Урок алгебры в восьмом классе: «Решение текстовых задач при помощи рациональных уравнений»
Разделы: Математика
Особое место в школьном курсе математики занимают текстовые задачи. Следует отметить, что, решая на уроках алгебры текстовые задачи, учитель математики работает не только на себя, подготавливая учеников к умению осмыслить текст задач в курсе геометрии, без чего говорить о возможности решения этих задач бессмысленно, но также помогает преподавателям физики, химии и даже литературы, так как для того чтобы решить задачу необходимо внимательно прочитать текст задачи, понять его, выделить главное, т.е. разложить все данные «по полочкам».
Не случайно, оценивая задачу, решаемую с помощью уравнения или системы уравнений, учитель отдельно оценивает верность составленного уравнения или системы, так как добросовестного ученика безусловно можно обучить различным математическим алгоритмам, но умению думать научить без текстовых задач невозможно.
Урок рассчитан на один час.
Цель урока: выработка умений самостоятельного применения знаний в стандартных и нестандартных ситуациях.
Задача № 386а (по учебнику «Алгебра-8», С.М.Никольский и др., 2006 г.)
Расстояние между двумя населенными пунктами 50 км. Из этих пунктов одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста на 30 км/час больше. Встретились они на расстоянии 10 км от одного из населенных пунктов. Какова скорость велосипедиста?
- Определить, кто удалится на большее расстояние от начальной точки своего движения.
- Определить, какую величину удобнее принять за х.
- Составить таблицу, систематизирующую данные задачи и подводящую к составлению уравнения.
V, км/ч
Мотоциклист
х + 30
40/(х + 30)
50 – 10 = 40
Велосипедист
Составим уравнение: 
.
Это уравнение имеет единственный корень х = 10. Итак, скорость велосипедиста 10 км/ч.
Задача № 395 (по учебнику «Алгебра-8», С.М.Никольский и др., 2006 г.)
Двое рабочих выполнили некоторую работу за 8 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить ту же работу на 12ч быстрее второго, если тот будет работать отдельно. За сколько часов второй рабочий один может выполнить ту же работу?
- Отметить, что задачи на совместную работу знакомы ученикам с 5-го класса.
- Обратить внимание на то, что «быстрее» значит меньше времени.
- Определить, какую величину удобнее принять за х.
- Составить таблицу, систематизирующую данные задачи и подводящую к составлению уравнения.
Производительность (работа/ч)
Работа (работа)
1-ый рабочий
х – 12
1/(х – 12)
2-ой рабочий
1-ый и 2-ой вместе
Составим уравнение: 
.
Это уравнение имеет два положительных корня х = 4 и х = 24. Так как при х = 4 время работы 1-го рабочего будет равно 4 – 12
.
. Итак, велосипедист и автобус встретятся на расстоянии 
км от первого населенного пункта.1) Составим уравнение: 
.
Это уравнение имеет два корня: х = – 12 и х = 10. Так как по смыслу задачи х > 0, то х = 10.
2) 10 + 2 = 12 (мин). Итак, первый лыжник проходит круг за 10 мин, а второй за 12 мин.
Итоги урока:
1. Повторили табличный способ систематизации данных задачи, при необходимости дополненный рисунком.
2. Еще раз обратили внимание на то, что задача решается в единой системе измерений.
3. Отметили, что если уравнение, составленное к задаче, имеет два корня, то полученные решения требуют смысловой проверки.
4. Обратили внимание на то, что нельзя решать задачу «автоматически»; необходимо прежде всего внимательно ее прочитать, оценить в каких единицах измеряется каждая величина, данная в задаче, как эти величины связаны между собой и той величиной, которую следует найти, и только после этого, выбрав способ решения, приступить к самому решению.
Домашнее задание: Задачи №№393, 391в (Алгебра-8, С.М. Никольский и др., 2006 г.).
Комментарий: представляется целесообразным на первом уроке по данной теме рассмотреть задачи одного плана (здесь – на движение и работу), приводящие к достаточно простым уравнениям.
