Задания на решение рациональных уравнений 8 класс

Урок по теме «Решение дробных рациональных уравнений». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели урока:

• формирование понятия дробных рационального уравнения;
• рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
• рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
• обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
• проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.

• развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
• развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;
• развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
• развитие критического мышления;
• развитие навыков исследовательской работы.

• воспитание познавательного интереса к предмету;
• воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
• воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

1. Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)
2. Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).
3. Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)
4. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)
5. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)
6. Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)

3. Объяснение нового материала.

Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.

Разработка урока по алгебре в 8 классе на тему : «Решение дробно-рациональных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ КОНСПЕКТ УРОКА 8 класс.doc

Лапшовский филиал МБОУ СОШ с. Русский Камешкир

Конспект урока алгебры

«Решение дробно — рациональных уравнений»

Разработала и провела:

Федотова Марина Сергеевна

Тема урока : «Решение дробно — рациональных уравнений»

Цель урока : обобщение и систематизация знаний и умений решать дробно-рациональные уравнения.

повторить определение дробно-рациональных выражений и уравнений, алгоритм решения данного типа уравнений;

развивать познавательный интерес к математике;

развивать умения высказывать и доказывать свою точку зрения;

воспитывать толерантное отношение к одноклассникам.

Тип урока : обобщение и систематизация знаний.

1. Организационный момент

Здравствуйте, ребята, меня зовут Федотова Марина Сергеевна, сегодня урок математики у вас проведу я. Скажите, пожалуйста, кто–нибудь из вас знаком с игрой Квест? Кто знает, в чем суть этой игры? (восстановление целостности объекта путем выполнения определенного задания) . Сегодня мы с вами на уроке будем восстанавливать файлы, которые были разрушены вирусом.

(слайд №2 с вирусом)

Хотелось бы начать урок со слов известного вам ученого:

«Мне приходится делить свое время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно»

Если вы выполните все задания, то узнаете кто автор этих слов.

(слайд №3 со словами)

Как выдумаете, какова тема нашего урока?

А с какими уравнениями вы знакомы?

Хорошо, значит тема урока: решение дробно — рациональных уравнений.

Так как тема и цели урока нами обозначены, откроем тетрадь, запишем число, тему урока:

«Решение дробно – рациональных уравнений»

2. Актуализация знаний

Ребята, первое задание: восстановите определение

Молодцы! Переходим к следующему файлу, нужно выписать в тетрадь все дробно — рациональные уравнения, которые вы видите на экране.

(слайд №6 уравнения)

Отлично! Файл восстановлен.

Следующее задание (слайд №7) : назовите знаменатель дроби. (устно по цепочке называют знаменатели) . И общий знаменатель для дробей.

Прежде, чем приступить к следующему заданию, вспомним, что такое ОДЗ? (с лайд № 8) (отвечают: область допустимых значений, то есть множество всех значений переменной, при которых дробь имеет смысл) . В тетради запишите дроби и укажите область допустимых значений каждой дроби. (работают в тетради) . Проверим. (Называют ОДЗ к каждой дроби)

Прежде, чем приступить к выполнению задания, вспомним, что же такое алгоритм? (последовательность действий). Ребята, посмотрите на алгоритм решения рационального уравнения: все ли здесь в порядке? А теперь найдите ошибки и восстановите алгоритм

(слайд № 9. испорченный алгоритм) дети называют правильный алгоритм решения.

(слайд № 10. правильный алгоритм)

Давайте все вместе еще раз проговорим алгоритм решения дробно – рационального уравнения. (хором проговаривают алгоритм)

3. Закрепление материала

Узнаем, кто же автор слов, которые я произнесла в начале урока? Кто же говорил, что уравнения будут существовать вечно?

Фамилия этого человека зашифрована в таблице. (слайд № 11. с таблицей) Нам нужно открыть каждую ячейку. Для этого я попрошу вас поработать в паре с соседом по парте.

Каждая пара получает карточки с уравнением, корни которого вам нужно найти. Пара, решившая уравнение, поднимает руку. Если ответ верный, то я открываю ячейку. Если у вас возникают вопросы, поднимите руку, я вам помогу. Задание понятно? Приступим к его выполнению.

(работают в парах).

Попробуйте составить из букв фамилию ученого.

Находим фамилию ученого. (Эйнштейн)

(слайд № 12. фотография)

Скажите, пожалуйста, что вам известно об этом ученом? (он был физиком). Совершенно верно, в своих научных трудах он уделял особое внимание уравнениям, поэтому считал, что уравнения будут существовать вечно.

Вижу, вы устали, давайте немного отдохнем. (слайд №13. разминка для глаз)

Отдохнули, можно работать дальше.

