Задания на нахождение уравнения окружности

Решение задач по теме: «Уравнение окружностей»

Разделы: Математика

За неделю до проведения урока класс делится на четыре группы. Каждая готовит презентацию, отражающую название команды.

1. Образовательные:

2. Развивающие:

3. Воспитательные:

Ход урока

I. Организационный момент.

В начале урока выдается командам оценочный лист ( Приложение 1 ) с целью самостоятельной оценки учащимися степени участия каждого члена команды в подготовке к уроку и его проведении.

Рассказываются правила урока. За каждое правильное решение команде выдается лепесток определенного цвета:

все ответы верные – красный;
одна ошибка – зеленый;
две ошибки – жёлтый.

Лепестки крепятся на магнитную доску, образуя цветок.

Итоговая оценка выставляется с учетом этого бланка, а также учитывается количество и цвет набранных командой лепестков в цветке на доске.

2. Знакомство с командами (представление презентаций, Приложение 2 ).

3. Актуализация знаний учащихся.

– На последних уроках геометрии мы познакомились с еще одним способом решения задач МЕТОДОМ КООРДИНАТ.

Задавая фигуры уравнением и выражая в координатах геометрические соотношения, мы применяем алгебру к геометрии. Так мы поступили, когда выразили через координаты основную геометрическую величину – расстояние между точками, а затем, когда вывели уравнение окружности и прямой.

Пользуясь координатами, можно истолковывать уравнения и неравенства геометрически и таким образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое изображение функций – первый пример такого применения метода координат

Метод координат в соединении с алгеброй составляет раздел геометрии, называемый “Аналитической геометрией”.

Сегодня я предлагаю еще раз поговорить об уравнении окружности и проследить, как алгебра помогает в решении геометрических задач.

4. Разминка.

– На доске записан ряд уравнений. Какие фигуры они задают?

Команды получают карточки с заданием. Время обдумывания 2мин.

По истечению времени идет опрос команд по очереди.

1	7.
2.	8.
3.	9.
4.	10.
5.	11.
6.	12.

Последнее уравнение вызывает сомнения т.к. ранее не встречалось в таком виде.

Учитель показывает как, выделив полный квадрат, получить уравнение окружности.

Оценить результат работы команд.

Выясните, будет ли данные уравнения задавать окружность, если да, то укажите радиус и координаты центра. Если нет, то почему?

Каждая из команд получают свою карточку. Время 7 минут.

1.	1.
2.	2.
3.	3.

1.	1.
2	2
3	3

Последние уравнение в каждой карточке не задает окружность, и учащиеся поясняют почему. Оценить ответы.

1. Как могут взаимораспологаться две окружности? Дается время(3 мин.). Предлогается ребятам нарисовать различные варианты на ватмане и показать рисунки. После демонстрации и обсуждения всевозможных вариантов Предлогается следующая задача.

2. Как взаиморасположены линии заданные уравнениями?

и

Изобразите ответ на обратной стороне ватмана (на нем, заранее, нанесена система координат.)

Ответ:

O

Значит: первая внутри второй.

Результат этого задания оценивается следующим образом:

Команда, выполнившая первая – красный; вторая – зеленый; третья – желтый

После подведения итогов предлагается задача общая для всех команд.

Командам выдается карточка с кратким описанием условия. Текст задачи зачитывается.

Окружность задана уравнением .

Точка с координатами (5;4) является центром другой окружности касающейся первой внешним образом. Напишите уравнение этой окружности.

Вопросы для обсуждения:

-Поможет ли рисунок в решении задачи?

-Что можно узнать из уравнения первой окружности?

-Что надо знать, чтобы записать уравнение второй окружности?

-Как можно узнать радиус второй окружности?

Ответ:

Перед следующим заданием полезно повторить:

Какая окружность называется описанной около треугольника?

Что значит, точка принадлежит графику уравнения?

Что необходимо знать для написания уравнения окружности?

Написать уравнение окружности описанной около треугольника с заданными координатами вершин.

Какие, алгебраические, приемы могут быть использованы для решения поставленной задачи? (составление систем уравнений и приемы их решения).

1.	2.
3.	4.

Следующую задачу решает учитель.

Задача: Что представляет собой множество точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная?

