Задание показательные уравнения и неравенства из егэ

ЕГЭ Профиль №15. Показательные неравенства

15 заданием профильного ЕГЭ по математике является неравенство. Одним, из наиболее часто встречаемых неравенств, которое может оказаться в 15 задание, является показательное неравенство. Большая часть показательных неравенств предлагаемых на реальных экзаменах решается с помощью замен, методом интервалов или разложением на множители. Прежде чем решать показательные неравенства необходимо знать свойства показательной функции и уметь решать показательные уравнения (см. задание 13 профильного ЕГЭ « Показательные уравнения »). В данном разделе представлены показательные неравенства (всего 109) разбитые на два уровня сложности. Уровень А — это простейшие показательные неравенства, которые являются подготовительными для решения реальных показательных неравенств предлагаемых на ЕГЭ по профильной математике. Уровень В — состоит из неравенств, которые предлагали на реальных ЕГЭ и в диагностических работах прошлых лет.

Задания по теме «Показательные неравенства»

Открытый банк заданий по теме показательные неравенства. Задания C3 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1193

Условие

Решите неравенство 3^<2x^2+7>+3^<(x+3)(x+1)>-4\cdot 3^<8x>\geqslant 0.

Решение

3^<2x^2+7>+3^-4\cdot 3^<8x>\geqslant 0, разделим обе части неравенства на 3^<8x>\neq 0, 3^<8x>>0; неравенство примет вид 3^<2x^2-8x+7>+3^\geqslant 0, введем обозначение 3^=t, t>0, получим: 3t^2+t-4\geqslant 0 . Найдем корни уравнения 3t^2+t-4=0, t_1=-\frac43, t_2=1. Решением неравенства 3t^2+t-4\geqslant0 являются промежутки \left( -\infty ; -\frac43\right] и \left[ 1; +\infty \right). Так как t>0, то 3^\geqslant 1, 3^\geqslant 3^0, x^2-4x+3\geqslant 0, x\leqslant 1 и x\geqslant 3. То есть решениями этого неравенства являются x\in(-\infty ; 1]\cup [3;+\infty ).

Ответ

(-\infty ; 1]\cup [3;+\infty ).

Задание №1192

Условие

Решите неравенство 3^<3x>-3^\cdot 2^<2x>+18^x-3\cdot 8^x\geqslant 0.

Решение

3^<3x>-3^x\cdot 2^<2x>\cdot 3+3^<2x>\cdot 2^x-3\cdot 2^ <3x>\geqslant 0.

Разделим обе части неравенства на 2^<3x>, 2^ <3x>\neq 0, 2^<3x>>0, неравенство примет вид \frac<3^<3x>><2^<3x>>-\frac<3^x\cdot 2^<2x>\cdot 3><2^<3x>>\,\,\,+ \frac<3^<2x>\cdot 2^x><2^<3x>>-\frac<3\cdot 2^<3x>><2^<3x>>\geqslant 0,

\left( \frac32\right) ^<3x>-3\cdot \left( \frac32\right) ^x+\left( \frac32\right) ^<2x>-3\geqslant 0, введем обозначение \left( \frac32\right) ^x=t, t>0.

t\in[-\sqrt 3;-1]\cup [\sqrt 3;+\infty ), но t>0, следовательно, решением неравенства t^3+t^2-3t-3\geqslant 0 является t\in[\sqrt 3;+\infty ).

\left( \frac32\right) ^x=t, тогда \left( \frac32\right) ^x\geqslant \sqrt 3.

Ответ

Задание №990

Условие

Решите неравенство 7^<2x>-7^+3|7^-5| \geq 6

Решение

Введём обозначение 7^x=t,\, t > 0. Неравенство примет вид t^<2>-7t+3|t-5| \geq 6.