Открытый урок по алгебре 8 класс решение рациональных уравнений
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Выберите документ из архива для просмотра:
Выбранный для просмотра документ 17.04.19 алгебра 8кл.ppt
Описание презентации по отдельным слайдам:
Системы уравнений Графический способ Аналитический способ Метод подстановки Метод сложения Метод замены пере менной
Методы решения систем уравнений Метод подстановки a) x²=-y²-3xy-1, б) x²+y²+3xy =-1, в) x²+y²+3xy =-1, x+2y= 0; 2y=-x; x=-2y. x²+y²+3xy =-1, x+2y= 0; Какой из учеников применил метод подстановки наиболее рационально?
Методы решения систем уравнений Метод сложения x²-2y² =14, x²+2y²= 18; 2x² =32, + x² =16, x =4; Можно ли записывать ответ?
На рисунке изображена парабола и три прямые. Укажите систему уравнений, которая не имеет решений. у х 0
Сколько решений имеет система уравнений? у = — x2 + 9 x²+y²=81
Решите систему уравнений Графики пересекаются в точках (-2; -1) и (1; 2). Графиком у = 3 – х2 является парабола Графиком х – у + 1 = 0 является прямая, Ответ: (-2; -1), (1; 2).
Решите систему уравнений Решите систему уравнений Ответ: (-4; -5), (2; 1).
Группа №3 Ответ: (-4; -1), (-4; 1), (4; -1), (4;1).
4. Решить красиво систему уравнений: 2х-у=2, 2×2 –ху=6. 2х-у=2, Х(2х-у)=6; 2х-у=2, 2х=6; Х=3, У=4. Решение.
Самостоятельная работа с взаимопроверкой С.121 №585 (в) и (е) по вариантам
. Домашнее задание Решить систему уравнений различными способами № 609(б)-вариант 1 611(в) — вариант 2
1. Я все знаю, понял и могу объяснить другим! 2. Я все знаю, понял, но не уверен, что смогу объяснить другому. 3. Я сам знаю, понял, но объяснить другому не смогу. 4. У меня остались некоторые вопросы.
Благодарю всех за проделанную работу Порой задача не решается, Но это, в общем, не беда. Ведь солнце все же улыбается, Не унывай никогда. Друзья тебе всегда помогут Они с тобой, ты не один. Поверь в себя – и ты все сможешь, Иди вперед и победишь.
Выбранный для просмотра документ 8 кл откр урок.doc
Тема: «Решение систем рациональных уравнений».
Тип урока: актуализации знаний и умений (урок повторения)
обобщить и систематизировать способы решения системы уравнений с двумя переменными и умения применять их в различных ситуациях
продолжить формирование навыков сознательного выбора способов решения системы уравнений с двумя неизвестными
Развить потребность в нахождении рациональных способов решения
Овладение опытом творческой деятельности при решении систем уравнений с двумя неизвестными
Развитие мышления, внимания, памяти, умения выделять главное;
Развитие коммуникативных навыков продолжать формирование математической речи и графической культуры ,
, умению выслушивать других и умению общаться, прививать аккуратность и трудолюбие, воспитание интереса к предмету
Оборудование: учебник, плакаты, карточки-задания, проектор.
— Прекрасное весеннее утро. Ещё один чудесный день начинает свой путь , начнем и свой путь и мы.
— Настроитесь на работу, будьте доброжелательны друг к другу и у вас все получится!
— Эпиграф: Знание – самое прекрасное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит. (слайд 1)
-Я желаю вам, каждый день и каждый час стремиться к знаниям. А контролировать ваши приобретённые знания нам поможет лист самооценки, который лежит у вас на столе
2. Постановка цели и сообщение темы урока. решить систему уравнений из банка задач по подготовке е ОГЭ
Проверим д/з решим систему. как можно решить эту систему? кто готов? какими методами вы решили систему?
