Задания по теме уравнения и неравенства

Тема 1.5. Уравнения и неравенства

Задания для самостоятельной работы студентов по теме «Уравнения и неравенства»

Просмотр содержимого документа
«Тема 1.5. Уравнения и неравенства»

Содержание учебного материала

Равносильность уравнений, неравенств, систем. Основные приемы решения рациональных уравнений и неравенств. Метод интервалов.

Системы уравнений и неравенств с одной переменной.

Графический способ решения уравнений и неравенств. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

Решение рациональных уравнений, неравенств и систем

Решение уравнений и неравенств с модулем.

Решение иррациональных уравнений и неравенств.

Решение показательных уравнений.

Решение систем показательных уравнений

Решение показательных неравенств.

Решение логарифмических уравнений.

Решение логарифмических систем уравнений.

Решение логарифмических неравенств.

Решение тригонометрических уравнений.

Решение тригонометрических систем уравнений

Решение тригонометрических неравенств

Обобщение и систематизация знаний по теме «Уравнения и неравенства»

Задание 1. Решение домашних проверочных работ

Решите уравнение ;

Решите неравенство .

3. Решите систему неравенств

4. Решите неравенства и системы неравенств с двумя переменными графическим способом

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

5. Решите системы уравнений:

а)

б)

в)

6. Решите уравнение

Задание 2. Подготовка сообщений, докладов и презентаций.

Линейные уравнения и неравенства, их решение

Квадратные уравнения и неравенства, способы их решения

Иррациональные уравнения и неравенства, их решение

Показательные уравнения и неравенства, их решение

Логарифмические уравнения и неравенства, их решение

Тригонометрические уравнения и неравенства, их решение

Решение систем уравнений и неравенств

Графический метод решения уравнений и неравенств

Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики

Задание 3. Подготовка ответов на вопросы по теме «Уравнения и неравенства»

Что называется корнем уравнения?

Что называется решением неравенства?

Какие уравнения называются равносильными?

Какие неравенства называются равносильными?

Какие уравнения, неравенства называются рациональными?

Что называется системой уравнений?

Что называется совокупностью уравнений?

Как решается система двух линейных уравнений с двумя переменными?

Как графически изображается решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными, системы двух линейных неравенств с двумя переменными?

Как выполняется решение линейных уравнений, содержащих переменную под знаком модуля?

Как выполняется решение линейных неравенств, содержащих переменную под знаком модуля?

Алгоритмы решения иррациональных уравнений и неравенств.

Какие приемы решения показательных уравнений вы знаете?
Какие приемы решения логарифмических уравнений вы знаете?

В чем заключается суть метода потенцирования при решении логарифмических уравнений?

Какие условия должны выполняться при решении показательных
неравенств?

Какие условия должны выполняться при решении логарифмических
неравенств?

Какие приемы решения тригонометрических уравнений вы знаете?

Материалы для проведения зачетов по темам «Показательные уравнения и неравенства», «Логарифмические уравнения и неравенства»

Разделы: Математика

Главная цель при работе с предлагаемыми билетами:

1. научить учащихся видеть общее в решении соответствующих уравнений и неравенств и различие при записи ответов;
2. экономия времени;
3. умение ориентироваться в содержании данного материала.

Если первая цель не вызывает вопросов, то экономия времени сразу не чувствуется. Хотя именно нехватка времени и сказалась на структуре билетов. Они составлены по единому принципу. Уравнения и неравенства расположены так, чтобы легче было установить соответствие между ними.

И не смотря на рекомендацию учителя: решать уравнение и сразу же за ним оформлять решение соответствующего неравенства, половина учеников предпочитала сначала решить все уравнения из первого столбца, а потом уж приниматься за решение неравенств. При записи ответа обращать внимание на то, что из-за отсутствия корней у уравнения не следует, что и у неравенства не будет решений.

