Задания егэ по математике на показательные уравнения

Показательные уравнения

Материал для проведения самостоятельной работы. Задание №5 профильного уровня ЕГЭ по математике.

Ответы

В России появится перечень разрешённых электронных образовательных ресурсов

К 1 января в России появится перечень электронных ресурсов, разрешенных к использованию в школах. Об этом в интервью «Российской газете» рассказала глава Комитета Госдумы по просвещению Ольга Казакова.

Госслужащих заставят сдавать экзамен по русскому языку

Чиновников скоро заставят сдавать экзамен на знание русского языка и умение говорить на нем правильно, красиво, без канцелярита. Об этом сообщила ректор Государственного института русского языка имени Пушкина, член Совета при президенте РФ по русскому языку Маргарита Русецкая.

Пробный вариант ЕГЭ-2022 по русскому языку

Соответствует демоверсии ЕГЭ-2022. Вариант составлен на основе заданий открытого банка ФИПИ.

Задание №12. Уравнения — профильный ЕГЭ по математике

Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.

Сейчас задание 12 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.

Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.

Что необходимо помнить при решении уравнений?

1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть — помним, что он существует, только если

2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.

4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.

5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка . От нее и будем отсчитывать. Получим:

6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Упростим левую часть по формуле приведения.

Вынесем за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Видим, что указанному отрезку принадлежат решения

Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка От нее и отсчитываем.

2. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.

Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.

Это ответ в пункте (а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку

Отметим на тригонометрическом круге отрезок и найденные серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки и из серии

Точки серии не входят в указанный отрезок.

А из серии в указанный отрезок входит точка

Ответ в пункте (б):

3. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Применим формулу косинуса двойного угла:

Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.

Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.

б) Для разнообразия отберем корни на отрезке с помощью двойного неравенства.

Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».

Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.

Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии на отрезке Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.

4. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие заметно сразу. А условие появляется, поскольку в уравнении есть

Уравнение равносильно системе:

Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых , то есть те, что соответствуют точкам справа от оси .

Ответ в пункте а)

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки

5. а) Решите уравнение

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Это значит, что уравнение равносильно системе:

Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых или . Заметим, что среди них находятся и углы, для которых

Числа серии не могут быть корнями исходного уравнения, т.к. для этих чисел не выполнено условие . Остальные серии решений нас устраивают.

Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.

Методическая разработка проверочной работы по математике. Тема: «Решение показательных уравнений».
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Данное задание в ЕГЭ проверяет умение решать простейшие уравнения. Данная разработка посвящена одному из разделов задания – это решение показательных уравнений.

Основной задачей является:

— проверка качества знаний и умений учащихся;

-повышение вычислительной культуры учащихся

Представленная проверочная работа состоит из 5вариантов, в каждом из которых по 12 заданий. Задания данной работы соответствуют прототипам заданий из открытого банка заданий ЕГЭ по математике. Данный материал можно использовать при подготовке к ЕГЭ. Для удобства проверки приведены ответы.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подготовила: учитель математики

ГБОУ №118 г.Санкт-Петербурга

Ахметова Елена Юрьевна

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №118

Методическая разработка проверочной работы по математике.

Тема: «Решение показательных уравнений».

Задания из открытого банка заданий ЕГЭ( http://mathege.ru/ )

Данное задание в ЕГЭ проверяет умение решать простейшие уравнения. Данная разработка посвящена одному из разделов задания – это решение показательных уравнений.

Основной задачей является:

— проверка качества знаний и умений учащихся;

-повышение вычислительной культуры учащихся

Представленная проверочная работа состоит из 5вариантов, в каждом из которых по 12 заданий. Задания данной работы соответствуют прототипам заданий из открытого банка заданий ЕГЭ по математике. Данный материал можно использовать при подготовке к ЕГЭ. Для удобства проверки приведены ответы.

Показательные уравнения, задания из открытого банка заданий ЕГЭ вариант1

1. Найдите корень уравнения .
2. Найдите корень уравнения .
3. Найдите корень уравнения .
4. Найдите корень уравнения:
5. Найдите корень уравнения .
6. Найдите корень уравнения .
7. Найдите корень уравнения:
8. Найдите корень уравнения:
9. Найдите решение уравнения:
10. Решите уравнение .
11. Решите уравнение .
12. Решите уравнение .

Показательные уравнения, задания из открытого банка заданий ЕГЭ вариант2.

1. Найдите корень уравнения .
2. Найдите корень уравнения .
3. Найдите корень уравнения .
4. Найдите корень уравнения:
5. Найдите корень уравнения .
6. Найдите корень уравнения .
7. Найдите корень уравнения:
8. Найдите корень уравнения:
9. Найдите решение уравнения:
10. Решите уравнение .
11. Решите уравнение .
12. Решите уравнение .

Показательные уравнения, задания из открытого банка заданий ЕГЭ вариант3.

1. Найдите корень уравнения .
2. Найдите корень уравнения .
3. Найдите корень уравнения .
4. Найдите корень уравнения:
5. Найдите корень уравнения .
6. Найдите корень уравнения .
7. Найдите корень уравнения:
8. Найдите корень уравнения:
9. Найдите решение уравнения:
10. Решите уравнение .
11. Решите уравнение .
12. Решите уравнение .

Показательные уравнения, задания из открытого банка заданий ЕГЭ вариант4.

1. Найдите корень уравнения .
2. Найдите корень уравнения .
3. Найдите корень уравнения .
4. Найдите корень уравнения:
5. Найдите корень уравнения .
6. Найдите корень уравнения .
7. Найдите корень уравнения:
8. Найдите корень уравнения:
9. Найдите решение уравнения:
10. Решите уравнение .
11. Решите уравнение .
12. Решите уравнение .

Показательные уравнения, задания из открытого банка заданий ЕГЭ вариант5.

1. Найдите корень уравнения .
2. Найдите корень уравнения .
3. Найдите корень уравнения .
4. Найдите корень уравнения:
5. Найдите корень уравнения .
6. Найдите корень уравнения .
7. Найдите корень уравнения:
8. Найдите корень уравнения:
9. Найдите решение уравнения:
10. Решите уравнение .
11. Решите уравнение .
12. Решите уравнение .