Уравнение состояния идеального газа
Содержание:
Уравнение состояния идеального газа получило название «уравнение Менделеева-Клапейрона». Давление смеси химически невзаимодействующих газов равно сумме их парциальных давлений: закон Дальтона.
На странице -> решение задач по физике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам физики.
Уравнение состояния идеального газа
Уравнение состояния идеального газа — это p = nkT называется уравнением Менделеева Клапейрона и оно даёт взаимосвязь трёх важнейших макроскопических параметров, описывающих состояние идеального газа давления, объёма и температуры. Поэтому уравнение Менделеева Клапейрона называется ещё уравнением состояния идеального газа.
Термодинамические параметры газа
В предыдущих главах было показано, что при описании свойств газа можно пользоваться величинами, характеризующими молекулярный мир (микромир), например энергией молекулы, скоростью ее движения, массой и т. п. Числовые значения таких величин мы можем определять только с помощью расчета. Все такие величины принято называть микроскопическими (от греческого «микрос» — малый).
Однако для описания свойств газов можно пользоваться и такими величинами, числовые значения которых находят простым измерением с помощью приборов, например давлением, температурой и объемом газа. Значения таких величин определяются совместным действием огромного числа молекул, поэтому они называются макроскопическими (от греческого «макрос» — большой).
Соотношение (4.1): 
устанавливает связь между микроскопическими и макроскопическими величинами для газов. Поэтому формулу (4.1) называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов. Макроскопические величины, однозначно характеризующие состояние газа, называют термодинамическими параметрами газа. Важнейшими термодинамическими параметрами газа являются его объем V, давление р и температура Т.
Если взять определенную массу газа т, то при постоянных р, V и Т газ будет находиться в равновесном состоянии. Когда происходят изменения этих параметров, то в газе протекает тот или иной процесс. Если этот процесс состоит из ряда непрерывно следующих друг за другом равновесных состояний газа, то он называется равновесным процессом. Равновесный процесс должен протекать достаточно медленно, так как при быстром изменении параметров давление и температура не могут иметь соответственно одинаковые значения во всем объеме газа. В этой главе рассматриваются только равновесные процессы в газах, при которых масса газа остается постоянной.
Когда процесс в газе заканчивается, то газ переходит в новое состояние, а его параметры приобретают новые постоянные числовые значения, вообще говоря, отличные от их значений в начале процесса. Если же при постоянной массе газа значения всех его параметров в начале и в конце процесса окажутся одинаковыми, то процесс называется круговым или замкнутым.
Соотношение между значениями тех или иных параметров в начале и конце процесса называется газовым законом. Газовый закон, выражающий связь между всеми тремя параметрами газа, называется объединенным газовым законом.
Отметим еще, что такого процесса в газе, при котором изменялся бы только один параметр газа, не существует, так как значения этих параметров взаимосвязаны. Примером сказанного является закон Шарля, выражающий связь между р и Т.
Объединенный газовый закон. Приведение объема газа к нормальным условиям
Связь между давлением, объемом и температурой определенной массы газа устанавливается с помощью соотношения (4.9):
Поскольку 
обозначает число молекул в единице объема газа, то 
, где N — общее число молекул, V — объем газа. Тогда получим
Так как при постоянной массе газа N остается неизменным, 
— постоянное число, т. е.
Поскольку значения р, V и Т в (5.2) относятся к одному и тому же состоянию газа, можно следующим образом сформулировать объединенный газовый закон: при постоянной массе газа произведение объема на давление, деленное на абсолютную температуру газа, есть величина одинаковая для всех состояний этой массы газа.
Следовательно, если числовые значения параметров в начале процесса, происходящего с какой-либо определенной массой газа, обозначить через р1 , V1 и Т1, а их значения в конце процесса соответственно через р2 , V2 и Т2, то
Формулы (5.2) и (5.3) представляют собой математическое выражение объединенного газового закона.