(слайд № 14. с кораблем). Ребята, кто знает, что это за сигнал? (сигнал SOS ) Оказывается, вирус проник не только в наши файлы, но и в бортовой компьютер корабля. Давайте поможем капитану ввести секретный код, который разблокирует компьютер.

А для того, чтобы узнать этот код, необходимо решить задачу:

Найдите два натуральных числа, частное которых равно 3, если известно, что одно из них на 50 больше другого?

(слайд № 15 с задачей)

(у доски решают задачу и находят эти числа (75 и 25))

Молодцы! Капитану корабля помогли!

Скажите, смогли бы мы найти эти числа, не умея решать дробно – рациональные уравнения? (отвечают: нет) . Пригодились нам знания? (отвечают: да)

Я вам сейчас расскажу притчу, а вы, прослушав, подумайте, как бы вы ответили на вопрос мудреца о своей работе на уроке.

Шел мудрец, а навстречу ему 3 человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого он спросил: «Что ты делал целый день?» И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: «А что ты делал целый день?», и тот ответил: «Я добросовестно выполнял свою работу». А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве храма!»

Кто ответил бы также как первый человек? ( поднимают круг )

Кто ответил бы также как второй человек? ( поднимают треугольник )

Кто ответил бы также как третий человек? ( поднимают квадрат)

Молодцы! Спасибо за урок! Можете быть свободны.

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Примеры

Пример 1. От посёлка до речки 60 км. Утром турист на скутере отправился на речку. Вечером он возвратился в посёлок, но при этом ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей и потратил на дорогу на 18 мин больше. Сколько времени ехал турист от речки к посёлку?

Пусть t — время вечером, на дорогу от речки к посёлку.

Тогда время утром, на дорогу от посёлка к речке t- $\frac<18><60>$ = t-0,3 (ч)

По условию разность скоростей равна 10:

$$1,8=t(t-0,3), t \neq 0, t \neq 0,3$$

$$ D = 0,3^2-4 \cdot (-1,8) = 0,09+7,2=7,29 = 2,7^2 $$

$$ t = \frac<0,3 \pm 2,7> <2>= \left[ \begin t_1 = -1,1 \\ t_2 = 1,5 \end \right. $$

Выбираем положительный корень, t = 1,5 ч

Пример 2. Катер прошёл по течению 120 км. На этот же путь против течения от тратит времени в 1,5 раза больше. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде 20 км/ч.

Пусть u — скорость течения

По условию время против течения в 1,5 раз больше:

$$ 1,5(20-u) = 20+u, u \neq \pm 20 $$

Пример 3. В раствор, содержащий 50 г соли, добавили 150 г воды. В результате концентрация соли уменьшилась на 7,5%. Найдите первоначальную массу раствора.

Пусть x — масса воды в первоначальном растворе, в граммах.

По условию разность концентраций:

$$ 50 \cdot 150 = \frac<75> <1000>(x+50)(x+200), x \neq -50, x \neq -200 $$

$$ D = 250^2-4 \cdot (-90000) = 62500+360000 = 100(625+3600) = $$

$$ = 100 \cdot 4225 = 650^2 $$

$$ x = \frac<-250 \pm 650> <2>= \left[ \begin x_1 = -450 \\ x_2 = 200 \end \right. $$

Выбираем положительный корень x=200 г – начальное количество воды в растворе. Начальная масса всего раствора: 50+200 = 250 г.

Пример 4. Мастер и его ученик, работая вместе, выполняют норму на 8 ч. Если каждый работает самостоятельно, то мастер тратит на выполнение нормы на 12 ч меньше, чем ученик. Сколько часов тратит каждый из них на выполнении нормы?

Пусть N изделий – это норма, t — время, потраченное мастером.

Из последней строки таблицы получаем:

$$ 8(2t+12) = t(t+12), t \neq 0, t \neq -12$$

$$ t^2-4t-96 = 0 \Rightarrow (t-12)(t+8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin t_1 = -8 \\ t_2 = 12 \end \right. $$

Выбираем положительный корень, t=12 ч — время, которое мастер потратит самостоятельно. Ученик потратит 12+12=24 ч.

Ответ: 12 ч и 24 ч

Пример 5*. Один фрилансер может выполнить проект на 12 дней быстрее, чем второй. Над новым проектом первый фрилансер сначала проработал самостоятельно 6 дней, а затем к нему присоединился второй. Через 3 дня совместной работы \frac<3> <5>проекта было готово.

За сколько дней каждый из фрилансеров может выполнить проект самостоятельно? За сколько дней проект был фактически выполнен?

Пусть d — количество дней первого фрилансера при самостоятельной работе.