\left[\!\!\begin \begin t^<2>-7t+3(t-5) \geq 6, \\ t \geq 5; \end \\ \begin t^<2>-7t+3(-t+5) \geq 6, \\ 0

\left[\!\!\begin \begin t^<2>-4t-21 \geq 0, \\ t \geq 5; \end \\ \begin t^<2>-10t+9 \geq 0, \\ 0

\left[\!\!\begin \begin t \leq -3; t \geq 7, \\ t \geq 5; \end \\ \begin t \leq 1; t \geq 9, \\ 0

1) 0

2) 7^ \geq 7,\, x \geq 1.

Значит, объединением решений будут промежутки (-\infty ;0] и [1;+\infty ).

Ответ

Задание №988

Условие

Решение

С помощью замены 5^=t, где t > 0, приведем неравенство к виду \frac<4t-17>+\frac<10t-13> <2t-3>> \frac<8t-30><2t-7>+\frac<5t-4>.

Выделим целую часть в каждом слагаемом:

После приведения к общему знаменателю и упрощению получим:

Решим неравенство методом интервалов

С учётом условия t > 0, получим

Возвращаясь к переменной x , получим, что 5^ \frac<3> <2>\frac<7> <2>откуда x \log_<5>\frac<3> <2>\log_<5>\frac <7>

Ответ

(-\infty;0)\,\cup \left (\log_<5>\frac<3><2>; \log_<5>\frac<5><2>\right )\,\cup \left (\log_<5>\frac<7><2>; \log_<5>4\right)

Задание №967

Условие

Решение

Обозначим 3^=t,\, t > 0. Неравенство примет вид:

\frac<3(t+3)t>\leq 0. Воспользуемся условием t > 0.

Так как при этом t+3 > 0 и t+2 > 0, то неравенство верно при t-1 то есть 0 Тогда 0

Ответ

Задание №228

Условие

Решите неравенство \left | 2^-3 \right | \geq 4+\frac<1><6-\left | 2^-3 \right |> .

Решение

Пусть \left | 2^-3 \right |=t , тогда получаем неравенство t \geq 4+\frac<1><6-t>. Преобразуем последнее неравенство: 4-t+\frac<1> <6-t>\leq 0; \frac-10t+25> <6-t>\leq 0; \frac<(t-5)^<2>> <6-t>\leq 0.

Используя метод интервалов, найдем решения неравенства с переменной t: t=5 или t > 6 . Отсюда \left | 2^-3 \right |=5 или \left | 2^-3 \right | > 6 .

Пусть 2^=a , решим уравнение и неравенство с модулем. Из уравнения \left | a-3 \right |=5 получаем \left[\!\!\begin a-3 = 5, \\a — 3= -5; \end\right. \Leftrightarrow \left[\!\!\begin a = 8, \\ a = -2. \end\right.

Далее \left[\!\!\begin 2^=8 \\ 2^=-2; \end\right. \Leftrightarrow x=3 . Модуль \left | a-3 \right | есть расстояние на координатной оси от точки a до точки 3 .

Для решения неравенства \left | a-3 \right | > 6 необходимо найти такие точки, расстояние от которых до точки 3 больше 6 . Справа от точки 3 расположена точка 9 на расстоянии 6 единиц, а слева — точка (-3). Поэтому из неравенства

\left | a-3\right | > 6 получаем a или a > 9 . Далее \left[\!\!\begin 2^ 9; \end\right.\: \Leftrightarrow \: 2^ > 2^<\log_<2>9> \Leftrightarrow \: x > \log _<2>9 .

Урок-семинар на тему: «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Конспект открытого урока-семинара, проведенного в 10 классе, на тему: Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ». Предоставленный материал дает возможность систематизировать и обобщить знания по данной теме, ознакомить с заданиями разного уровня сложности, содержащими показательные уравнения и неравенства, из открытого банка подготовки к ЕГЭ, дать рекомендации учащимся для выполнения этих заданий на экзамене. Урок составлен с применением новых технологий. На нем предусмотрены выступления учеников по основным темам.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №8»

г. Железногорск Курская область

Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ»

Подготовила и провела

Кушнерева Светлана Федоровна

Тема: “Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ”.

