Задания на решение уравнений графическим

Урок-практикум «Графическое решение уравнений, содержащих функцию y=√х (функцию квадратного корня)». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Базовый учебник: Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А. Г. Мордкович.

Цель урока: применить алгоритм решения уравнений графически к функции у = .

Задачи:

• Обучающая: способствовать закреплению знаний свойств функции у = , умение строить график этой функции, использовать алгоритм графического решения уравнений применительно к графику квадратного корня из неотрицательного числа.
• Развивающая: развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить; развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом; работа на интерактивной доске, познавательная активность.
• Воспитывающая: воспитание познавательного интереса к предмету; к самостоятельности при решении учебных задач; воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: урок практикум.

Методы:

• словестные: фронтальная работа
• наглядные алгоритм, графики.
• практические: индивидуальная, парная и групповая работа, тренировочная самостоятельная работа.

Оборудование: учебник, рабочая тетрадь, раздаточный материал, школьная доска, интерактивная доска.

План урока.

1. Организационный момент. 1 мин

2. Проверка домашнего задания. 5 мин

3. Актуализация знаний. Устная работа с классом. 7 мин

4. Закрепление материала 20 мин

5. Тренировочная самостоятельная работа. 8 мин

6. Постановка домашнего задания. 3 мин

7. Рефлексия. 1 мин

8. Итог урока. 1мин

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания. (Учащиеся проверяют домашнюю работу, сверяясь с эталоном, оценивают правильность и полноту выполнения согласно критериям, ставят оценку).

Для №13.3 Сопоставьте график который получился у вас дома с одним из графиков. Слайд 2. Из данных утверждений (приложение 1 у каждого ученика) выберите те свойства, которые подходят для функции у = — :

С помощью графика найдите: Слайд 3

а) значения у при х = 1; ; 9; (выборочно)

б) значения х, если у = 0; -2; -4; (выборочно)

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке ;

г) при каких значениях х график функции расположен выше прямой у = -2. Ниже прямой у = -2.

3. Актуализация знаний. Устная работа с классом.

1. Принадлежит ли графику функции у = точки

А(2; ); В(1; 0); С(6,25; 2,5); Д(-9; 3).Слайд 4

2. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции у = Слайд 5

а) на отрезке ;

б) на полуинтервале [4; 7);

в) на луче [0; )

3. Решите уравнение по заданному графику: х 2 = х +2. Слайд 6

Учащиеся вспоминают (7 класс) алгоритм решения уравнений данного типа, проговаривая, что является корнем уравнения. Как данное задание мы будем применять на уроке.

Ученики говорят тему урока(на доске записана), формулируют цель,

4. Закрепление материала

Задание 1. Итак, повторив алгоритм решения уравнений графически выполним задание № 13.9 (б).

(ученик у доски, остальные в тетради)

= 6 – х;

1) Рассмотрим две функции у = и у = 6 — х

2) Построим график функции у = ,

х	0	1	4
у	0	1	2

3) Построим график функции у = 6 – х,

х	0	2
у	6	4

4) По графику устанавливаем, что графики пересекаются в одной точке А(4; 2). Проверим принадлежность данной точки нашим функциям.

Ответ: х = 4. Слайд 7

Задание 2 Решить уравнение графически: два человека у доски остальные на местах выполняют соответственно свои варианты самостоятельно. Совместно устраняют в ходе проверки обнаруженные пробелы (на доске и на листах учеников готовая памятка с построенным графиком линейной функции). Построение графика квадратного корня ученики выполняют самостоятельно. И записывают ответ.

Памятка 1 вариант

а) – = х – 2

Оцените себя, отметив уровень этого показателя. Понимание: – ______________+

Памятка 2 вариант

б) — = 2 – 3х

Оцените себя, отметив уровень этого показателя. Понимание: – ______________+

Задание 3. Решить графически систему уравнений

(работа выполняется в парах используя приложение № 2)

После выполнения задания учащиеся проверяют свое решение, сравнивая с эталоном. Слайд 8

Встаньте те кто справился с данным заданием.

Физкультминутка для глаз. Слайд 9

Задание 4. Работа в группах(задания дифференцированы, приложение 3): Слайд 10

Задание 1 группе: Докажите, что графики функций у = и у = х + 0,5 не имеют общих точек. Слайд 11

Чтобы доказать, что графики функций y = и у = х + 0,5 не имеют общих точек, достаточно их построить.