сформулируем тему урока « Решение систем рациональных уравнений»
цель: обобщить и систематизировать способы решения системы уравнений с двумя переменными и умения применять их в различных ситуациях
. 2.Актуализация опорных знаний (слайд ).
— Какую математическую модель называют системой уравнений с двумя переменными?( Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных.)
-Что называют решением системы уравнений? (Пару значений переменных, которая одновременно является решением и первого и второго уравнения системы, называю решением системы уравнений)
-Что значит решить систему уравнений? (Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или установить, что решений нет)
— Какие методы решения систем уравнений вы знаете? ( слайд 2)
-С геометрической точки зрения, что является решением системы уравнений с двумя переменными (точки пересечения графиков)
Какой из учеников применил метод подстановки наиболее рационально? (Слайд №3) метод сложения, в чем состоит? ( Слайд №4) На рисунке изображена парабола и три прямые. Укажите систему уравнений, которая не имеет решений.( Слайд №5)
с целью подготовки к контрольному уроку
Решение систем уравнений различными способами. групповая работа
Класс разделен на три группы:
1 группа решает уравнения функционально- графическим методом,
2 группа методом подстановки
3 группа методом сложения
консультанты помогают остальным решить систему.
1 группа: по уровню сложности 3 системы
1).Решить систему уравнений 
2).Решить систему уравнений методом подстановки 
3)Решить систему уравнений
.
Существует универсальный метод решения: вводится подстановка
5) Применение знаний и умений в новой ситуации
Самостоятельная работа с взаимопроверкой . Решить систему любым способом
Вариант I №585(в) Вариант 2 №585(е)
Ответы: Вариант 1 – (1;1), (2;-0,5)
Вариант 2 – (2;6), (-2;3)
6) Подведение итогов урока. Рефлексия (4 мин)
Что нового вы узнали сегодня на уроке?
Чему вы сегодня научились на уроке?
Что вызвало у Вас затруднение и почему?
Что вам понравилось на уроке? (работать в парах, рассуждать, узнавать новое, решать необычные задания и т.п.)
Достигли ли вы, поставленной в начале урока, цели?
Какую цель вы для себя ставите на следующем уроке?
4.3 Оцените свою деятельность ( в баллах и в словесной форме) : Критерии выставления отметок «5»-9-10+, «4»7-8+, «3»-5-6+.
Ребята подсчитывают количество «+» на полях и выставляют себе на полях в тетради отметку.
Решить систему уравнений различными способами.
№ 609(б) – 1 вариант
№ 611 (в) – 2 вариант
Решение 1 способом – оценка 3;
Решение 2мя способами – оценка 4;
Решение 3мя способами – оценка 5.
Лист самоконтроля. Группа №1:
Оценка учебной деятельности всей группы —
Каждое верно выполненное задание оценивается в 3 балла
— в пределах от 2 до 12
12б-максимальная оценка(верно, активно, самостоятельно),
2б -минимальная оценка,
6б -удовлетворительная отметка
11-12б – оценка 5
Самостоятельная работа Способ 1й
Самостоятельная работа Способ 2ой
Лист самоконтроля. Группа № 2
Оценка учебной деятельности всей группы —
Каждое верно выполненное задание оценивается в 3 балла
— в пределах от 2 до 12
12б-максимальная оценка(верно, активно, самостоятельно),
2б -минимальная оценка,
6б -удовлетворительная отметка
11-12б – оценка 5
Самостоятельная работа Способ 1й
Самостоятельная работа Способ 2ой
Оценка учебной деятельности всей группы —
Каждое верно выполненное задание оценивается в 3 балла
— в пределах от 2 до 12
12б-максимальная оценка(верно, активно, самостоятельно),
2б -минимальная оценка,
6б -удовлетворительная отметка
11-12б – оценка 5
Самостоятельная работа Способ 1й
Самостоятельная работа Способ 2ой
Выбранный для просмотра документ Самоанализ урока.doc
алгебры в 8 классе
по теме « Решение систем рациональных уравнений »
Раздел программы : «Системы рациональных уравнений»
Тема урока : Повторение и закрепление по теме «Решение систем рациональных уравнений»
Тип урока : актуализации знаний и умений (урок повторения)
