Какова масса меди, содержащейся в сплаве?

2. Сколько килограммов меди следовало бы добавить в сплав, чтобы содержание меди составило 50%?

4. Площадь прямоугольника

Длина прямоугольника на 18 м больше его ширины. Если длину прямоугольника уменьшить на 8 м, а ширину увеличить на 7 м, то его площадь увеличится на 40 кв.м.Найдите площадь данного прямоугольника.

Обозначив ширину прямоугольника в метрах буквой х, выразите:

1) длину прямоугольника в квадратных метрах;

2) Длину и ширину прямоугольника в квадратных метрах;

3) Длину и ширину прямоугольника после изменения его измерений;

4) Площадь измененного прямоугольника в квадратных метрах.

Сравните площади данного и измененного прямоугольника и запишите уравнение. Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи.

1. Какой из прямоугольников, измененный или новый, имеет больший периметр?

2. На сколько процентов площадь данного прямоугольника меньше площади измененного прямоугольника?

Длина прямоугольника в 2 раза больше его ширины. Если ширину прямоугольника увеличить на 8 дм, а длину уменьшить на 10 дм, то площадь прямоугольника увеличится на 220 кв. дм. Найдите площадь данного прямоугольника.

Обозначив ширину прямоугольника в дециметрах буквой х, выразите:

1) Длину прямоугольника в дециметрах;

2) Площадь прямоугольника в квадратных дециметрах;

3) Длину и ширину измененного прямоугольника;

4) Площадь измененного прямоугольника.

Сравните площади данного и измененного прямоугольников и запишите уравнение. Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи.

1. Какой из прямоугольников, данный или измененный, имеет больший периметр и на сколько дециметров?

2. На сколько процентов площадь измененного прямоугольника больше площади данного?

5.Задачи на движение

Из А и В со скоростью 66 км/ч отправился товарный поезд, а спустя 20 мин от станции В в направлении станции А вышел скорый поезд, проходящий в час 90 км. На каком расстоянии от А встретятся поезда, если длина перегона АВ равна 256км?

Обозначив время движения в часах товарного поезда до встречи со скорым буквой х, выразите:

1) Время движения скорого поезда;

2) Путь, пройденный товарным поездом до встречи со скорым;

3) Путь, пройденный скорым поездом до встречи с товарным.

Учитывая, что сумма путей, пройденных обоими поездами до их встречи, равна АВ, составьте уравнение. Решите уравнение и ответьте на вопрос задачи.

1. Какой из поездов прошел до встречи больший путь?

2. Какой из поездов прибыл раньше: товарный на станцию В или скорый на станцию А?

Из M и N со скоростью 68 км/ч отправился пассажирский поезд, а спустя 6 мин в след за ним вышел электропоезд, проходящий в час 85 км. На каком расстоянии от станции N электропоезд догонит пассажирский, если длина перегона MN равна 40 км?

Обозначив время движения в часах, за которое электропоезд догонит пассажирский, буквой х, выразите:

1) Время движения пассажирского поезда до его обгона электропоездом;

2) Путь, пройденный пассажирским поездом до его обгона;

3) Путь, пройденный электропоездом до обгона им пассажирского поезда.

Учитывая, что поезда пройдут к моменту обгона одно и то же расстояние, составьте уравнение. Решите уравнение и ответьте на вопросы задачи.

1. Какое расстояние было между поездами в момент отправления электропоезда?

2. На сколько минут раньше пассажирского электропоезд прибывает на станцию N (вычислите, округлив до минут)?

6. Задачи на движение

Из М в N велосипедист ехал по шоссе со скоростью 16 км/ч, а возвращался он по проселочной дороге, которая была на 6 км длиннее, со скоростью 12 км/ч. Сколько километров проехал велосипедист по шоссе и сколько по проселочной дороге, если на весь путь он затратил 4 ч?

Обозначив длину пути по шоссе в километрах буквой х, выразите:

1) Длину пути велосипедиста по проселочной дороге;

2) Время в часах, затраченное велосипедистом на путь по шоссе;

3) Время в часах, затраченное велосипедистом на путь по проселочной дороге.

