Задания на решение систем уравнений матричным

Задания для практической работы по теме «Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы»

Данное задание предназначено для студентов второго курса специальности Компьютеные системы и комплексы по учебной дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики.

Просмотр содержимого документа
«Задания для практической работы по теме «Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы»»

Практическая работа № 6

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Цель: научиться решать системы линейных уравнений с применением матричного метода.

В матричном методе решения систем линейных алгебраических уравнений вида:

которые в матричной форме записываются как А∙Х = В, где — основная матрица системы, — матрица-столбец неизвестных переменных, — матрица свободных членов.

Решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле X = A -1 ∙ B, т.е. решение находится с помощью обратной матрицы A -1 .

Практические задания для аудиторной работы

Решить систему линейных уравнений третьего порядка матричным методом.

а) б)

Решить систему линейных уравнений третьего порядка матричным методом.

а) б) в)

Решить систему линейных уравнений третьего порядка матричным методом.

а) б) в)

Решить систему линейных уравнений третьего порядка матричным методом.

а) б) в)

Решить систему линейных уравнений третьего порядка матричным методом.

а) б) в)

Какие системы называются эквивалентными?

Сформулируйте теорему Кронекера – Капелли.

Запишите систему линейных алгебраических уравнений в матричной форме.

Матричный метод решения СЛАУ: пример решения с помощью обратной матрицы

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи: А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n — матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n — столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n — столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A — 1 :

A — 1 × A × X = A — 1 × B .

Так как А — 1 × А = Е , то Е × X = А — 1 × В или X = А — 1 × В .

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 — 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 — 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 — x 2 + 5 x 3 = 2

• Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

• Выражаем из этого уравнения X :

• Находим определитель матрицы А :

d e t A = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 = 2 × ( — 2 ) × 5 + 3 × ( — 4 ) × 4 + 3 × ( — 1 ) × 1 — 3 × ( — 2 ) × 3 — — 1 × ( — 4 ) × 5 — 2 × 4 — ( — 1 ) = — 20 — 48 — 3 + 18 + 20 + 8 = — 25

d e t А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

• Находим обратную матрицу А — 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :

А 11 = ( — 1 ) ( 1 + 1 ) — 2 4 — 1 5 = — 10 + 4 = — 6 ,

А 12 = ( — 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = — ( 5 — 12 ) = 7 ,

А 13 = ( — 1 ) 1 + 3 1 — 2 3 — 1 = — 1 + 6 = 5 ,

А 21 = ( — 1 ) 2 + 1 — 4 3 — 1 5 = — ( — 20 + 3 ) = 17 ,

А 22 = ( — 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 — 10 — 9 = 1 ,

А 23 = ( — 1 ) 2 + 3 2 — 4 3 — 1 = — ( — 2 + 12 ) = — 10 ,

А 31 = ( — 1 ) 3 + 1 — 4 3 — 2 4 = — 16 + 6 = — 10 ,

А 32 = ( — 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = — ( 8 — 3 ) = — 5 ,

А 33 = ( — 1 ) 3 + 3 2 — 4 1 — 2 = — 4 + 4 = 0 .

• Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :

А * = — 6 7 5 17 1 — 10 — 10 — 5 0

• Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A — 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А — 1 = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 ,

• Умножаем обратную матрицу А — 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A — 1 × B = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 1 3 2 = — 1 25 — 6 + 51 — 20 7 + 3 — 10 5 — 30 + 0 = — 1 0 1

Ответ: x 1 = — 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

Квадратные СЛАУ. Матричный метод решения

С помощью данного метода можно находить решение только для квадратных СЛАУ.

Матричный метод решения

Запишем заданную систему в матричном виде:

Если матрица $$A$$ невырождена, то тогда с помощью операций над матрицами выразим неизвестную матрицу $$X$$ . Операция деления на множестве матриц заменена умножением на обратную матрицу, поэтому домножим последнее равенство на матрицу $A^<-1>$ слева:

$$A^ <-1>A X=A^ <-1>B \Rightarrow E X=A^ <-1>B \Rightarrow$$ $$X=A^ <-1>B$$

Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу $$X$$ надо найти обратную матрицу к матрице системы и умножить ее справа на вектор-столбец свободных коэффициентов.

Данный метод удобно применять тогда, когда нужно решить много одинаковых систем с разными правыми частями.

Примеры решения систем уравнений

Задание. Найти решение СЛАУ $\left\<\begin 5 x_<1>+2 x_<2>=7 \\ 2 x_<1>+x_<2>=9 \end\right.$ матричным методом.

$$X=\left(\begin x_ <1>\\ x_ <2>\end\right)=A^ <-1>B=\left(\begin 1 & -2 \\ -2 & 5 \end\right) \cdot\left(\begin 7 \\ 9 \end\right)=$$ $$=\left(\begin -11 \\ 31 \end\right) \Rightarrow\left(\begin x_ <1>\\ x_ <2>\end\right)=\left(\begin -11 \\ 31 \end\right)$$

Две матрицы одного размера равны, если равны их соответствующие элементы, то есть в итоге имеем, что $x_<1>=-11, x_<2>=31$

Ответ. $x_<1>=-11, x_<2>=31$

Задание. Решить с помощью обратной матрицы систему $\left\<\begin 2 x_<1>+x_<2>+x_<3>=2 \\ x_<1>-x_<2>=-2 \\ 3 x_<1>-x_<2>+2 x_<3>=2 \end\right.$

Решение. Запишем данную систему в матричной форме:

где $A=\left(\begin 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end\right)$ — матрица системы, $X=\left(\beginx_ <1>\\ x_ <2>\\ x_<3>\end\right)$ — столбец неизвестных, $X=\left(\begin x_ <1>\\ x_ <2>\\ x_ <3>\end\right)$ — столбец правых частей. Тогда $X=A^ <-1>B$

Найдем обратную матрицу $X=A^<-1>$ к матрице $A$ с помощью союзной матрицы:

Здесь $\Delta=|A|$ — \lt a href=»formules_6_11.php» title=»Методы вычисления определителей матрицы: теоремы и примеры нахождения»>определитель матрицы $A$ ; матрица $\tilde$ — союзная матрица, она получена из исходной матрицы $A$ заменой ее элементов их алгебраическими дополнениями. Найдем $A$ , для этого вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы $A$ :

Определитель матрицы $A$

$$\Delta=\left|\begin 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+1 \cdot(-1) \cdot 1+1 \cdot 0 \cdot 3-$$ $$-3 \cdot(-1) \cdot 1-(-1) \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 2=-4 \neq 0$$