Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №19. Решение задач с помощью производной.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
- механический смысл первой производной;
- механический смысл второй производных;
- скорость и ускорение.
Глоссарий по теме
Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S’(t).
Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.
Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается fили
Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается или f»’(x). Производную n-го порядка обозначают f (n) (x) или y (n) .
Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть
Первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S’; a=v’)
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Давайте вспомним механический смысл производной:
Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S'(t).
Пример 1. Точка движется прямолинейно по закону (S выражается в метрах, t – в секундах). Найти скорость движения через 3 секунды после начала движения.
скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени, то есть .
Подставив в уравнение скорости t=3 с, получим v(3)=32+4∙3-1= 20 (м/с).
Пример 2. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол
Найдите:
а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6 с;
б) в какой момент времени маховик остановится?
Решение: а) Угловая скорость вращения маховика определяется по формуле ω=φ’. Тогда ω=(4t-0,2t 2 )=4-0,4t.
Подставляя t = 6 с, получим ω=4-0,4∙6=1,6 (рад/с).
б) В тот момент, когда маховик остановится, его скорость будет равна нулю (ω=0) . Поэтому 4-0,4t=0.. Отсюда t=10 c.
Ответ: угловая скорость маховика равна (рад/с); t=10 c.
Пример 3. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону S=3t 2 +2t-5. Найти кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения.
Решение: найдём скорость движения тела в любой момент времени t.
Вычислим скорость тела в момент времени t=3. v(3)=6∙3+2=20 (м/с)..
Определим кинетическую энергию тела в момент времени t=3.
Производная второго порядка. Производная n-го порядка.
Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.
Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается .
Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается y»’ или f»'(x) Производную n-го порядка обозначают f (n) (x) или y (n) .
Примеры. Найдем производные четвёртого порядка для заданных функций:
f'(x)=cos 2x∙(2x)’= 2cos 2x
f (x)=-2sin2x∙(2x)’=-4sin 2x
f»'(x)= -4 cos 2x∙(2x)= -8 cos 2x
f (4) (x)= 8 sin2x∙(2x)’= 16 sin 2x
f (x)= 9∙ 2 3x ∙ln 2 2
f»'(x)= 27∙ 2 3x ∙ln 3 2
f (4) (x)= 81∙ 2 3x ∙ln 4 2
Механический смысл второй производной.
Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть
Итак, первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S’; a=v’)
Пример 4. Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t 2 -3t+8. Найти скорость и ускорение точки в момент t=4 c.
найдём скорость точки в любой момент времени t.
Вычислим скорость в момент времени t=4 c.
Найдём ускорение точки в любой момент времени t.
a= v’= (6t-3)’=6 и a(4)= 6 (м/с 2 ) , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.
Ответ: v=21(м/с); a= v’= 6 (м/с 2 ).
Пример 5. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону S(t)=t 3 -3t 2 +5. Найти силу, действующую на тело в момент времени t=4 c.
Решение: сила, действующая на тело, находится по формуле F=ma.
Найдём скорость движения точки в любой момент времени t.
v=S’=(t 3 -3t 2 +5)’=3t 2 -6t.
Тогда v(4)=3∙4 2 -6∙4=24 (м/с).
Найдём ускорение: a(t)=v’=(3t 2 -6t)’=6t-6.
Тогда a(4)= 6∙4-6= 18 (м/с 2 ).
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№ 1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте
Напишите производную третьего порядка для функции:
f(x)= 3cos4x-5x 3 +3x 2 -8
Решим данную задачу:
f’’’(x)=( 3cos4x-5x 3 +3x 2 -8)’’’=(((3cos4x-5x 3 +3x 2 -8)’)’)’=((-12sin4x-15x 2 +6x)’)’=(-48cos4x-30x)’=192sin4x-30.
№ 2. Тип задания: выделение цветом
Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t 2 +2t-7. Найти скорость и ускорение точки в момент t=6 c.
- v=38 м/с; a=6 м/с 2
- v=38 м/с; a=5 м/с 2
- v=32 м/с; a=6 м/с 2
- v=32 м/с; a=5 м/с 2
Решим данную задачу:
Воспользуемся механическим смыслом второй производной:
v= S’(t)=( 3t 2 +2t-7)’=6t+2.
Вычислим скорость в момент времени t=6 c.
Найдём ускорение точки в любой момент времени t.
a= v’= (6t+2)’=6 и a(6)= 6 (м/с 2 ) , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.
Ответ: v=38(м/с); a= v’= 6 (м/с 2 ).
- v=38 м/с; a=6 м/с 2
- v=38 м/с; a=5 м/с 2
- v=32 м/с; a=6 м/с 2
- v=32 м/с; a=5 м/с 2
Закон прямолинейного движения тела задана уравнением
1 мин = 60 с; 1 ч = 3600 с; 1 км = 1000 м; 1 м/с = 3,6 км/ч.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Типовая задача «Уравнение координаты (нахождение неизвестной величины)»
Задача № 1. В начальный момент времени тело находилось в точке с координатой 5 м, а через 2 мин от начала движения — в точке с координатой 95 м. Определите скорость тела и его перемещение.
Типовая задача «Уравнение координаты. Движение двух тел»
Задача № 2. Движение двух тел задано уравнениями x1 = 20 – 8t и х2 = –16 + 10t (время измеряется в секундах, координата — в метрах). Определите для каждого тела начальную координату, проекцию скорости, направление скорости. Вычислите время и место встречи тел.
Типовая задача «График координаты»
Задача № 3. Движение тела задано графиком координаты (зависимости координаты от времени). По графику определите: а) начальную координату тела; б) проекцию скорости тела; в) направление движения тела (по оси х или против оси х); г) запишите уравнение координаты.