Обучающие: познакомить с заданиями разного уровня сложности, содержащими показательные уравнения и неравенства и их системы, из открытого банка подготовки к ЕГЭ. Обобщить знания и умения учащихся по применению методов решения показательных уравнений и неравенств, закрепить знание свойств показательной функции в процессе решения показательных уравнений и неравенств. Дать рекомендации для выполнения данных заданий на экзамене.

Развивающие: развивать у учащихся умение решать показательные уравнения и неравенства разной сложности, анализировать условие задачи и выбирать нужный метод решения; умение применять теоретические знания на практике; активизировать познавательную деятельность учащихся посредством использования компьютерных технологий; развивать навыки самоконтроля и самооценки, самоанализа своей деятельности.

Воспитательные: формировать умение выступать перед аудиторией с заданной темой, четко излагать свои мысли, работать самостоятельно, принимать решения и делать выводы. Воспитывать внимательность и упорство при решении задач, стремление к самообразованию и самосовершенствованию, осознание учащимися социальной, практической и личной значимости учебного материала по изучаемой теме.

1.Проектор и презентации учителя и учащихся по теме “ Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ ”:

2.Схемы-кластеры для учащихся

I. Организационный момент. Сообщение темы, цели и задач урока.

Учитель: — Сегодня мы проведем урок-семинар.

Слайд 2 (Эпиграф)

Эпиграфом к уроку я взяла восточную мудрость: “Приобретать знания — храбрость, приумножать их — мудрость, а умело применять — великое искусство”. Вот и мы сегодня постараемся найти применение знаниям, полученным на уроках математики.

Чтобы определить, какие темы будут рассмотрены на уроке, вы должны ответить на вопросы и вставить слова в кружки схемы-кластера.

Слайд 3 (Кластер)

— Как называется икс в степени с основанием а? (Показатель)

— Какие математические понятия связаны с понятием «показатель»? (Показательная функция, показательные уравнения, показательные неравенства)

Слайд 4 (Тема урока)

Итак, тема нашего урока: “Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ”. Цель – рассмотреть задания разного уровня сложности и подготовиться к ЕГЭ по данной теме, связать изученный материал с тем, что ждет вас на экзамене. В течение урока я дам рекомендации, как лучше выполнять задания. Для повторения основного теоретического материала к семинару вам были предложены темы:

«Показательная функция, ее свойства и график».

«Показательные уравнения и неравенства и основные методы их решения»

На уроке мы прослушаем выступления по данным темам, рассмотрим примеры применения этого материала на экзамене. У каждого из вас на парте есть данная схема. К концу урока вы должны записать в нее методы решения показательных уравнений и неравенств.

II. Основная часть урока

Учитель: — А сейчас прослушаем первое выступление.

Тема: «Показательная функция, ее свойства и график»

«Показательные уравнения. Методы решения показательных уравнений»

Учитель: — Показательные уравнения, решаемые методом уравнивания показателей, встречаются в базовом уровне под № 7 , а в профильном уровне под №5. Под этими номерами могут также встретиться уравнения других видов: иррациональное, логарифмическое, рациональное, квадратное или линейное.

Вот примеры из демонстрационных вариантов 2017 года:

Как видите, уравнения мало чем отличаются. Их можно решить даже устно. Но на экзамене рекомендуется все же сделать краткую запись решения или проверку: 3 х-3 =81; 3 х-3 = 3 4 ; х-3=4; х=7. Проверка: 3 7-3 =3 4 =81.

Обратите внимание на то, что корень уравнения должен быть один! Если, например, вы решаете квадратное уравнение, получаете два корня, то в ответ идет только корень, удовлетворяющий условию задания.

На экзамене очень важно правильно распределить время. На первые, более простые задачи, отводится около 20 минут. Затем скорость лучше уменьшить. Внимание, как правило, ослабевает. Из-за этого допускается много ошибок.

Слайд 5(Самостоятельная работа. Задания)

Учитель: — Предлагаю вам небольшую самостоятельную работу на 5 минут