Решение: Впервые эту задачу сформулировал и решил Аполлоний Пергский, (260-170 гг. до н.э.)

Решение получилось очень сложное – поскольку применены геометрические приемы. Однако в работах французского математика Рене Декарта эта задача решена более элегантно. Декарт применил метод координат.

Я предлагаю посмотреть на это решение. Итак, пусть даны две точки ,А и В и некоторое положительное число k, равное отношению расстояний до точки М.

1случай. Если k=1,тогда множество точек М есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

2 случай. Пусть k целое не отрицательное число не равное 1

Для удобства решения возьмем k=2 , т.е. МА: МВ=2.

Введем систему прямоугольных координат. Совместим начало отсчета с точкой В. В качестве положительной полуоси x возьмем луч ВА. (рис.2)

Тогда получим следующие координаты точек: В(0,0), А(a,0), М(x,y). Пусть a=3 опять для простоты рассуждений.

Тогда, пользуясь формулами расстояния между двумя точками, запишем:

Получили уравнение окружности с центром в точке (-1;0) и радиусом r=2.

Значение радиуса не случайно вспомним, что мы выбрали k=2.

Решая задачу в общем виде т.е. при условии ,что точка А имеет координаты (a;0) и k1 получим уравнение окружности в виде

.

Такая окружность называется окружностью Апполония.

Подводится итог урока. Выставляются оценки.

Решение задач по теме «УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ»

В презентации к уроку геометрии для 9 класса представлены задачи по теме «Уравнение окружности».

Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теме «УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ»»

Определите по уравнению окружности координаты ее центра и радиус :

А) (Х+2)² + ( У – 5)² = 49

Б) (Х+7)² + ( У + 1)² = 36

Ответ : О (-7; -1); R= 6

В) (Х- 6)² + ( У + 15)² = 81

Ответ : О (6; -15); R= 9

Ответ : О (0; 9); R= V͞2

Составьте уравнение окружности, если известны координаты ее центра М и радиус R :

В) М ( 1; -1) , R = ; = V͞11

Задание № 2 ( проверка)

Составьте уравнение окружности с центром в точке М (1; -4), проходящей через точку А(0; 3).

Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ,

если А( -4; 7), В ( 2; 5 )

Составьте уравнение окружности, радиусом которой является отрезок КР,

если К (-2; 3), Р ( 5; — 23)

Составьте уравнение окружности с центром в точке

А(-4; 2), которая касается оси ординат.

Составьте уравнение окружности, проходящей через точку А( 1; -5 ), центр которой принадлежит оси абсцисс, а радиус равен 13.

Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности:

А) Х² + У² + 6х – 14у – 5 = 0;

Найдите координаты центра и радиус окружности ,заданной уравнением

Х² + У² — 18х +2у + 50 = 0. Определите положение точек

А(5; -1), В(2; 4) и С( 13; — 5 ) относительно этой окружности.

Подбор задач по математике на тему»Окружность .Подготовка к ОГЭ»(9 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

На окружности с центром О отмечены точки А и В так ,что ∟АОВ =80 0 .Длина меньшей дуги АВ равна 58.Найти длину большей дуги АВ

На окружности отмечены точки А и В так ,что меньшая дуга АВ равна 152 0 .Прямая ВС касается окружности в точке В так, что угол АВС острый. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.

Точка О- центр окружности ,на которой лежат точки А,В и С. Известно, что ∟АВС=103 0 и ∟ОАВ=24 0 .Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.

В угол С величиной 107 0 вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В ,точка О- центр окружности .Найдите угол АОВ .Ответ дайте в градусах.

Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 14,5.Найдите АС, если ВС=21

В треугольнике АВС известно, что АС=7,ВС=24,угол С равен 90 0 .Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности

Точка О- центр окружности ,на которой лежат точки А,В и С. Известно, что ∟АВС=50 0 и ∟ОАВ=35 0 .Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7

Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О.Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 73 0

Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 17.Найдите АС, если ВС=30.

Центр окружности описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 20.Найдите ВС, если АС=32.

