Задания по системам уравнений методом обратной матрицы

Матричный метод решения СЛАУ: пример решения с помощью обратной матрицы

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи: А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n — матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n — столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n — столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A — 1 :

A — 1 × A × X = A — 1 × B .

Так как А — 1 × А = Е , то Е × X = А — 1 × В или X = А — 1 × В .

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 — 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 — 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 — x 2 + 5 x 3 = 2

• Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

• Выражаем из этого уравнения X :

• Находим определитель матрицы А :

d e t A = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 = 2 × ( — 2 ) × 5 + 3 × ( — 4 ) × 4 + 3 × ( — 1 ) × 1 — 3 × ( — 2 ) × 3 — — 1 × ( — 4 ) × 5 — 2 × 4 — ( — 1 ) = — 20 — 48 — 3 + 18 + 20 + 8 = — 25

d e t А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

• Находим обратную матрицу А — 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :

А 11 = ( — 1 ) ( 1 + 1 ) — 2 4 — 1 5 = — 10 + 4 = — 6 ,

А 12 = ( — 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = — ( 5 — 12 ) = 7 ,

А 13 = ( — 1 ) 1 + 3 1 — 2 3 — 1 = — 1 + 6 = 5 ,

А 21 = ( — 1 ) 2 + 1 — 4 3 — 1 5 = — ( — 20 + 3 ) = 17 ,

А 22 = ( — 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 — 10 — 9 = 1 ,

А 23 = ( — 1 ) 2 + 3 2 — 4 3 — 1 = — ( — 2 + 12 ) = — 10 ,

А 31 = ( — 1 ) 3 + 1 — 4 3 — 2 4 = — 16 + 6 = — 10 ,

А 32 = ( — 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = — ( 8 — 3 ) = — 5 ,

А 33 = ( — 1 ) 3 + 3 2 — 4 1 — 2 = — 4 + 4 = 0 .

• Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :

А * = — 6 7 5 17 1 — 10 — 10 — 5 0

• Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A — 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А — 1 = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 ,

• Умножаем обратную матрицу А — 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A — 1 × B = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 1 3 2 = — 1 25 — 6 + 51 — 20 7 + 3 — 10 5 — 30 + 0 = — 1 0 1

Ответ: x 1 = — 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

Задания для практической работы по теме «Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы»

Данное задание предназначено для студентов второго курса специальности Компьютеные системы и комплексы по учебной дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики.

Просмотр содержимого документа
«Задания для практической работы по теме «Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы»»

Практическая работа № 6

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Цель: научиться решать системы линейных уравнений с применением матричного метода.

В матричном методе решения систем линейных алгебраических уравнений вида:

которые в матричной форме записываются как А∙Х = В, где — основная матрица системы, — матрица-столбец неизвестных переменных, — матрица свободных членов.

Решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле X = A -1 ∙ B, т.е. решение находится с помощью обратной матрицы A -1 .

Практические задания для аудиторной работы

Решить систему линейных уравнений третьего порядка матричным методом.

а) б)

Решить систему линейных уравнений третьего порядка матричным методом.

а) б) в)

Решить систему линейных уравнений третьего порядка матричным методом.

а) б) в)

Решить систему линейных уравнений третьего порядка матричным методом.

а) б) в)

Решить систему линейных уравнений третьего порядка матричным методом.

а) б) в)

Какие системы называются эквивалентными?

Сформулируйте теорему Кронекера – Капелли.

Запишите систему линейных алгебраических уравнений в матричной форме.

Практическое занятие №4. Решение систем n линейных уравнений с n переменными методом обратной матрицы.
методическая разработка по алгебре по теме

Методические рекомендации по проведению практического занятия по дисциплине «Математика». Практическое занятие №4. Решение систем n линейных уравнений с n переменными методом обратной матрицы.

Скачать:

Предварительный просмотр:

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

КОЛЛЕДЖ ГОРОДСКОЙ ИНФРАСТРУКТУРЫ И СТРОИТЕЛЬСТВА №1

по проведению практического занятия по дисциплине «Математика»

Практическое занятие №4. Решение систем n линейных уравнений с n переменными методом обратной матрицы.

преподаватель Пархоменко Е.А.

Практическое занятие №4.

Тема : Решение систем n линейных уравнений с n переменными методом обратной матрицы.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики . Проверка усвоения знаний по решению систем n линейных уравнений с n переменными методом обратной матрицы. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

• развитие творческого профессионального мышления;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2009.

Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. — Ростов-на-Дону «Феникс»,2008-380с.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

Ход практического занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

› Повторить теоретический материал по теме «Системы n линейных уравнений с n переменными».

› Изучить теоретический материал по теме «Решение систем n линейных уравнений с n переменными методом обратной матрицы».

› Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

› Выполнить самостоятельную работу по решению СЛАУ.

› Ответить на контрольные вопросы.

Теоретические сведения и методические рекомендации

по решению задач.

Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

Метод основан на применении свойств умножения матриц.

Пусть дана система уравнений:

Составим матрицы: A = ; B = ; X = .

Систему уравнений можно записать:

Сделаем следующее преобразование: A -1  A  X = A -1  B,

т.к. А -1  А = Е, то Е  Х = А -1  В

Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу , что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

Пример. Решить систему уравнений:

Найдем обратную матрицу А -1 .

 = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

M 11 = = -5; M 21 = = 1; M 31 = = -1;

M 12 = M 22 = M 32 =

M 13 = M 23 = M 33 =

Находим матрицу Х.

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.

› Выполнить самостоятельную работу по решению систем n линейных уравнений с n переменными методом обратной матрицы.

Практическая работа №4.

Практическая работа №4.

1.Система из “m” линейных уравнений с “n” неизвестными.

Векторно-матричная форма записи.

2.Расширенная матрица системы.

3.Однородные и неоднородные системы уравнений.

4. Решение однородной и неоднородной систем методом Гаусса.

5. Однородные системы и их свойства.

7. Построение обратной матрицы с использованием алгебраических дополнений.

8. Решение матричных уравнений.

› Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Конспект урока + презентация + памятка.

Практическое занятие №3. Решение систем n линейных уравнений с n переменными по формулам Крамера.

Методические рекомендации по проведению практического занятия по дисциплине «Математика». Практическое занятие №3. Решение систем n линейных уравнений с n переменными по формулам Крамера.

Тема: «Определитель второго порядка. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом Крамера» (2 ч)

План открытого урока по математике.

Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и алгебраического сложения.

Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Презентация на тему «Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными». Урок закрепления.

Урок по алгебре в 7 классе «Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными различными методами»

Урок по алгебре в 7 классе по теме:«Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными различными методами&raquo.

Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Урок объяснения нового материала по учебнику «Алгебра, 7 класс» А.Г. Мерзляк, параграф 26. Презентация составлена для объяснения новой темы в Zoom при дистанционном обучении.