Закон сохранения электрического заряда уравнение непрерывности

Закон сохранения электрического заряда уравнение непрерывности

Напомним, что все электрические заряды, встречающиеся в природе, являются по абсолютному значению кратными элементарному заряду, равному заряду электрона, причем этот элементарный заряд является постоянным и не зависит от скорости частицы, которая несет этот заряд. Простейшим доказательством независимости величины заряда от его скорости является факт электронейтральности атомов, в которых заряд быстродвижущихся электронов полностью компенсирует заряд ядра. Заряд любого тела также является величиной, инвариантной относительно переходов из одной инерциальной системы в другую, и это утверждение составляет один аспект закона сохранения зарядов.

С другой стороны, как показывает вся совокупность опытных фактов, ни каких физических процессах суммарное количество зарядов не изменяется . Отсюда, конечно, не следует, что сохраняются в отдельности положительные и отрицательные заряды системы; например, в процессе аннигиляции электрон — позитронной пары число положительных и отрицательных зарядов уменьшается, но при этом суммарное количество зарядов остается неизменным. Постоянство суммарного заряда в физическом процессе представляет собой вторую сторону закона сохранения заряда.

Таким образом, из закона сохранения заряда следует, что полный заряд системы может изменяться только за счет пересечения ее границы заряженными частицами. Это утверждение математически может быть представлено в виде соотношения между макроскопическими величинами ρ (плотность заряда) и j → (плотность тока), характеризующими процесс протекания тока. Для этого в пространстве, занятом током, мысленно выделим некоторый объем V , ограниченный замкнутой поверхностью S . Суммарное количество заряда, ежесекундно уходящее из объема V через поверхность S , определяется интегралом (3.3). Обусловленная этим скорость изменения суммарного заряда в объеме V равна

− ∂ ∂ t ∫ ρ d V = ∫ ( − ∂ ρ ∂ t ) d V .

Приравнивая эти две величины, получаем соотношение

являющееся интегральным представлением закона сохранения заряда . Выражая входящий сюда поверхностный интеграл с помощью теоремы Остроградского — Гаусса, результат можно переписать в виде ∫ V ( ∂ ρ ∂ t + d i v j → ) d V = 0 .

Поскольку это равенство должно выполняться для произвольного объема V , подинтегральное выражение тождественно должно равняться нулю, т. е.

Полученное уравнение называется уравнением непрерывности . Это есть дифференциальное представление закона сохранения заряда .

Если рассматривается стационарный процесс, при котором токи и заряды не меняются со временем, уравнения (3.6), (3.7) принимают вид

Уравнение непрерывности и закон сохранения зарядов

Из первого и третьего уравнений Максвелла вытекает важное соотношение, называемое уравнением непрерывности:

(1.21)

Правая часть уравнения (1.28) представляет собой сумму плотностей тока проводимости и тока смещения, т.е. плотность полного тока , поэтому уравнение (1.28) эквивалентно условию div = 0. Т. о. уравнение (1.28) показывает, что линии плотности полного тока являются непрерывными, в то время как линии плотностей токов проводимости и смещения могут иметь начало и конец.

Уравнение (1.21) можно переписать

Уравнение (1.22) представляет собой закон сохранения заряда: всякому изменению величины заряда, распределенного в некоторой области, соответствует электрический ток I, втекающий в эту область или вытекающий из нее.

Граничные условия

Рассматриваемая на практике область может состоять из двух (и более) разнородных сред. На границе раздела сред параметры e, m и s меняются скачком. Соотношения, показывающие связь между значениями составляющих векторов электромагнитного поля в разных средах у поверхности раздела, называют граничными условиями. Данные соотношения получены по отдельности для нормальных (перпендикулярных) и тангенциальных (касательных) проекций электрических и магнитных векторов.

Граничное условие для нормальной составляющей вектора D в общем случае имеет вид:

— = τ. (1.23)

Здесь τ – поверхностная плотность заряда – характеризует заряд, распределенный вдоль поверхности раздела.

(1.24)

В случае если заряд не сосредоточен на поверхности раздела, т.е. не является поверхностным, то правая часть формулы (1.24) равна нулю, а нормальная компонента вектора D непрерывна при переходе из одной среды в другую:

Выражение (1.25) показывает, что при отсутствии на границе раздела двух сред поверхностных зарядов нормальная составляющая вектора электрического смещения меняется плавно, при наличии поверхностных зарядов – меняется скачкообразно.

Воспользовавшись материальным уравнением (1.4) можно получить граничное условие для напряженности электрического поля

(1.26)

Выражение (1.26) показывает, что нормальная составляющая вектора напряженности электрического поля меняется скачком.

