Задания на сколько корней имеет квадратное уравнение

• Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
• Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
• Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

• ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
• ax 2 + c = 0, при b = 0;
• ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
2. По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

• перенесем c в правую часть: ax 2 = — c,
• разделим обе части на a: x 2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

• не имеет корней при — c/а 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 8:

Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Формула разложения квадратного трехчлена

Если x₁ и x₂ — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x₁) (x − x₂).

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

• вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
• если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
• если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
• если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

1. Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
3. Найдем корень

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

Найдем дискриминант по формуле

D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n 2 — ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

• вычислить D₁= n 2 — ac;
• если D₁ 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Презентация к уроку

Цель: совершенствование навыков составления уравнения по условию задачи.

Обучающие.

Развивающие.

Воспитательные.

Оборудование и материалы.

1. Организационный момент. Вступительное слово учителя (презентация).

Добрый день дорогие ребята! Я рада приветствовать Вас на нашем уроке, и прошу всех вас улыбнуться друг другу, и мысленно пожелать успехов и себе и товарищам. Садитесь.

Тема сегодняшнего урока “Решение задач с помощью квадратных уравнений”.

Сегодня мы с вами закрепим умение решать квадратные уравнения, а также узнаем, как можно решать задачи с помощью квадратных уравнений.

Слайд 2. Великий, немецкий ученый А. Эйнштейн говорил о себе: “Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только до данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.

Итак, откройте тетради и запишите сегодняшнее число, классная работа.

2. Проверка домашнего задания (выборочно, слайды 5-6).

3. Актуализация опорных теоретических и практических знаний (слайды 4-9).

Что написано на доске? ах 2 + bх + с = 0 (Квадратное уравнение)
• Всегда ли имеет корни квадратное уравнение? (Нет, не всегда)
• От чего зависит количество корней? (От дискриминанта)
• Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D > 0?
• Сколько коней имеет квадратное уравнение если D = 0?
• Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D
  

  Всего в диктанте 8 вопросов

  менее 5

  1.1. Сформулируйте определение квадратного корня.

  2.1. Какое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

  1.2. Запишите пример неполного квадратного уравнения.

  2.2. Запишите пример квадратного уравнения.

  1.3. Запишите, чему равен второй коэффициент в уравнении: 2х 2 + х – 3 = 0.

  2.3. Запишите, чему равен первый коэффициент в уравнении: -х 2 + 4х – 7 = 0.

  1.4. Запишите, чему равны: a, b, c в уравнении: — 3х 2 + 5х = 0.;

  2.4. Запишите, чему равны: a, b, c в уравнении: 5х 2 — 8= 0.

  1.5. Сколько корней может иметь неполное квадратное вида ах 2 + с = 0?

  2.5. Сколько корней может иметь неполное квадратное вида ах 2 + bх = 0?

  1.6. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант положительный?

  2.6. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант отрицательный?

  1.7. Напишите формулу дискриминанта квадратного уравнения.

  2.7. Напишите формулу дискриминанта квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является четным числом.

  1.8. Напишите формулу корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является четным числом.

  2.8. Напишите формулу корней квадратного уравнения.

  Давайте проверять ваши работы. Обмениваемся своими бланками ответом с соседом по парте. И сравниваем ваши ответы с ответами на доске (слайд 20). Против правильного ответа ставим “+”, против ошибочного — “-”, если в ответе есть недочет, можно поставить “±”. Выставляем отметки и возвращаем бланки обратно.

  1. Квадратным уравнением называется квадратное уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где х – переменная, а, b, с – некоторые числа, причем а ? 0.

  2.1. квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен 0.

  1.2. пример 5х 2 -4х = 0 или 4х 2 – 9 = 0.

  2.2. пример 14х 2 – 5х – 1 = 0.

  1.4. а = — 3, b = 5, с = 0.

  2.4. а = 5, b = 0, с = — 8.

  1.5. два или не имеет корней.

  2.6. не имеет корней.

  1.8. х_1,2 =.

  2.8. х_1,2 =

  Учитель собирает работы, проходя по классу, сразу по вариантам, чтобы облегчить работу.

  4. Изучение нового материала (слайды 21–24).