На практике иногда нужно установить, какой объем V0 займет имеющаяся масса газа при нормальных условиях, т. е. при Т0=273 К и при р0=1,013 . 10 5 Па. Если значения параметров для этой массы газа в каком-либо произвольном состоянии, отличном от нормального, обозначить через р, V и Т, то на основании (5.3) получаем 
, или
Формула (5.4) позволяет приводить объем заданной массы газа к нормальным условиям.
Молярная газовая постоянная. Определение числового значения постоянной Больцмана
Формула (5.1) справедлива для любой массы газа, в которой содержится N молекул. Если применить эту формулу к одному молю какого-либо газа, то N нужно заменить постоянной Авогадро NA, а V — объемом одного моля Vмоль
Так как в одном моле любого газа содержится одно и то же число молекул NA, то произведение 
имеет одинаковое значение для всех газов, т. е. не зависит от природы газа. Произведение обозначается R и называется молярной газовой постоянной. Таким образом,
Числовое значение R можно найти, если применить (5.5) к состоянию одного моля газа при нормальных условиях, так как при этом 
м 3 /моль (§ 3.6). Действительно,
Это числовое значение R в СИ необходимо запомнить, так как им часто пользуются при расчетах и при решении задач.
Теперь легко найти числовое значение постоянной Больнмана 
. Из (5.6) получаем 
. Подставляя сюда числовые значения R и 
, вычисляем :
Уравнение Клапейрона — Менделеева. Плотность газа
Выясним, как будет выглядеть соотношение (5.1), если в него ввести молярную газовую постоянную R. Так как N — полное число молекул в массе газа т, а — число молекул в одном моле, то
где 
— число молей в массе газа /т. Поэтому
Поскольку 
, а равно массе газа т, деленной на массу одного моля газа 
, то получаем
Соотношение (5.7) называется уравнением Клапейрона — Менделеева или уравнением состояния для произвольной массы идеального газа. Для одного моля идеального газа уравнение Клапейрона — Менделеева принимает вид
С помощью формулы (5.7) легко выяснить, какими величинами определяется плотность газа. Так как 
, то из (5.7) имеем
Зависимость средней квадратичной скорости молекул газа от температуры
Выясним теперь, как можно с помощью вычислений находить среднюю квадратичную скорость движения молекул газа 
. Поскольку средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа 
равна (3/2) 
, то можно написать 
, откуда
Отметим, что под т в формуле (5.10) подразумевается масса одной молекулы в кг. Так как 
, получим 
. Поскольку 
а есть масса одного моля газа 
(§ 3.6), имеем
Наконец, из (5.9) следует, что 
, поэтому
Среднюю квадратичную скорость можно находить по любой из формул (5.10)—(5.12). Из функции Максвелла можно получить формулы для средней арифметической скорости и наивероятнейшей скорости. Средняя арифметическая скорость
Наконец, наивероятнейшую скорость вычисляют так:
(Используя график функции Максвелла (рис. 3.3), поясните, почему 
меньше 
, а 
меньше 
Изохорический процесс
Процессы, при которых масса газа и один из его параметров остаются постоянными, называются изопроцессами (от греческого «изос» — равный, одинаковый). Поскольку имеется три параметра газа, существует три различных изопроцесса. Первый из них (изохорический) рассмотрен выше (§ 4.3). Процесс в газе, который происходит при постоянной массе и неизменном объеме, называется изохорическим (от греческого «хора» — пространство). Графики для этого процесса называются изохорами (рис. 4.3).
Отметим, что к любому изопроцессу применим объединенный газовый закон и формулы (5.3), (5.7) и (5.8) с учетом того, что один из параметров остается постоянным. При изохорическом процессе постоянным остается объем V, поэтому формула (5.3) после сокращения на V принимает вид
Итак, изохорический процесс подчиняется закону Шарля: при постоянной-массе газа и неизменном объеме давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре. Это видно и из уравнения Клапейрона — Менделеева (5.7):
Так как V, т, 
и R остаются постоянными, то из (5.7) следует, что р пропорционально Т. Отметим, что закон Шарля можно формулировать и так, как это было сделано в § 4.3.