При сдаче второго зачёта уже таких проблем не возникало, так как у многих сформировалось умение “видеть” и выработались определённые навыки.

В каждом билете материал подобран так, что, кроме, уравнений (неравенств), решаемых по определению и свойствам, даны уравнения (неравенства), решаемые разложением на множители; заменой переменных. И, естественно, повторяется решение квадратных уравнений и неравенств, второй степени.

В билетах всего 26 заданий. Поэтому ученикам предлагались такие нормы:“5” – 26 зад. , “4” – 19–25 зад. , “3” – 14–18 зад. , “2” – менее 14 зад.

Ученик, претендующий на оценку “5”, должен успеть решить за урок все уравнения и неравенства. Первые четырнадцать заданий – это обязательный минимум. Зачёт, конечно, можно и пересдать. Но желательно, чтобы укладывались в отведённое время.

При подготовке к ЕГЭ, когда навыки решения уравнений (неравенств) будут уже сформированы, задания могут быть заменены. Например, такие:

1. указать сумму (произведение) корней уравнения;
2. указать наименьший (наибольший) корень уравнения;
3. найти наименьшее (наибольшее) целое решение неравенства;
4. найти сумму (произведение) целых решений неравенства.

Конечно, каждый учитель может сам дополнить этот список. В зависимости от класса возникает необходимость на одни задания обратить больше внимания, на другие – меньше.

Билеты могут быть использованы как для зачётов, так и для самостоятельных работ. Каждый билет состоит из двух блоков: базовый уровень (1 уровень) и повышенный (2 уровень). Блок состоит из двух частей: уравнения и неравенства, которые разделены на два столбца, чтобы ученику легче было устанавливать соответствие между ними.

Ниже приведено по шесть вариантов билетов по каждой теме. К ним даны ответы.

Приложение 1. Логарифмические уравнения и неравенства.

Приложение 2. Показательные уравнения и неравенства.

Приложение 3. Ответы к билетам по алгебре и началам анализа.

Уравнения и неравенства ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Уравнения содержатся во всех частях контрольных и измерительных материалов. В части 1 – базового уровня трудности, , в части 2 – самые трудные, требующие хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Уравнения содержатся во всех частях контрольных и измерительных материалов. В части 1 – базового уровня трудности, в части 2 – более трудные, в части 3 – самые трудные, требующие хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций. В частности, предлагаются уравнения следующих типов:

• показательные;
• логарифмические;
• тригонометрические;
• иррациональные;
• уравнения, содержащие неизвестную в основании и показателе степени;
• уравнения смешанного типа, включающие различные функции.

Для выполнения заданий этого раздела нужно владеть определением корня уравнения (решения неравенства), уметь решать простейшие уравнения и простейшие неравенства. Эти умения позволят успешно применить общие методы решения уравнений (метод замены, метод разложения на множители, графический метод, использование свойств функций) к различным видам уравнений.

Решение уравнений (неравенств) любого вида сопряжено с проведением тождественных преобразований различных выражений, входящих в заданное уравнение (неравенство). Владение формулами для тождественных преобразований выражений и теоремами о равносильных уравнениях (неравенствах) поможет в поиске рационального решения.

Если задания базового уровня, используемые в контрольно-измерительных материалах, нередко текстуально совпадают с заданиями учебников, то задания повышенного уровня более разнообразны. Поэтому для подготовки к ЕГЭ полезно специально тренироваться в решении заданий, содержащихся в КИМ, или аналогичных им. Начнем с уравнений смешанного типа, включающих различные функции, содержащихся во второй части КИМ.

Вначале рассмотрим уравнения, в которых равны нулю произведения двух функций. Напомним, что произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные существуют.

1. Найдите сумму корней уравнения .

1. Найдите сумму корней уравнения

1. Найдите количество корней уравнения

В следующем примере необходимо применить функциональный подход: рассмотреть уравнение как равенство значений двух функций. Поскольку функции совершенно различны (относятся к разным классам функций), нужно сравнить множества их значений.