Задание 2 группе: Сколько корней имеет данное уравнение = х + b Слайд 12

а) Построим график функции y = и будем относительно него передвигать прямые вида y = x + b. Это параллельные прямые, которые образуют острый угол с положительным направлением оси абсцисс.

Таким образом, очевидно, что уравнение = x + b может иметь один, два корня, а может и не иметь корней.

Задание 3 группе: Сколько корней имеет данное уравнение = — х + b

Прямые вида y = –x + b – это параллельные прямые, которые образуют тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.

Получаем, что уравнение = –x + b имеет либо один корень, либо не имеет корней.

Обсуждение решений каждой группы.( Для готовых графиков квадратного корня на интерактивной доске учащиеся показывают свои решения)

5. Тренировочная самостоятельная работа.

В а р и а н т 1

1 . По графику функции у = найдите:

а) значение функции при х = 3, у =____

б) значение аргумента, которому соответствует значение y = 1,8; х = _____

2. Принадлежит ли графику функции y = точка:

а) А (36; 6); ______ б) В (–9; 3)_______?

3. Решите уравнение графически — = — х

На листочках с самостоятельной работой поставьте:

1 – если на уроке вам было интересно и понятно;

2 – интересно, но не понятно;

3 – не интересно, но понятно;

4 – не интересно, не понятно.

В а р и а н т 2

1. По графику функции y = найдите:

а) значение функции при х = 5; у =

б) значение аргумента, которому соответствует значение у = 1,5; х =

2. Принадлежит ли графику функции y = — точка:

а) А (81; -9)______ б) В (–16; 4)_______

3. Решите уравнение графически = х

На листочках с самостоятельной работой поставьте:

1 – если на уроке вам было интересно и понятно;

2 – интересно, но не понятно;

3 – не интересно, но понятно;

4 – не интересно, не понятно.

Проверяем работу с помощью эталона. Слайд 13 Выясняем проблемы по данной теме.

6. Постановка домашнего задания.

№ 13.9(г), № 13.11(г), № 13.16(рис 7 опишите свойства функции)

7. Рефлексия.

На листочках с самостоятельной работой поставьте:

1 – если на уроке вам было интересно и понятно;

2 – интересно, но не понятно;

3 – не интересно, но понятно;

4 – не интересно, не понятно.

8. Итог урока.

Урок я хочу закончить словами древнегреческого ученого Фалеса:

Что быстрее всего? – Ум

Что мудрее всего? – Время

Что приятнее всего? Достичь желаемого.

Я думаю, мы с вами достигли желаемого? Еще раз вспомнли функцию квадратного корня из неотрицательного числа и применили алгоритм решения уравнения графически к этой функции. Но ребята, кроме у = в дальнейшем мы будем рассматривать более сложные функции, например у = у = -1 у = +5.

Так что перспектива развития ваших знаний велика. Дерзайте.

Приложение № 1

Для номера 13.3 Сопоставьте график который получился у вас дома с одним из графиков. Слайд 2

Из данных утверждений выберите те свойства, которые подходят для функции у = — :

1. Область определения функции – луч [0; + )
2. Область определения функции – луч ( + ; 0]
3. у = 0 при х = 0, у 0
4. Функция убывает на луче [0; + )
5. Функция возрастает на луче [0; + )
6. у_наиб = 0, у_наим не существует
7. Функция непрерывна на луче [0; + )
8. Область значения функции – луч [0; + )
9. Область значения функции – луч (- ; 0]
10. Функция выпукла вниз.
11. Функция выпукла вверх.

Приложение 2

Работа в парах Задание № 3

Решите графически систему уравнений:

Приложение 3

Работа в группах Задание № 4

Задание 1 группе: Докажите, что графики функций у = и у = х + 0,5 не имеют общих точек.

Задание 2 группе: Сколько корней имеет данное уравнение = х + b

Задание 3 группе: Сколько корней имеет данное уравнение = — х + b

Урок по теме «Графический способ решения уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Мой университет – www.moi-amour.ru

Подробный конспект урока:

УРОК «Графический способ решения уравнений»

Урок начинается со слов: ( Слайд №1 )

Если вы хотите научиться плавать,

то смело входите в воду,

а если хотите научиться решать задачи-

Задание №1: Работая в парах, назовите функцию и укажите соответствующий график.