Изобарический- процесс
Процесс в газе, который происходит при постоянной массе и неизменном давлении, называется изобарическим (от греческого «барос» — тяжесть). Этот процесс был изучен французским физиком Л. Гей-Люссаком в 1802 г.
Поскольку при изобарическом процессе р постоянно, то после сокращения на р формула (5.3) принимает вид
Формула (5.16) является математическим выражением закона Гей-Люссака: при постоянной массе газа и неизменном давлении объем газа прямо пропорционален его абсолютной температуре. (Это видно и из уравнения Клапейрона — Менделеева (5.7): так как р, т, 
и R постоянны, то объем V пропорционален Т.)
На рис. 5.1 схематически изображен опыт Гей-Люссака. Колба с газом помещается в сосуд с водой и льдом.
В пробку вставлена трубка, изогнутая таким образом, что свободный конец ее горизонтален. Газ в колбе отделен от окружающего воздуха небольшим столбиком ртути в трубке. Температуру газа определяют по термометру, а объем — по положению столбика ртути. Для этого на трубке нанесены деления, соответствующие определенному внутреннему объему трубки (при градуировке трубки можно учесть и расширение сосуда при нагревании, но оно сравнительно мало’).
Сначала по положению столбика ртути 1 определяют 
— объем газа при 0°С. Затем газ нагревают (столбик ртути перемещается в положение 2), в процессе нагревания записывают значения объема и температуры и строят график, который называется изобарой.
Оказывается, что изобара представляет собой прямую линию (рис. 5.2, а), которая пересекается с осью абсцисс в точке А.
Из подобия треугольников на рис. 5.2, а следует
Обозначив 
через 
, получим
Здесь — коэффициент объемного расширения газа (гл. 13).
Если повторять этот опыт для разных газов или для разных масс газа, то все графики будут пересекаться в точке А, соответствующей t=—273°С (рис. 5.2, б), т. е. коэффициент 
одинаков для всех газов. Это означает, что расширение газа при изобарическом процессе не зависит от его природы.
Отметим, что для газов коэффициенты 
и 
в формулах (4.2а) и (5.17) численно одинаковы, поэтому обычно пользуются одним 
.
Изотермический процесс
Процесс в газе, который происходит при постоянной температуре, называется изотермическим.
Изотермический процесс в газе был изучен английским ученым Р. Бойлем и французским ученым Э. Мариоттом. Установленная ими опытным путем связь получается непосредственно из формулы (5.3) после сокращения на Т:
Формула (5.18) является математическим выражением закона Бойля — Мариотта: при постоянной массе газа и неизменной температуре давление газа обратно пропорционально его объему. Иначе говоря, в этих условиях произведение объема газа на соответствующее давление есть величина постоянная: 
Соотношение (5.19) можно получить и из (5.7) или (5.8), так как при постоянном Г справа в формулах (5.7) и (5.8) стоит постоянная величина. График зависимости р от V при изотермическом процессе в газе представляет собой гиперболу и называется изотермой. На рис. 5.3 изображены три изотермы для одной и той же массы газа, но при разных температурах Т.
Отметим еще, что из формулы (5.9) непосредственно вытекает, что при изотермическом процессе плотность газа изменяется прямо пропорционально давлению:
(Подумайте, как проверить закон Бойля — Мариотта на опыте.)