Учитывая, что время, затраченное на весь путь, известно, составьте уравнение. Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи.

1. Какую среднюю скорость имел велосипедист на всем маршруте?

2. Сколько времени затратил бы велосипедист на весь путь, если бы по проселочной дороге он ехал на 3 км/ч быстрее, а по шоссе – на 4 км/ч медленнее?

Лыжная трасса состоит из подъема и спуска, причем подъем на 8 км короче спуска. Лыжник, двигаясь на спуске со скоростью 18 км/ч, а на подъеме – со скоростью 8 км/ч, затратил на подъем на 15 мин больше времени, чем на спуск. Найдите длину каждого участка трассы.

Обозначив длину спуска в километрах буквой х, выразите:

1) Длину подъема в километрах;

2) Время в часах, затраченное на спуск;

3) Время в часах, затраченное на подъем.

Сравнивая время, затраченное на спуск и на подъем, составьте уравнение. Решите уравнение и запишите ответ.

1. Какова была средняя скорость лыжника на всей трассе?

2. Сколько времени затратит лыжник на обратный путь, если будет двигаться на подъеме со скоростью 8 км/ч, а на спуске – со скоростью 18 км/ч?

7. Задачи на движение по реке

Лодка проплыла по течению реки на 11 км больше, чем против течения, потратив на весь путь 3 ч. Зная, что скорость лодки в стоячей воде равна 5км\ч, а скорость течения – 2км\ч, определите, сколько всего километров проплыла лодка.

Обозначив буквой x расстояние в километрах, пройденное лодкой против течения, выразите:

1) расстояние в километрах, пройденное лодкой по течению реки;

2) скорость лодки по течению и против течения реки;

3) время движения лодки по течению и против течения реки;

Учитывая, что на весь путь лодка затратила 3 ч, составьте уравнение. Решите уравнение и запишите ответ.

1. Какова средняя скорость движения лодки на всем пути?

2. Сколько времени потребовалось бы лодке, чтобы проплыть такое же расстояние в стоячей воде?

Моторная лодка прошла по реке 46 км за 3 ч, причем часть пути против, а часть – по течению реки. Зная, что скорость течения реки 1 км\ч, а скорость лодки в стоячей воде – 15 км\ч, определите, сколько километров прошла лодка по и сколько против течения реки.

Обозначив путь к километрах, пройденный против течения реки , буквой х , выразите:

1) путь, пройденный по течению реки;

2) скорость лодки по течению и против течения;

3) время движения по течению и против течения.

Учитывая, что время, затраченное на весь путь, известно, составьте уравнение. Решите уравнение и ответьте на вопрос задачи.

1. Какова средняя скорость лодки на всем пути?

2. Сколько времени понадобилось бы лодке, чтобы проплыть такое же расстояние в стоячей воде?

8. Задачи на составление систем линейных уравнений

Два бака содержат разное количество керосина. Если из первого бака отлить 18 л, а из второго 12 л керосина, то во втором баке останется вдвое больше керосина, чем в первом. Если же из первого отлить 8 л, а из второго -16 л, то число литров керосина, оставшегося в первом баке, будет относиться к числу литров керосина, оставшегося во втором баке, как 7:8. Сколько литров керосина содержится в каждом из баков?

Обозначив число литров керосина в первом баке буквой х, а число литров керосина во втором баке буков y , выразите:

1) Сколько литров керосина останется в каждом из баков, если из них отлить соответственно 18 и 12 л;

2) Сколько литров керосина останется в каждом из баков, если из них отлить соответственно 8 и 16 л;

Сравнив оставшееся количество керосина в первом и во втором случаях, запишите соответствующие уравнения. Решив систему уравнений, ответьте на вопрос задачи.

1. На сколько процентов количество керосина во втором баке больше, чем в первом баке?

2. Как изменится процентное отношение количеств керосина в баках, если в каждый из них долить по 6 л керосина?