  1. С помощью квадратных уравнений решаются многие задачи в математике, физике, технике.
  2. Разобрать решение задачи 1 (слайды 21–22).
  3. Рассмотреть решение задачи 2 (слайды 22 – 23), повторив теорему Пифагора.
  4. Рассмотреть решение задачи 2 по учебнику Ю.Н. Макарычева на стр. 124, связанную с физикой.

  5. Тренировочные упражнения (слайды 24–38).

  А теперь давайте потренируемся в составлении уравнений по условию задачи, а также закрепим навык решения квадратных уравнений с помощью небольшого тренажера.

  (Примечание: Если есть возможность нужно установить такой тренажер на каждый компьютер отдельно, чтобы учащийся мог самостоятельно выполнять тест. Если нет, то проводим тренировочные упражнения коллективно или по очереди отвечая на вопрос.)

  При этом, этом если учащийся неправильно ответил на вопрос, он возвращается опять к этому заданию. Если ответил правильно, то переходит к выполнению следующего.

  Дается пять заданий. Три задания на составление уравнения по условию задачи, а два задания на решение задачи с помощью квадратного уравнения.

  1. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел: Одно из чисел на 12 больше другого, а их произведение равно 315. Найдите эти числа.

  1. х( х – 12) = 315
  2. х(х + 12) = 315
  3. 2х + 12 = 315
  4. 2х – 12 = 315

  2. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел: Одно из чисел на 17 больше другого, а их произведение равно 468. Найдите эти числа.

  1. х( х + 17) = 468
  2. х(х — 17) = 468
  3. 2х — 12 = 468
  4. 2х + 12 = 468

  3. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел: Произведение двух последовательных натуральных нечетных чисел равно 575. Найдите эти числа.

  1. х( х + 2) = 575
  2. х(х + 1) = 575
  3. х • х + 1 = 575
  4. 2х — 2 = 575

  4. Один из катетов прямоугольного треугольника на 6 см меньше гипотенузы, а другой на 3 см больше первого. Найдите гипотенузу, если площадь треугольника равна 54 см 2 .

  5. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если один из них на 7 см меньше другого, а гипотенуза равна 17 см.

  Правильные ответы: 1 – 2; 2 – 1; 3 – 1; 4 – 3; 5 – 2.

  6. Подведение итогов. Рефлексия (слайд 39).

  Что мы сегодня повторили на уроке?
  А что нового мы с вами сегодня узнали на уроке?
  Кто доволен своей работой сегодня?
  Какой этап урока вам понравился больше всего?

  Хочется отметить, что никто из вас не отнеся к работе равнодушно, и если у кого-то не всё получилось не огорчайтесь: “Дорогу осилит идущий”.

  7. Домашнее задание (слайд 40).

  П.23, №№ 561, 564, 568 – 570.

  1. Макарычев Ю.Н. Алгебра. Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. Под ред. С. А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2009.

  2. Рурукин А.Н. Поурочные разработки по алгебре: 8 класс, М., ВАКО, 2008.

  3. Ерина Т.М. Поурочное планирование по алгебре: 8 класс, М., “Экзамен”, 2008.

  4. Афанасьева Т.Л. Поурочные планы по учебнику: 8 класс, Волгоград, Учитель, 2007.

  5. Глазков Ю.А. Тесты по алгебре: 8 класс, М., “Экзамен”, 2010.

  6. Конте А.С. Алгебра 7–9 классы. Математические диктанты, Волгоград, Учитель, 2006.

  7. Островский С.Л. “Как сделать презентацию к уроку?”, Первое сентября, 2010.

  
  

  источники:

  http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-reshat-kvadratnye-uravneniya

  http://urok.1sept.ru/articles/594621

  Вам также может понравиться

  Парабола изображенная на рисунке может иметь уравнение

  Парабола свойства и график квадратичной функции Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее

  3 бромпентен 1 hbr напишите уравнение

  Acetyl Наведите курсор на ячейку элемента, чтобы получить его краткое описание. Чтобы получить подробное

  Определенной и неопределенной систем уравнений

  Системы уравнений: определение, виды, примеры решения Статья знакомит с таким понятием, как определение

  Как записать уравнение под корнем

  Как решать уравнения с корнем по математике Применение уравнений широко распространено в нашей жизни.

  Число верных ответов	Оценка