Внутренняя энергия идеального газа
Как отмечалось, силы взаимодействия молекул в идеальном газе отсутствуют. Это означает, что молекулярно-потенциальной энергии у идеального газа нет. Кроме того, атомы идеального газа представляют собой материальные точки, т. е. не имеют внутренней структуры, а значит, не имеют и энергии, связанной с движением и взаимодействием частиц внутри атома. Таким образом, внутренняя энергия идеального газа представляет собой только сумму знамений кинетической энергии хаотического движения всех его молекул:
Поскольку у материальной точки вращательного движения быть не может, то у одноатомных газов (молекула состоит из одного атома) молекулы обладают только поступательным движением. Так как среднее значение энергии поступательного движения молекул определяется соотношением(4.8): 
, то внутренняя энергия одного моля одноатомного идеального газа выразится формулой 
, где 
— постоянная Авогадро. Если учесть, что 
, то получим:
Для произвольной массы одноатомного идеального газа имеем
Если молекула газа состоит из двух жестко связанных атомов (двухатомный газ), то молекулы при хаотическом движении приобретают еще и вращательное движение, которое происходит вокруг двух взаимно перпендикулярных осей. Поэтому при одинаковой температуре внутренняя энергия двухатомного газа больше, чем одноатомного, и выражается формулой
Наконец, внутренняя энергия многоатомного газа (молекула содержит три или больше атомов) в два раза больше, чем у одно-атомного при той же температуре:
поскольку вращение молекулы вокруг трех взаимно перпендикулярных осей вносит в энергию теплового движения такой же вклад, как поступательное движение молекулы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.
Отметим, что формулы (5.23) и (5.24) теряют силу для реальных газов при высоких температурах, так как при этом в молекулах возникают еще колебания атомов, что ведет к увеличению внутренней энергии газа. (Почему это не относится к формуле (5.22)?)
Работа газа при изменении его объема
Физический смысл молярной газовой постоянной. Опыт показывает, что сжатый газ в процессе своего расширения может выполнять работу. Приборы и агрегаты, действия которых основаны на этом свойстве газа, называют пневматическими. На этом принципе действуют пневматические молотки, механизмы для закрывания и открывания дверей на транспорте и т. д.
Представим себе цилиндр с подвижным поршнем, заполненный газом (рис. 5.4).
Пока давление газа внутри цилиндра и окружающего наружного воздуха одинаковы, поршень неподвижен. Пусть при этом температура газа и окружающей среды равна 
а давление равно р.
Будем теперь медленно нагревать газ в цилиндре до температуры 
. Газ при этом начинает изобарически расширяться (внешнее давление р остается постоянным), и поршень переместится из положения 1 в положение 2 на расстояние 
. При этом газ совершит работу против внешней силы. Сила F, совершающая эту работу, будет равна рS, где S — площадь сечения цилиндра. Из механики известно, что работа выражается формулой 
, или 
. Так как 
есть приращение объема газа в процессе его изобарического нагревания от до , имеем
Нетрудно сообразить, что при изохорическом процессе работа газа равна нулю, так как никакого изменения объема, занятого газом, в этом случае не происходит. Вообще следует помнить, что газ выполняет работу только в процессе изменения своего объема, т. е. при 
. Отметим, что при расширении газа 
работа газа положительна; при сжатии газа 
положительную работу выполняют внешние силы, а работа газа в этом случае отрицательна.
Выясним, как можно определить работу газа по графику зависимости р от V в том или ином газовом процессе. При изобарическом процессе график зависимости р от V представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, так как р постоянно. Из рис. 5.5 видно, что работа газа в этом случае численно равна заштрихованной площади.
Выясним, как найти работу газа при изотермическом процессе. На рис. 5.6 изображена изотерма идеального газа. При таком процессе газ выполняет работу, так как 
в этом случае отлично от нуля. Формулу (5.25) здесь применять нельзя, так как она верна при постоянном давлении р, а в изотермической процессе р изменяется. Однако можно взять такое малое приращение объема 
, при котором изменением давления можно пренебречь. Тогда приближенно можно считать, что при увеличении объема газа на 
давление остается постоянным. Работу 
при этом можно вычислять по формуле 
. На рис. 5.6 она выражается заштрихованной площадью.