Цель : Способствовать актуализации знаний и умений по пройденной теме «Системы рациональных уравнений»; способствовать развитию положительной мотивации учебной деятельности; способствовать развитию устной речи, умению высказывать свою точку зрения, слушать окружающих, решать
Учебные задачи направленные на достижение личностных результатов обучения: проявлять интерес к математике; осваивать роль ученика на основе выполнения правил поведения на уроке, взаимодействия с учителем и учениками
Учебные задачи направленные на достижение метапредметных результатов:
Регулятивные: учиться принимать учебную задачу, сохранять её в течение всего урока; осуществлять под руководством учителя итоговый контроль по результату, оценивать правильность выполнения действия;
Познавательные: понимать простейшие модели; учиться строить простые рассуждения;
Коммуникативные: использовать простые речевые средства; включаться в диалог с учителем и сверстниками, в коллективное обсуждение; отвечать на вопросы учителя;
Учебные задачи направленные на достижение предметны результатов:
Учиться решать системы рациональных уравнений различными способами, уметь различать функции и строить соответствующие им графики при графическом способе решения систем.
Оборудование для урока: проектор, ноутбук, карточки для самостоятельной работы, лист самооценки.
Урок построен в соответствии с ФГОС, с использованием информационно-коммуникативных технологий.
На данном уроке применялся деятельностный подход в обучении.
Любой процесс познания начинается с импульса, побуждающего к действию. Необходима мотивация, побуждающая ученика к вступлению к деятельности. Помня об этом, я тщательно продумывала каждый этап урока, составляла задания, подбирала вопросы, использовала различные приёмы активизации учеников. На этапе актуализации знаний учащиеся активно работали, формулировали выводы.
В содержание урока были включены элементы обучения школьников универсальным учебным действиям: цель урока определяли сами ученики, исходя из соответствующей ситуации. Используя знаковую систему, учебную задачу зафиксировали на доске.
На всех этапах урока ученики были вовлечены в активную мыслительную и практическую деятельность исследовательского характера (решение системы различными способами), ученикам надо было вспомнить и использовать уже имеющиеся знания.
Первичное закрепление происходило при решении примеров в группах.
Работа в парах и взаимопомощь позволили снизить тревожность учащихся, проверка результатов способствовала формированию у детей адекватной самооценки.
Включение нового знания в систему знаний было организовано при решении задачи. Самопроверка решения задачи по образцу на доске позволила каждому ребёнку почувствовать себя успешным.
Тренировочные упражнения выполнялись самостоятельно, с взаимопроверкой. Выставляемые оценки (по баллам) аргументировались.
При подведении итогов и рефлексии был применен самоанализ деятельности учеников.
Этапы урока были тесно взаимосвязаны между собой, чередовались различные виды деятельности. Учебный материал на протяжении всего урока работал на организацию посильного поиска, соответствовал их жизненному опыту.
Для каждого ученика была создана ситуация успеха, что также способствовало повышению мотивации и поддержанию познавательного интереса к учению.
При постановке вопросов и определении заданий на уроке я учитывала индивидуальные особенности учеников, давала только положительную характеристику результатам их деятельности, что стимулировало детей и повышало их активность на уроке.
Учебный материал урока соответствовал принципу научности, доступности и был посилен для учеников первого класса. Учебная информация была наглядной и привлекательной для детей. За счёт привлекательности содержания заданий и подачи учебного материала повысились возможности учеников в достижении поставленных целей на уроке.
Учебное время на уроке использовалось эффективно, запланированный объём урока выполнен. Интенсивность урока была оптимальной с учётом физических и психологических особенностей класса.