Проверка правильности ответа и необходимые комментарии представляются устно у доски, формулу переносят к графику.

1) . (Линейная функция, графиком является прямая)

2) (Квадратичная функция, графиком является парабола.)

3) . (Функция называется обратной пропорционально стью, графиком является гипербола.)

ветви гиперболы располагаются в 1 и 3 четвертях;

ветви гиперболы располагаются в 2 и 4 четвертях.

4) . (Кубическая функция, графиком является кубическая парабола.)

5) (Графиком является ветвь параболы.)

Задание № 2: Угадайте, о каких функциях идет речь?

На доске появляется слайд № 3, затем №4. Графики функций изображены «под шторкой». После правильного ответа учащихся, учитель открывает их.

Ответ: Функция называется обратной пропорционально стью, графиком является гипербола.

Ответ: Линейная функция, графиком является прямая.

Учитель: Информация представляется по-разному: графически, словесно, в аналитической форме. Часто при решении заданий приходится переводить информацию с одного языка на другой. Для формирования этих умений учащимся предлагается выполнить следующие задания.

(Появляется система уравнений, которая раньше была закрыта).

Ответ: 2

(Появляется уравнение, которое было закрыто.)

Вывод делает учитель. На слайде № 5 и № 6 представлено графическое решение системы уравнений, а на слайде № 7 графическое решение уравнения .

На следующем этапе урока перед учащимися ставится проблемная ситуация (задание № 6), тем самым подводится необходимость к выявлению нового способа решения любого уравнения.

Задание №6: Решите уравнение .

Вопросы для учащихся.

Как называется такое уравнение? (Дробно рациональным).

Как его решаем? 1. находим общий знаменатель;

2. умножим обе части уравнения на .

Как решить это уравнение?

Вывод делает учитель : Уравнения третей степени решать не умеем, но мы научимся их сегодня решать, и вы убедитесь, что у нас уже есть для этого знания.

Тема нашего урока: «Графический способ решения уравнений». Цель нашего урока – научиться решать уравнения графическим способом.

Используя алгоритм решения систем уравнений графическим способом, учащиеся под руководством учителя составляют алгоритм решения уравнений графическим способом. Каждый шаг алгоритма решения появляется на интерактивной доске.

Преобразовать уравнение к виду — функции, графики которых уже умеем строить.

Построить в одной координатной плоскости графики функций y = f ( x ) и y = g ( x )

Определить абсциссы точек пересечения графиков функций.

Далее учащиеся возвращаются к заданию № 6 и решают уравнение графическим способом. Учащиеся работают в индивидуальных рабочих карточках №1. Учитель работает на интерактивной доске.

Учащиеся строят графики функций , находят точку пересечения, определяют абсциссу и записывают ответ. Ответ сверяют.

Учитель: Заметили, что в результате есть погрешности при построении, т.е. при решении уравнения графическим способом, получаются приближенные значения корня.

Задание №7 : Решите уравнение графическим способом

(Ученик работает на интерактивной доске , а все остальные в индивидуальной карточке №1).

Учащиеся работают по плану:

выделяем в уравнении две известные функции, графики которых можем построить;

Строим в одной координатной плоскости графики данных функций.

Определяем абсциссы точек пересечения

Ответ:

Учитель: При выполнении этих двух заданий использовали графический способ для нахождения корней уравнений. Но существует достаточно много задач, в которых достаточно определить количество корней уравнения. Для их решения графический способ просто незаменим. Достаточно построить схематично графики функций и определить количество точек пересечения.

Задание №8: Определите, сколько имеет корней уравнение вида:

Учитель обращается к предыдущему решению. Двигая на интерактивной доске прямую, рассматривают разные расположения графиков

Пересекаются в двух точках, значит два корня;

Касаются в одной точки, один корень;

Не пересекаются, нет корней.

Дается задание для самостоятельного выполнения с последующей проверкой.

(Ученики работают в индивидуальных карточках №2, после решения, учитель вместе с учащимися обговаривает этапы решения, проверяя их правильность используя слайды ).

Ответьте на вопросы:

В чем достоинство графического способа?

В чем недостаток графического способа?