Сторона равностороннего треугольника 14

.Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Периметр треугольника равен 56,а радиус вписанной окружности равен 4.Найдите площадь этого треугольника

Площадь треугольника равна 205,а его периметр 82.Найдите радиус вписанной окружности

Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями, радиусы которых равны и

Площадь сектора круга радиуса 22 равна 165.Найдите длину его дуги

Около окружности, радиус которой равен 2,описан многоугольник, площадь которого равна 29.Найдите его периметр

1.Окружность пересекает стороны угла величиной 33 0 с вершиной С в точках А,Е, D и В .Найдите угол ADB ,если угол ЕА D равен 22 0 .Ответ дайте в градусах.

2.Точки А,В,С и D ,последовательно расположенные на окружности в указанном порядке,делят её на четыре дуги,градусные меры которых относятся как 1:2:7:8 (дуга АВ наименьшая)Найдите градусную меру дуги BD ,содержащей точку С

3.Длина окружности равна 6 .Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью

4.Расстояние от центра окружности до хорды длиной 30 равно 8.Найдите радиус окружности

5.Центральный угол на 43 0 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности

6.Окружность с центром О ₁ и радиусом проходит через центр О ₂ второй окружности и пересекает эту окружность в точках А и В.Найдите радиус второй окружности, если известно, что точка О ₁ лежит на отрезке АВ

7.Найдите радиус окружности,вписанной в равносторонний треугольник,одна из медиан которого равна 15

8.Расстояние от вершины А равнобедренного треугольника АВС до центра О вписанной в него окружности равно 29,а длина основания АС треугольника равна 42.Найдите радиус вписанной окружности треугольника

9.Найдите угол при вершине В равнобедренного треугольника АВС с основанием АС, если сторона АВ треугольника стягивает дугу описанной около него окружности, равную 130 0

10 Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 9 и 40

11.Медиана ВМ треугольника АВС является диаметром окружности,пересекающей сторону ВС в её середине.Длина стороны АС равна 7.Найдите радиус описанной окружности треугольника АВС

12.Найдите периметр трапеции,в которую вписана окружность,если средняя линия трапеции равна 33

13.Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 67 0 и 89 0 .Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

14.Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 13.Найдите АС, если ВС=24

15.На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки M и N .Известно, что ∟ NBA =36 0 . Найдите угол NMB .Ответ дайте в градусах.

16 Отрезки АС и BD –диаметры окружности с центром в точке О.Угол АСВ равен 79 0 .Найдите угол АО D . Ответ дайте в градусах.

17. В угол С величиной 83 0 вписана окружность ,которая касается сторон угла в точках А и В ,точка О- центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

18 Касательные в точках А и В к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 72 0 .Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

19.Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ=ВС и АВС=125 0 .Найдите угол ВОС. Ответ дайте в градусах.

20. В треугольник АВС известно, что АС=20,ВС=21,угол С равен 90 0 .Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

21.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 70 0 ,угол CAD равен 49 0 .Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах

22 Сторона правильного треугольника равна 36 .Найдите радиус окружности ,описанной около этого треугольника.

23 Высота правильного треугольника равна 123.Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника

24.Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 18.Найдите высоту этого треугольника

25 В треугольнике АВС ВС= ,угол С равен 90 0 .Радиус окружности,описанной около этого треугольника,равен 8,5.Найдите АС

26 Найдите радиус окружности,вписанной в правильный треугольник,высота которого равна 132.

27 Радиус окружности, вписанной в правильный треугольника, равен 29..Найдите высоту этого треугольника

28 Сторона правильного треугольника равна 4 .Найдите радиус окружности ,вписанной в этот треугольник

29. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен .Найдите сторону этого треугольника

30Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5,основание равно 6.Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

31 В треугольнике АВС АС=12,ВС=3,5 ,угол С равен 90 0 .Найдите радиус вписанной окружности .

32. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 569,основание равно462 .Найдите радиус вписанной окружности

33.Окружность,вписанная в равнобедренный треугольник ,делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 25 и 3,считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

34.Найдите радиус окружности ,описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 15 и 5

35.Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 5.

36. Найдите радиус окружности,описанной около квадрата со стороной ,равной 27

37.Найдите сторону квадрата,вписанного в окружность радиуса 18

38.Сторона ромба равна 34 ,острый угол равен 60 0 .Найдите радиус вписанной в этот ромб окружности.

39.Острый угол ромба равен 60 0 .Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 23.Найдите сторону ромба.