Разбивая интервал 
на множество интервалов , настолько малых, что работу на каждом из них можно вычислять по формуле 
, полную работу газа найдем как сумму элементарных работ . Это означает, что работа газа будет равна сумме площадей, подобных заштрихованной площади на рис. 5.6. Следовательно, работа газа при изотермическом процессе выражается площадью, ограниченной двумя ординатами 
и 
, отрезком оси абсцисс и графиком зависимости р от V.
Можно строго доказать, что работа газа при любом процессе выражается площадью, ограниченной двумя ординатами, отрезком оси абсцисс и графиком того процесса в координатах V и р.
Выясним теперь физический смысл молярной газовой постоянной R. Применяя формулу (5.25) к одному молю идеального газа, получим
Но из уравнения Клапейрона — Менделеева (5.8) для одного моля можно записать для двух состояний газа:
Подставляя это выражение в (5.26), будем иметь 
, или
Из (5.27) следует, что молярная газовая постоянная численно равна работе, совершаемой одним молем идеального газа при его изобарическом нагревании на один кельвин.
Из соотношения 
видно, что постоянная Больцмана показывает, сколько работы в среднем приходится на одну молекулу идеального газа при изобарическом нагревании на один кельвин.
Услуги по физике:
Лекции по физике:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Законы газового состояния объединенное уравнение газового состояния
Уравнение состояния идеального газа определяет связь температуры, объема и давления тел.
- Позволяет определить одну извеличин, характеризующих состояние газа, по двум другим (используется в термометрах);
- Определить, как протекают процессы при определенных внешних условиях;
- Определить, как меняется состояние системы, если она совершает работу или получает тепло от внешних тел.
Уравнение Менделеева-Клапейрона (уравнение состояния идеального газа)
— универсальная газовая постоянная, R = kNA
Уравнение Клапейрона (объединенный газовый закон)
Частными случаями уравнения являются газовые законы, описывающие изопроцессы в идеальных газах, т.е. процессы, при которых один из макропараметров (T, P, V) в закрытой изолированной системе постоянный.
Количественные зависимости между двумя параметрами газа одной и той же массы при неизменном значении третьего параметра называют газовыми законами.
Газовые законы
Закон Бойля — Мариотта
Первый газовый закон был открыт английским ученым Р. Бойлем (1627—1691) в 1660 г. Работа Бойля называлась «Новые эксперименты, касающиеся воздушной пружины». И действительно, газ ведет себя подобно сжатой пружине, в этом можно убедиться, сжимая воздух в обычном велосипедном насосе.
Бойль изучал изменение давления газа в зависимости от объема при постоянной температуре. Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянной температуре называют изотермическим (от греческих слов isos — равный, therme — тепло).
Независимо от Бойля несколько позднее французский ученый Э. Мариотт (1620—1684) пришел к тем же выводам. Поэтому найденный закон получил название закона Бойля—Мариотта.
Произведение давления газа данной массы на его объем постоянно, если температура не меняется
Закон Гей-Люссака
Сообщение об открытии еще одного газового закона было опубликовано лишь в 1802 г., спустя почти 150 лет после открытия закона Бойля—Мариотта. Закон, определяющий зависимость объема газа от температуры при постоянном давлении (и неизменной массе), был установлен французским ученым Гей-Люссаком (1778— 1850).
Относительное изменение объема газа данной массы при постоянном давлении прямо пропорционально изменению температуры
Закон Шарля
Зависимость давления газа от температуры при постоянном объеме экспериментально установил французский физик Ж. Шарль (1746—1823) в 1787 г.
Ж. Шарль в 1787 г., т. е. раньше, чем Гей-Люссак, установил и зависимость объема от температуры при постоянном давлении, но он своевременно не опубликовал своих работ.
Давление данной массы газа при постоянном объеме прямо пропорционально абсолютной температуре.
| Название | Формулировка | Графики |