Какой момент был наиболее интересен?

Были у вас трудности, какие?

Урок заканчивается словами (Слайд №12).

Надо же, как все просто,

Как научиться ходить.

Потом ты начинаешь удивляться,

Что в этом было такого сложного.

Краткое описание документа:

Урок по алгебре в 8 классе по теме «Графический способ решения уравнений ».

Цели и задачи, решаемые на этом уроке:

• формировать у учащихся навыка использования графического способа решения уравнений;
• учить учащихся овладевать практическими приемами решения уравнений графическим способом.

• учить анализировать ситуацию, применять идеи на практике;
• учить выявлять ошибки в рассуждениях;
• развивать умение делать выводы.

• воспитывать ответственность за принятое решение;

Проводимый урок направлен на овладение приемов решения уравнений графическим способом, с использование интерактивной доски, с программой SMART Board Notebook .

В начале урока идет повторение темы «Функция». Учащиеся вспоминают основные виды функций, выполняя задания.

На следующем этапе устной работы учащиеся вспоминают решение систем уравнений графическим способом. Учитель проводит аналогию между графическим способом решения уравнений и систем уравнений.

На следующем этапе урока перед учащимися ставится проблемная ситуация (задание № 6), тем самым подводится необходимость к выявлению нового способа решения любого уравнения.

Используя алгоритм решения систем уравнений графическим способом, учащиеся под руководством учителя составляют алгоритм решения уравнений графическим способом. Каждый шаг алгоритма решения появляется на интерактивной доске.

Далее учащиеся возвращаются к заданию № 6 и решают уравнение графическим способом. Учащиеся работают в индивидуальных рабочих карточках №1. Учитель работает на интерактивной доске.

На следующем этапе урока дается задание для самостоятельного выполнения с последующей проверкой.

В ходе урока учащимся предлагаются карточки двух видов:

1. Индивидуальная рабочая карточка №1.

Раздается каждому ученику, где изображена система координат и схема, по которой решается уравнение графическим способом. Заполняя ее, учащиеся отрабатывают, алгоритм решения уравнений при этом экономя время на построении.

2. Индивидуальная рабочая карточка №2.

Раздается каждому ученику, для самостоятельного выполнения заданий.

Графический метод в задачах с параметром

Данный метод используется не только в задачах с параметром, но и для решения обыкновенных уравнений, систем уравнений или неравенств. Он входит в стандартный курс школьной программы и наверняка вы с ним сталкивались, но в несколько упрощенном варианте. Сначала я кратко напомню, в чем заключается этот метод. Затем разберем, как его применять для решения задач с параметром, и рассмотрим несколько типовых примеров.

Для начала рассмотрим уравнение с одной переменной \(f(x)=0\). Для того, чтобы решить его графическим методом, нужно построить график функции \(y=f(x)\). Точки пересечения графика с осью абсцисс (ось \(х\)) и будут решениями нашего уравнения.

Или рассмотрим уравнение \(f(x)=g(x)\). Точно так же строим на одной координатной плоскости графики функций \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\), абсциссы точек их пересечения будут решениями уравнения.

Стоит отдельно отметить, что для решения графическим методом необходимо выполнять очень качественный и точный рисунок.

Решить графическим методом уравнение \(x^2+3x=5x+3\).

Решение: Построим на одной координатной плоскости графики функций \(y=x^2+3x\) и \(y=5x+3\). См. рис.1.

\(y=5x+3\) – красный график; \(y=x^2+3x\) – синий график.

Из Рис.1 видно, что графики пересекаются в точках \((-1;2)\) и \((3;18)\). Таким образом, решением нашего уравнения будут: \(_<1>=-1; _<2>=3\).

Теперь рассмотрим уравнение с двумя переменными \(f(x,y)=0\). Решением этого уравнения будет множество пар точек \((x,y)\), которые можно изобразить в виде графика на координатной плоскости \((xOy)\). Если решать это уравнение аналитически, то, как правило, мы выражаем одну переменную через другую \((x,y=f(x))\) или \((x=f(y),y)\).

В качестве примера рассмотрим обыкновенное линейное уравнение \(2x-5y=10\). (1) Выражаем \(x=\frac<10+5y><2>\) – это называется общим решением уравнения. Изобразим его на координатной плоскости, построив график (Рис. 2):