40.Найдите высоту трапеции,в которую вписана окружность радиуса 28

41.Около трапеции описана окружность.Периметр трапеции равен 96,средняя линия равна 16.Найдите боковую сторону трапеции.

42. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 39.Найдите сторону этого треугольника

43.Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 7 и 4.Найдите среднюю линию трапеции

44.Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 120.Найдите её среднюю линию.

45.Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100,её большая боковая сторона равно 35.Найдите радиус окружности.

46.В четырёхугольник ABCD вписана окружность ,АВ=17, CD =22.Найдите периметр четырёхугольника

47.Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 20.Радиус описанной окружности равен 26.Найдите высоту трапеции, если известно, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции.

48 В четырёхугольник ABCD вписана окружность ,АВ=7,В C =12 и С D =9.Найдите четвертую сторону четырёхугольника

49.Три стороны описанного около окружности четырёхугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:5:9.Найдите большую сторону этого четырёхугольника, если известно, что его периметр равен 20.

50.Около окружности, радиус которой равен 16 ,описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

51.Сторона АВ треугольника АВС равна 3.Противолежащей ей угол С равен 30 0 .Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

52.Угол С треугольника АВС ,вписанного в окружность радиуса 10,равен 30 0 .Найдите сторону АВ этого треугольника

53.Угол А четырёхугольника ABCD ,вписанного в окружность, равен 46 0 .Найдите угол С этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

54.Стороны четырёхугольника ABCD AB , BC , CD , и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 63 0 ,62 0 ,90 0 ,145 0 .Найдите угол В этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

55.Точки A , B ,С, D ,расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB , BC ,С D и AD ,градусные величины которых относятся соответственно как 1:4:12:19.Найдите угол А четырёхугольника ABCD . Ответ дайте в градусах.

56.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 58 0 ,угол CAD равен 43 0 .Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах.

57.Периметр четырёхугольника ,описанного около окружности, равен 26,две его стороны равны 5 и 9.Найдите большую из оставшихся сторон.

58.Углы A , B и С четырёхугольника ABCD относятся как 7:7:11.Найдите угол D ,если около данного четырёхугольника можно описать окружность. . Ответ дайте в градусах.

59.Центральный угол на 45 0 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

60.Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет окружности. Ответ дайте в градусах.

61.Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 25 0 и 51 0 .Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

62.Дуга окружности АС ,не содержащая точки В ,составляет 180 0 .А дуга окружности ВС ,не содержащая точки А, составляет 45 0 .Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

63. Точки A , B ,С ,расположенные на окружности, делят эту окружность на три дуги ,градусные величины которых относятся как 1:2:15.Найдите больший угол треугольника ABC . Ответ дайте в градусах.

64.АС и BD -диаметры окружности с центром О.Угол АСВ равен 69 0 .Найдите угол АО D . Ответ дайте в градусах.

65.Хорда АВ стягивает дугу окружности в 6 0 .Найдите острый угол АВС между этой хордой и касательной к окружности ,проведённой через точку В. Ответ дайте в градусах.

66.В угол С величиной 79 0 вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В .Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

67. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 2 0 .Найдите угол А BO . Ответ дайте в градусах.

68.Найдите угол CDB ,если вписанные углы ADB и ADC опираются на дуги окружности,градусные величины которых равны соответственно 67 0 и 25 0 . Ответ дайте в градусах.

69.Угол между стороной правильного n -угольника,вписанного в окружность ,и радиусом этой окружности,проведённым в одну из вершин стороны ,равен 75 0 .Найдите n .

70.Площадь круга равна .Найдите длину его окружности.

71.Найдите площадь сектора круга радиуса ,центральный угол которого равен 90 0

72.Найдите площадь сектора круга радиуса 24,длина дуги которогоравна 3.

73.Периметр треугольника равен 8,а радиус вписанной окружности равен 2.Найдите площадь этого треугольника.

74.Площадь треугольника равна 205,а его периметр 82.Найдите радиус вписанной окружности.

75.Около окружности,радиус которой равен 2,описан многоугольник,площадь которого равна 29.Найдите его периметр.

76.Найдите вписанный угол,опирающийся на дугу,которая составляет 20% окружности. Ответ дайте в градусах.