Задания уравнения с параметром математика

Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике

Задача с параметрами – одна из самых сложных в ЕГЭ по математике Профильного уровня. Это задание №18

И знать здесь действительно нужно много.

Научиться строить графики всех элементарных функций (и отличать по внешнему виду логарифм от корня квадратного, а экспоненту – от параболы).

И после этого – учимся решать сами задачи №18 Профильного ЕГЭ.

Вот основные типы задач с параметрами:

Еще одна задача с параметром – повышенного уровня сложности. Автор задачи – Анна Малкова

И несколько полезных советов тем, кто решает задачи с параметрами:

1. Есть два универсальных правила для решения задач с параметрами. Помогают всегда. Хорошо, в 99% случаев помогают. То есть почти всегда.

— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.

— Если задачу с параметром можно решить нарисовать – рисуйте. То есть применяйте графический метод.

2. Новость для тех, кто решил заниматься только алгеброй и обойтись без геометрии (мы уже рассказывали о том, почему это невозможно). Многие задачи с параметрами быстрее и проще решаются именно геометрическим способом.

Эксперты ЕГЭ очень не любят слова «Из рисунка видно…» Ваш рисунок – только иллюстрация к решению. Вам нужно объяснить, на что смотреть, и обосновать свои выводы. Примеры оформления – здесь. Эксперты ЕГЭ также не любят слова «очевидно, что…» (когда ничего не очевидно) и «ёжику ясно…».

3. Сколько надо решить задач, чтобы освоить тему «Параметры на ЕГЭ по математике»? – Хотя бы 50, и самых разных. И в результате, посмотрев на задачу с параметром, вы уже поймете, что с ней делать.

4. Задачи с параметрами похожи на конструктор. Разобрав много таких задач, вы заметите, как решение «собирается» из знакомых элементов. Сможете разглядеть уравнение окружности или отрезка. Переформулировать условие, чтобы сделать его проще.

На нашем Онлайн-курсе теме «Параметры» посвящено не менее 12 двухчасовых занятий. Кстати, оценивается задача 18 Профильного ЕГЭ в 4 первичных балла, которые отлично пересчитываются в тестовые!

165 задач с параметрами

1. Линейные уравнения и приводимые к ним уравнения с параметрами.
2. Квадратичные и сводимые к ним уравнения с параметрами.
3. Уравнения с параметрами, содержащие модуль.
4. Системы уравнений с параметрами.
5. Иррациональные уравнения с параметрами.
6. Линейные неравенства и неравенства, приводимые к линейным. Системы неравенств.
7. Квадратичные неравенства с параметрами.
8. Иррациональные неравенства с параметрами.
9. Уравнения и неравенства с параметрами, содержащие логарифмы.
10. Тригонометрические уравнения, неравенства и системы уравнений с параметрами.

Задания по теме «Уравнения с параметром»

Открытый банк заданий по теме уравнения с параметром. Задания C6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1222

Условие

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение \frac2=\sqrt <4x^2+ax+1>имеет ровно три различных корня.

Решение

Уравнение \frac2=\sqrt <4x^2+ax+1>при \frac2 не имеет корней. При x^2+ax+2 \geqslant 0 обе части уравнения можно возвести в квадрат.

x^4+ax^3+2x^2+ax^3+a^2x^2\,+ 2ax+2x^2+2ax+4= 16x^2+4ax+4,

Чтобы исходное уравнение имело три различных корня, необходимо, чтобы числа x_ <1,>x_ <2,>x_3 были различными и для каждого из этих чисел выполнялось условие x^2 +ax+2 \geqslant 0.

x_2 \neq 0 и x_3 \neq 0, если a \neq \sqrt <12>=2\sqrt 3 и a \neq -\sqrt <12>=-2\sqrt 3.

Обозначим g(x)=x^2+ax+2. g(0)=2>0. Числа x_2=-a+2\sqrt 3 и x_3=-a-2\sqrt 3 будут корнями исходного уравнения, если выполняются условия:

\begin g(x_2)\geqslant 0,\\g(x_3)\geqslant 0; \end\enspace \begin (-a+2\sqrt 3)^2+a(-a+2\sqrt 3)+2\geqslant 0,\\( -a-2\sqrt 3)^2+a(-a-2\sqrt 3)+2\geqslant 0; \end

\begin -2a\sqrt 3+14\geqslant 0,\\2a\sqrt 3+14\geqslant 0; \end\enspace \begin a\leqslant \frac7 <\sqrt 3>,\\a\geqslant -\frac7<\sqrt 3>. \end

Таким образом, a\in\left[-\frac7<\sqrt3>;-2\sqrt3\right)\,\cup (-2\sqrt 3;2\sqrt3)\,\,\,\cup \left( 2\sqrt3;\frac7<\sqrt3>\right].

Ответ

\left[-\frac7<\sqrt3>;-2\sqrt3\right)\,\cup (-2\sqrt3;2\sqrt3)\,\,\,\cup \left(2\sqrt3;\frac7<\sqrt3>\right].

Задание №1220

Условие

Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение \frac+\frac=1 имеет единственный корень.

Решение

Решим уравнение x^2-x(3a+2)+3a^2+3a-6=0,

1 . При D уравнение корней не имеет.

2 . При D=0,\enspace -3a^2+28=0, a=\pm 2\sqrt \frac73. Уравнение имеет единственный корень x =\frac<3a+2>2 при a=\pm 2 \sqrt \frac73.

Проверим условие x \neq -3,\, x \neq a.

\frac<3a+2>2 =-3, a=-\frac83 \neq \pm2\sqrt \frac73 ,

\frac<3a+2>2 =a, a=-2\neq \pm2\sqrt \frac73.