На двух полках лежат книги. Если с первой полки взять 6 книг, а со второй – 11 книг, то на первой полке станет в полтора раза больше книг, чем на второй. Если же с каждой полки взять по 3 книги, то число книг, оставшихся на первой полке, будет соотноситься к числу книг на второй полке, как 6:7. Сколько книг стоит на каждой полке

Обозначив число книг на первой полке буквой х, а на второй полке – y , выразите:

1) сколько книг останется на каждой полке, если с первой снять 6 книг, а со второй – 11 книг;

2) сколько книг останется на каждой полке, если и с первой, и со второй полки снять по 3 книги.

Сравнив оставшиеся в каждом случае количества книг на полках, составьте систему уравнений. Решите систему и ответьте на вопрос задачи.

1. На сколько процентов число книг на второй полке превышает число книг на первой полке?

2. Как изменится процентное отношение числа книг на обеих полках, если на каждую поставить еще по 10 книг?

9. Задачи на составление систем уравнений

Два пешехода отправились одновременно из пунктов М и N , расстояние между которыми 38 км, навстречу друг другу. Через 4 ч расстояние между ними сократилось до 2 км, а еще через полтора часа первому осталось пройти до пункта N на 5,5 км меньше, чем второму до М. Найдите скорости обоих пешеходов.

Обозначив буквами х и у скорости обоих пешеходов в км/ч, выразите:

1) Путь, пройденный пешеходами за 4 ч;

2) Путь, который осталось пройти пешеходам до встречи (составьте уравнение);

3) Путь, который прошел первый пешеход за 5,5 ч (5,5=4 + 1,5), и расстояние, которое ему осталось пройти до М;

4) Путь, который прошел второй пешеход за 5,5 ч, и расстояние, которое ему осталось пройти до N .

Сравнивая расстояния, которые осталось пройти пешеходам через 5,5 ч, составьте второе уравнение. Решите систему уравнений и запишите ответ на вопрос задачи.

1. Сколько километров останется пройти второму пешеходу, когда первый придет в N ?

2. На сколько минут раньше завершит свой маршрут первый пешеход?

Два туриста отправились одновременно из пунктов А и В, расстояние между которыми 33 км, навстречу друг другу. Через 3ч 12мин расстояние между ними сократилось до 1км, а еще через 2 ч и 15 мин первому осталось до пункта В втрое большее расстояние, чем второму до А. Найдите скорости обоих пешеходов.

Обозначив скорости туристов в км/ч буквами х и у, выразите:

1) Путь, пройденный туристами за 3 ч 12 мин;

2) Путь, который осталось пройти туристам до встречи (составьте уравнение);

3) Путь, который прошел первый турист за 5,5 часов (5,5ч=3ч 12мин + 2ч 18мин), и расстояние, которое ему осталось пройти до А.

Сравнивая расстояния, которые осталось пройти туристам через 5,5 ч, составьте второе уравнение. Решите систему уравнений и запишите ответ на вопрос задачи.

1. Сколько километров останется пройти первому туристу, когда второй придет в А?

2. На сколько минут раньше завершит свой маршрут второй турист?

1. В-1. 13 000 куб м. В-2. 49га.

2. В-1. Через 4 дня. . В-2. 50 л.

3. В-1. 86,1 кг и 18,9 кг. . В-2. 2 кг.

4. В-1. 1440 кв м. В-2 5000 кв дм.

5. В-1. 121 км. В-2. 6 км.

6. В-1. 24 и 30 км . В-2. 18 и 10 км.

7. В-1. 17 км. В-2. 34 и 14 км.

8. В-1. 36 и 48 л. В-2. 15 и 17 книг.

9. В-1. 5 и 4 км/ч. В-2. 4,5 и 5,5 км/ч.

Задачи за 7 класс уравнениями

Решите уравнение 2 + 3x = − 2x − 13.

Найдем корень уравнения:

Найдите корни уравнения&nbsp

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.