На уроке наблюдалось рациональное использование времени, предупреждение перегрузки детей обеспечивалось за счёт быстрой смены видов деятельности. Применялись здоровье сберегающие технологии (физминутка общего воздействия). Все предлагаемые задания направлены именно на развитие детей. При проведении урока были использованы различные формы обучения: индивидуальная и фронтальная работа, работа в парах. Детям оказывалась индивидуальная помощь. При проведении урока была использована мультимедийная презентация, задействованы все возможные ресурсы кабинета. Урок был очень динамичный, проведён в доброжелательной рабочей обстановке.
Считаю, что урок реализовал поставленные цели.
Перспективы на будущее:
Продолжать учить ребят работать в паре и в группе.
Учить детей грамотно выражать свои мысли.
Добиваться от ребят точных и правильных ответов.
Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений
Примеры
Пример 1. От посёлка до речки 60 км. Утром турист на скутере отправился на речку. Вечером он возвратился в посёлок, но при этом ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей и потратил на дорогу на 18 мин больше. Сколько времени ехал турист от речки к посёлку?
Пусть t — время вечером, на дорогу от речки к посёлку.
Тогда время утром, на дорогу от посёлка к речке t- $\frac<18><60>$ = t-0,3 (ч)
По условию разность скоростей равна 10:
$$1,8=t(t-0,3), t \neq 0, t \neq 0,3$$
$$ D = 0,3^2-4 \cdot (-1,8) = 0,09+7,2=7,29 = 2,7^2 $$
$$ t = \frac<0,3 \pm 2,7> <2>= \left[ \begin
Выбираем положительный корень, t = 1,5 ч
Пример 2. Катер прошёл по течению 120 км. На этот же путь против течения от тратит времени в 1,5 раза больше. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде 20 км/ч.
Пусть u — скорость течения
По условию время против течения в 1,5 раз больше:
$$ 1,5(20-u) = 20+u, u \neq \pm 20 $$
Пример 3. В раствор, содержащий 50 г соли, добавили 150 г воды. В результате концентрация соли уменьшилась на 7,5%. Найдите первоначальную массу раствора.
Пусть x — масса воды в первоначальном растворе, в граммах.
По условию разность концентраций:
$$ 50 \cdot 150 = \frac<75> <1000>(x+50)(x+200), x \neq -50, x \neq -200 $$
$$ D = 250^2-4 \cdot (-90000) = 62500+360000 = 100(625+3600) = $$
$$ = 100 \cdot 4225 = 650^2 $$
$$ x = \frac<-250 \pm 650> <2>= \left[ \begin
Выбираем положительный корень x=200 г – начальное количество воды в растворе. Начальная масса всего раствора: 50+200 = 250 г.
Пример 4. Мастер и его ученик, работая вместе, выполняют норму на 8 ч. Если каждый работает самостоятельно, то мастер тратит на выполнение нормы на 12 ч меньше, чем ученик. Сколько часов тратит каждый из них на выполнении нормы?
Пусть N изделий – это норма, t — время, потраченное мастером.
Из последней строки таблицы получаем:
$$ 8(2t+12) = t(t+12), t \neq 0, t \neq -12$$
$$ t^2-4t-96 = 0 \Rightarrow (t-12)(t+8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin
Выбираем положительный корень, t=12 ч — время, которое мастер потратит самостоятельно. Ученик потратит 12+12=24 ч.
Ответ: 12 ч и 24 ч
Пример 5*. Один фрилансер может выполнить проект на 12 дней быстрее, чем второй. Над новым проектом первый фрилансер сначала проработал самостоятельно 6 дней, а затем к нему присоединился второй. Через 3 дня совместной работы \frac<3> <5>проекта было готово.
За сколько дней каждый из фрилансеров может выполнить проект самостоятельно? За сколько дней проект был фактически выполнен?
Пусть d — количество дней первого фрилансера при самостоятельной работе.
http://infourok.ru/otkritiy-urok-po-algebre-klass-reshenie-racionalnih-uravneniy-3763702.html
http://reshator.com/sprav/algebra/8-klass/reshenie-zadach-s-pomoshchyu-drobnyh-racionalnyh-uravnenij/