Значит, a=\pm 2\sqrt \frac73 удовлетворяет условию.

3 . При D>0 уравнение имеет два корня x_<1,2>=\frac<(3a+2) \pm \sqrt <28-3a^2>>2. Проверим, при каких значениях a значения x=-3 и x=a являются корнями уравнения x^2-x(3a+2)+3a^2+3a-6=0.

При x=-3 должно выполняться равенство 9+3(3a+2)+3a^2+3a-6=0,

3a^2+12a+9=0, a^2+4a+3=0, a=-1, a=-3.

При x=a должно выполняться равенство a^2-2a+3a-6=0,

a^2+a-6=0, a_1=-3, a_2=2.

При a=-3, a=-1 и a=2 исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ

-3; − 1; \pm 2\sqrt \frac73 ; 2.

Задание №1018

Условие

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение x^3+3x^2-x\log_<3>(a+1)+5=0 имеет единственное решение на отрезке [0;2]

Решение

Уравнение x^3+3x^2-x\log_<3>(a+1)+5=0 имеет единственное решение на отрезке [0;2], если графики функций y=x^3+3x^2 и y=x\log_<3>(a+1)-5 имеют единственную точку пересечения на отрезке [0;2].

Построим графики этих функций.

1) y=x^3+3x^2.

Найдём стационарные точки: y’=3x^2+6x=3x(x+2). y’=0 при x=0, x=-2

y(-2)=-8+3(-2)^2=-8+12=4, y(0)=0. Отсюда получаем график y=x^3+3x^2.

2) y=x\log_<3>(a+1)-5. Графиком функции является прямая, угловой коэффициент которой k=\log_<3>(a+1). Прямая y=kx-5 проходит через точку (0;-5).

Найдём точку x_<0>, в которой прямая y=kx-5 является касательной к графику функции y=x^3+3x^2.

Уравнение касательной y=(x_<0>^3+3x_<0>^2)+(3x_<0>^2+6x_<0>)(x-x_<0>) проходит через точку (0;-5), следовательно, -5=(x_<0>^3+3x_<0>^2)-x_<0>(3x_<0>^2+6x_<0>),

2x_<0>^3+3x_<0>^2-5=0. x_<0>=1 — точка касания.

Других точек касания нет, так как уравнение 2x_<0>^2+5x_<0>+5=0 корней не имеет.

Если x=1, то y=4, тогда 4=k-5, откуда k=9.

Найдем значение k , при котором прямая y=kx-5 проходит через точку (2;20). 20=2k-5, k=12,5, y=12,5x-5.

Для k=9 и k > 12,5 графики функций y=x^3+3x^2 и y=kx-5 имеют на отрезке [0;2] единственную общую точку. Найдем значения параметра a .

Итак, если a=3^9-1 или a > 3^<12,5>-1, то уравнение x^3+3x^2-x\log_<3>(a+1)+5=0 имеет единственное решение на отрезке [0;2].

Ответ

Задание №1017

Условие

При каких значениях параметра a уравнение x-a=\sqrt> имеет единственное решение?

Решение

Исходное уравнение равносильно уравнению a + \sqrt>=x.

Рассмотрим функцию f(x)=a+\sqrt определённую при x \geq 0. Тогда полученное уравнение можно записать в виде f(f(x))=x. Это уравнение равносильно уравнению f(x)=f^<-1>(x), где f^<-1>(x) — функция, обратная к f(x). Если y=a+\sqrt, то x=(y-a)^2. Тогда обратной к функции f(x) является функция f^<-1>(x)=(x-a)^2, определенная при x \geq a. Проверим это:

Возможны три случая.

1. При a > 0 уравнение f(x)=f^<-1>(x) имеет единственный корень x_

2. При a=0 уравнение f(x)=f^<-1>(x) принимает вид \sqrt=x^ <2>и имеет два корня: x_<1>=0 и x_<2>=1.

3. При a уравнение f(x)=f^<-1>(x) будет иметь один единственный корень x_<0>, только если прямая y=x будет общей касательной к графикам функций y=f(x) и y=f^<-1>(x) в точке с абсциссой x_

В этом случае в точке x_ <0>выполняются условия:

Из второго уравнения системы находим x_<0>=\frac<1> <4>и подставляем это значение в первое уравнение:

Последнее уравнение имеет два корня: a_<1>=-\frac<1> <4>и a_<2>=\frac<7><4>. Так как a то a=-\frac<1><4>.

Ответ

Задание №1012

Условие

Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение \frac+x^<2>-16a^<2>x-5x+a>-16a^<2>x>=1 имеет единственный корень.

Решение

В левой части уравнения выделим целую часть

Тогда уравнение примет вид \frac-5x+a>-16a^<2>x>=0.

Оно равносильно системе

\begin a = -x^<2>+5x, \\ x \neq 0, x \neq \pm 4a.\end

Решим систему графически в системе координат xOa . Для этого построим графики функций a=-x^<2>+5x и a= \pm \frac<4>.

Графиком функции a=-x^<2>+5x является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы — точка \left ( \frac<5><2>; \frac<25> <4>\right ), точки (0;0) и (5;0) принадлежат параболе. Графиками функций a= \pm \frac <4>являются прямые.

Решая уравнение -x^<2>+5x=\frac<4>, находим точки пересечения прямой a=\frac <4>и параболы

a=-x^<2>+5x: x=0, x=\frac<19><4>, откуда a=0, a=\frac<19><16>. Аналогично, решая уравнение -x^<2>+5x=-\frac<4>, находим a=0, a=-\frac<21><16>. Выкалываем эти точки. По рисунку видим, что ровно одна точка пересечения параболы с каждой из прямых будет при a=-\frac<21><16>, a=0, a=\frac<19><16>, a=\frac<25><4>.