Типовая задача «График координаты. Движение нескольких тел»
Задача № 4. На рисунке изображены графики движения трех тел. Изучив рисунок, для каждого тела определите: а) начальную координату; б) скорость; в) направление движения; г) запишите уравнение координаты.
ЗАДАЧИ ПОСЛОЖНЕЕ
Задача № 5. На рисунке представлены графики зависимости координаты х от времени t для пяти тел. Определите скорости этих тел. Проанализируйте точки пересечения графиков. Постройте графики зависимости скорости от времени.
РЕШЕНИЕ:
Задача № 6. По графикам на рисунке напишите уравнения движения x = x(t) . Из уравнений и графиков найдите координаты тел через 5 с , скорости движения тел, время и место встречи второго и третьего тел.
РЕШЕНИЕ:
Задача № 7. ОГЭ Расстояние ( S ) между городами М и К = 250 км . Одновременно из обоих городов навстречу друг другу выезжают автомашины. Машина из города М движется со скоростью = 60 км/ч , из города К — со скоростью ν2 = 40 км/ч . Построить график зависимости пути от времени для каждой из машин и по ним определить место встречи и время их движения до встречи.
Задача № 8. ЕГЭ Скорость течения реки vp = 1 м/с , скорость лодки относительно воды v0 = 2 м/с . Под каким углом к берегу следует держать курс, чтобы лодка двигалась перпендикулярно берегу? За какое время t она переправится через реку, ширина которой d = 200 м ?
Алгоритм решения ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение.
Задачи, описывающие движение, содержат два типа величин: векторные (имеющие направление) и скалярные (выражающиеся только числом). К векторным величинам при описании равномерного прямолинейного движения относятся скорость и перемещение.
Для перехода от векторов к скалярам выбирают координатную ось и находят проекции векторов на эту ось, руководствуясь следующим правилом: если вектор сонаправлен с осью, то его проекция положительна, если противоположно направлен — отрицательна. (Могут быть и более сложные случаи, когда вектор не параллелен координатной оси, а направлен к ней под некоторым углом.) Поэтому при решении задачи обязательно нужно сделать чертеж, на котором изобразить направления всех векторов и координатную ось. При записи «дано» следует учитывать знаки проекций.
При решении задач все величины должны выражаться в международной системе единиц (СИ), если нет специальных оговорок.
В решении задачи единицы величин не пишутся, а записываются только после найденного значения величины.
Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение с решениями». Выберите дальнейшие действия:
Закон прямолинейного движения тела задан уравнением s = — t ^ 3 + 3t ^ 2 + 9t + 3?
Математика | 10 — 11 классы
Закон прямолинейного движения тела задан уравнением s = — t ^ 3 + 3t ^ 2 + 9t + 3.
Найти максимальную скорость движения тела.
Здесь s — путь, t — время.
Решение изложено в приложении.
Найти путь, пройденной телом от начала движения до остановки , если закон изменения скорости прямолинейного движения задан управлением V(t) = 3t — t(m / c)?
Найти путь, пройденной телом от начала движения до остановки , если закон изменения скорости прямолинейного движения задан управлением V(t) = 3t — t(m / c).
В какой момент времени скорость тела движения по заданному пути s = 3t2 — 15t + 2 равна 0?
В какой момент времени скорость тела движения по заданному пути s = 3t2 — 15t + 2 равна 0.
Найти ускорение тела?
Скорость прямолинейного движения тела задана уравнением V(t) = 9t2 — 20t(м / с)Найти путь, пройденный телом за 4 сек?
Скорость прямолинейного движения тела задана уравнением V(t) = 9t2 — 20t(м / с)Найти путь, пройденный телом за 4 сек.
Тело движется прямолинейно с ускорением a(t) = 8t + t ^ 3?
Тело движется прямолинейно с ускорением a(t) = 8t + t ^ 3.
Найти закон движения этого тела если в момент времени t = 1c скорость тела V = 12 м / с и путь S = 20м.
Если тело движется прямолинейно по закону s = t ^ 3 + 2t ^ 2 + 3, то его скорость через 2с после начала движения равна?
Если тело движется прямолинейно по закону s = t ^ 3 + 2t ^ 2 + 3, то его скорость через 2с после начала движения равна?
Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением S = — 1 / 3t ^ 3 + 8t ^ 2 — 8t — 5 Найти максимальную скорость движения этой точки?
Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением S = — 1 / 3t ^ 3 + 8t ^ 2 — 8t — 5 Найти максимальную скорость движения этой точки.
Математика?
Скорость прямолинейного движения точки задана уравнением v = 2t — 3.
Найдите закон движения точки если к моменту начала отсчета она прошла путь 6м.
Скорость движения тела задана уравнением v = (2t — 3t²) v / c?
Скорость движения тела задана уравнением v = (2t — 3t²) v / c.
Найти путь пройденный телом за 4 секунды .
Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 12 — 3t + 2t2 ?
Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 12 — 3t + 2t2 .
Вычислите скорость движения тела после 3с с начала движения ( время измеряется в секундах, координата — в метрах) .
Тело движется прямолинейно по закону s(t) = 10t ^ 2 — 2t ^ 3?
Тело движется прямолинейно по закону s(t) = 10t ^ 2 — 2t ^ 3.
Найти скорость и ускорение движения тела в конце 2 — ой секунды.
Вы зашли на страницу вопроса Закон прямолинейного движения тела задан уравнением s = — t ^ 3 + 3t ^ 2 + 9t + 3?, который относится к категории Математика. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 10 — 11 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.
http://uchitel.pro/%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8-%D0%BD%D0%B0-%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B5-%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5/
http://matematika.my-dict.ru/q/1897089_zakon-pramolinejnogo-dvizenia-tela-zadan-uravneniem/