Граничное условие для нормальной составляющей вектора магнитной индукции имеет вид

Выражая в равенстве (1.27) B_n через Н_n, получаем

(1.28)

Граничное условие для касательных составляющих вектор напряженности магнитного поля имеет вид:

— =j_sl. (1.29)

j_sl – плотность поверхностного тока. Она определяется соотношением:

(1.30)

Выражение (1.30) характеризует токи, распределенные вдоль поверхности раздела в виде бесконечно тонкого слоя. Такие токи называют поверхностными.

В случае отсутствия поверхностных токов можем записать:

= . (1.31)

Выражение (1.31) показывает, что при отсутствии на границе раздела двух сред поверхностных токов касательная составляющая вектора напряженности магнитного поля меняется плавно, при наличии поверхностных токов – меняется скачкообразно.

Касательная составляющая вектора В, наоборот, претерпевает разрыв, величина которого определяется отношением магнитных проницаемостей:

(1.32)

Граничное условие для касательной составляющей вектора Е:

= . (1.33)

Касательная составляющая вектора Dпретерпевает разрыв, величина которого зависит от соотношения между диэлектрическими проницаемостями:

(1.34)

Уравнение непрерывности и закон сохранения зарядов

Из первого и третьего уравнений Максвелла вытекает важное соотношение, называемое уравнением непрерывности. Возьмем дивергенцию от обеих частей равенства (1.33). Учитывая, что дивергенция ротора любого вектора равна нулю, и используя уравнение (1.44), получаем

. (1.48)

Правая часть уравнения (1.33) представляет собой сумму плотностей тока проводимости и тока смещения, т.е. плотность полного тока , поэтому уравнение (1.48) эквива­лентно условию . Равенство нулю дивергенции какого-либо вектора означает непрерывность линий этого вектора. Следовательно, уравнение (1.48) показывает, что линии плотности полного тока являются непрерывными, в то время как линии плотностей токов проводимости и смещения могут иметь начало и конец. Например, линии плотности тока проводимости начинаются в тех точках пространства, где плотность зарядов уменьшается, и оканчиваются там, где плотность зарядов возрастает.

Уравнение (1.48) тесно связано с законом сохранения заряда и по существу является его дифференциальной формой. Закон сохранения заряда можно сформулировать следующим образом. Всякому изменению величины заряда, распределенного в неко­торой области, соответствует электрический ток I, втекающий в эту область или вытекающий из нее:

Покажем, что формулу (1.49) можно получить из уравнения (1.48). Проинтегрируем последнее по объему V. Преобразовывая левую часть получающегося равенства по теореме Остроградского-Гаусса, а в первой части меняя порядок интегрирования и дифференцирования, приходим к уравнению

, (1.50)

совпадающему с (1.49). Ток положителен (т.е. вытекает из объема V),если заряд уменьшается, и, наоборот, отрицателен (т.е. втекает в объем V),если заряд увеличивается.

Подчеркнем, что под током I в законе сохранения заряда понимается ток через всю поверхность S, ограничивающую объем V. Например, если в цилиндрическом проводнике мысленно выде­лить объем V, как показано на рис. 1.10, то ограничивающая этот объем поверхность S будет состоять из трех частей: S = S1+ S2 + S3, и при определении I нужно учесть токи, протекающие через оба торца (S1и S2) и боковую поверхность (S3) рассматри­ваемого цилиндрического объема V.

Рис. 1.10. Цилиндрический проводник

Закон сохранения заряда (1.50) был получен из уравнения непрерывности. Очевидно, можно было бы поступить наоборот: постулировать закон сохранения заряда как экспериментальный закон, а из него независимо от уравнений Максвелла вывести уравнение непрерывности.

Используя уравнение непрерывности, можно обосновать по­стулированное ранее соотношение (1.28), определяющее вектор плотности тока смещения. Действительно, применяя теорему Стокса к левой части уравнения (1.27), выражающего закон Ампера, приходим к равенству

Так как div rot H = 0, то из соотношения (1.51) следует, что div j = 0. Последнее равенство заведомо несправедливо для переменных процессов, так как в этом случае должно выполняться уравнение непрерывности (1.48), вытекающее из закона сохранения заряда (1.50). Чтобы уравнение (1.51) стало пригодным для переменных процессов, его надо видоизменить, добавив в его правую часть некоторую функцию, имеющую размерность плотности тока и удовлетворяющую условию, что ее дивергенция равна .В качестве такой функции следует взять функцию dD/dt, так как указанное условие будет выполнено в силу третьего уравнения Максвелла (1.44). Получающееся при этом уравнение будет полностью совпадать с первым уравнением Максвелла (1.33).

Отметим, что уравнение (1.33) было получено Максвеллом на основе аналогичных рассуждений.