В левой части уравнения – квадратичная функция. Выделим полный квадрат: . Теперь понятно, что множество ее значений – интервал .

В правой части уравнения – функция . Множество ее значений – отрезок . Следовательно, решением исходного уравнения являются те и только те значения переменной, при которых значения левой и правой частей равны числу 4. Квадратичная функция принимает значение только при Найдем значение функции при полученном значении х: Итак, — единственный корень данного уравнения. Ответ: -0,75.

Если рассматривать логарифмические уравнения второй части КИМ, то основная сложность решения их связана с тем, что большинство преобразований, основанных на свойствах логарифмов, не являются тождественными – при их выполнении может изменяться область допустимых значений входящих в выражения переменных. Это может приводить к потере корней (решений) или появлению так называемых посторонних корней (решений). Поэтому желательно выполнять только тождественные преобразования.

1. Сколько корней имеет уравнение ?

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством и получим систему, равносильному данному уравнению: Очевидно, что полученная система не имеет решений, так как единственный корень уравнения – отрицательное число, которое не удовлетворяет неравенству системы. Итак, исходное уравнение не имеет корней.

1. Найдите меньший корень уравнения

Учитывая, что , преобразуем исходное уравнение

1. Найдите меньший корень уравнения

Так как логарифмическая функция определена на множестве положительных чисел, то а значит, Поэтому корни надо искать на множестве отрицательных чисел. Но тогда и уравнение принимает вид Сделав замену , приходим к уравнению , корнями которого являются числа и , откуда или . В ответ запишем, как требуется в задании, меньший корень. Ответ: -10.

Как правило, в контрольные измерительные материалы ЕГЭ включают простейшие тригонометрические уравнения. Естественно, они находятся в части 1 и, как правило, представлены заданиями с выбором ответа. Приведем несколько примеров тригонометрических уравнений, аналоги которых могут встретиться среди заданий группы В. Как правило, это тригонометрические уравнения, при решении которых нам придется отбирать корни.

1. Сколько корней имеет уравнение

1. Определите число корней уравнения на отрезке .

Задания второй части с кратким ответом

1. Найдите количество целочисленных решений неравенства

Так как знаменатель дроби при всегда положителен, то данное неравенство равносильно системе В этом отрезке целых чисел 7: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

1. Сколько целочисленных решений имеет неравенство ?

Из всех целых чисел, принадлежащих отрезку -1; 0; 1; 2; 3; 4, мы должны убрать нечетные. Остаются три числа: 0; 2; 4.

1. Найдите количество целочисленных решений неравенства удовлетворяющих условию

Решением неравенства является отрезок . Решением неравенства являются все действительные значения переменной х, при которых определен и не равен нулю, то есть или Таким образом, условию задачи удовлетворяют все нечетные числа из отрезка Таких чисел 3.

Задания с развернутым ответом.

1. Найдите все значения х, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций и меньше, чем 1,5.

2. Найдите все значения х, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций и меньше, чем 2.

3. Найдите все значения х, для которых точки графика функции лежат выше соответствующих точек графика функции .

4. Решите неравенство

5. Решите неравенство

Ответ: .

Отметим, что выпускник вправе использовать различные способы решения, и ни один из методов не является «более верным», чем другие.

6. Решите неравенство:

Если то , т.е. вторая система не имеет решений. Решением первой системы является объединение двух промежутков Оно и будет решением логарифмического неравенства.

1. Решите неравенство

2. Решите неравенство

3. Решите неравенство

4. Найдите все значения х, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций и меньше, чем 0,5.

5. Найдите все значения х, для каждого из которых точка графика функции лежит ниже соответствующей точки графика функции .

6.Найдите все значения х, при которых функция принимает положительные значения.

1. Найдите наименьшее целое положительное х, удовлетворяющее неравенству .

Задания повышенного уровня сложности с развернутым ответом С1 и С2