Законы и уравнения поступательного и вращательного движения

Динамика поступательного и вращательного движений

Тема 2. Динамика поступательного и вращательного движений.

2) Основные характеристики динамики вращательного движения.

3) Работа и мощность. Механическая энергия.

Кинематика рассматривает движение тел, не интересуясь причинами, обуславливающими это движение и его изменение.

В основе динамики, которая изучает причины изменения движения, лежат законы Ньютона. Эти законы относятся к фундаментальным законам природы и доказать их справедливость или опровергнуть можно только опытом.

Второй закон Ньютона – основной закон динамики.

Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.

В динамике вводятся две новые физические величины – масса тела m и сила , а также способы их измерения. Масса тела m является количественной характеристикой инертных свойств тела. Она показывает, как тело реагирует на внешнее воздействие. Вторая – силаявляется количественной мерой действия одного тела на другое.

Второй закон Ньютона – это фундаментальный закон природы; он является обобщением опытных фактов, которые можно разделить на две категории:

1. Если на тела разной массы подействовать одинаковой силой, то ускорения, приобретаемые телами, оказываются обратно пропорциональны массам

2. Если силами разной величины подействовать на одно то же тело, то ускорения тела оказываются прямо пропорциональными приложенным силам.

Обобщая подобные наблюдения, Ньютон сформулировал основной закон динамики: Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение:

(1)

Это и есть второй закон Ньютона. Он позволяет вычислить ускорение тела, если известна его масса m и действующая на тело сила :

(2)

В международной системе единиц (СИ) за единицу силы принимается сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2. Эта единица называется ньютоном (Н).

Если на тело одновременно действуют несколько сил (например, и то под силой в формуле, выражающей второй закон Ньютона, нужно понимать равнодействующую всех сил:

Если равнодействующая сила равна нулю, то тело будет оставаться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Второй закон Ньютона также можно записать в виде:

(3).

Импульсом (количеством движения) называется векторная физическая величина, численно равная произведению массы тела на его скорость.

(4).

Основной единицей импульса тела в СИ является кг · м/с.

Тогда второй закон Ньютона окончательно примет вид :

(5)

Таким образом, скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе.

1) Сила всемирного тяготения. Сила тяжести. Вес тела.

Закон всемирного тяготения был сформулирован Ньютоном – сила всемирного тяготения прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел, т. е.

(6)

где — гравитационная постоянная, численно равная силе взаимодействия двух тел единичной массы, находящихся на единичном расстоянии друг от друга.

Сила всемирного тяготения является центральной силой, т. е. направленной вдоль прямой соединяющей центры тел.

Под действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым ускорением, равным ускорению свободного падения . Это означает, что на всякое тело массы m действует сила , называемая силой тяжести.

Когда тело покоится относительно Земли, сила тяжести уравновешивается силой реакции опоры (или подвеса), удерживающей тело от падения. По третьему закону Ньютона, тело будет действовать на опору (или подвес) с силой , равной по величине и противоположной ей по направлению, т. е. .

Сила, с которой тело действует на опору или подвес, вследствие притяжения к Земле, называется весом тела.

Силы трения появляются при перемещении двух соприкасающихся тел или частей тела относительно друг друга.

Силы трения направлены по касательной к трущимся поверхностям, причем так, что они противодействуют относительному смещению этих поверхностей.

В случае сухого трения, сила трения возникает не только при скольжении одной поверхности по другой, но также и при попытках вызвать такое смещение. В этом случае сила трения называется силой трения покоя.

Опыт показывает, что максимальная сила трения покоя равна

(7)

где N – сила нормального давления, — безразмерный коэффициент, зависящий от рода соприкасающихся тел и чистоты обработки поверхности и называемый коэффициентом

Следует иметь в виду, что, помимо сил трения, при движении в жидкости или газе возникают силы сопротивления среды, которые могут быть гораздо больше сил трения. Характерной особенностью этих сил является их зависимость от скорости движения тела и его формы.

Если на вал с диском действуют две силы , то простой опыт показывает, что равновесие имеет место только при условии, что , т. е. когда моменты сил равны по величине и противоположны по направлению.

(8)

называется моментом силы относительно точки О.

Модуль вектора определяется по формуле

(9) ,

где — плечо силы, т. е. кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы.

(10)

называют моментом импульса материальной точки относительно точки.

(11)

называют моментом импульса твердого тела относительно точки.

(12)

называют моментом инерции материальной точки относительно оси вращения, а величину

(13)

моментом инерции твердого тела.

Любое твердое тело можно разбить на элементарные массы , расположенные на расстоянии от оси вращения. Тогда момент инерции твердого тела может быть определен по формуле , где интегрирование должно быть распространено на весь объем тела.

Момент инерции тела зависит от положения оси вращения. Для определения момента инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс, можно пользоваться теоремой Гюйгенса – Штейнера

(14),

где — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, — момент инерции относительно новой оси, — расстояние между осями, — масса тела.

Момент инерции во вращательном движении играет ту же роль, что и масса в поступательном движении, т. е. является мерой инертности тела во вращательном движении.

Второй закон Ньютона для вращающегося тела можно записать в виде:

(15).

Так как , то можно найти и другую форму записи данного закона:

(16).

Это выражение получило название основного уравнения динамики вращательного движения.

Энергия – универсальная количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи.

С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, внутреннюю, электромагнитную и т. д.

Чтобы количественно характеризовать процесс перехода энергии от одного тела к другому, в механике вводится физическая величина, называемая механической работой силы, приложенной к данному телу. Механическая работа — это мера превращения одного вида энергии в другой.

Если тело движется прямолинейно под действием постоянной силы , составляющей постоянный угол с направлением перемещения , то работа этой силы определяется по формуле

. (17)

В общем случае сила может изменяться как по величине, так и по направлению. Чтобы найти работу переменной силы, пройденный путь разбивается на большое число участков длиной , так чтобы их можно было считать прямолинейными, а действующую силу в любой точке данного участка – постоянной. Тогда элементарная работа

(18)

а работа переменной силы на всем пути будет равна сумме элементарных работ:

(19)

При А > 0, при А

Поступательное и вращательное движение

Движение твердого тела разделяют на виды:

• поступательное;
• вращательное по неподвижной оси;
• плоское;
• вращательное вокруг неподвижной точки;
• свободное.

Первые два из них – простейшие, а остальные представляют как комбинацию основных движений.

Поступательное криволинейное движение. Угол поворота тела

Поступательным называют движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в нем, двигается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.

Прямолинейное движение является поступательным, но не всякое поступательное будет прямолинейным. При наличии поступательного движения путь тела представляют в виде кривых линий.

Рисунок 1 . Поступательное криволинейное движение кабин колеса обзора

Свойства поступательного движения определяются теоремой: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени обладают одинаковыми по модулю и направлению значениями скорости и ускорения.

Следовательно, поступательное движение твердого тела определено движением любой его точки. Это сводится к задаче кинематики точки.

Если имеется поступательное движение, то общая скорость для всех точек тела υ → называется скоростью поступательного движения, а ускорение a → — ускорением поступательного движения. Изображение векторов υ → и a → принято указывать приложенными в любой точке тела.

Понятие о скорости и ускорении тела имеют смысл только при наличии поступательного движения. В других случаях точки тела характеризуются разными скоростями и ускорениями.

Вращательное движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси – это движение всех точек тела, находящихся в плоскостях, перпендикулярных неподвижной прямой, называемой осью вращения, и описывание окружностей, центры которых располагаются на этой оси.

Чтобы определить положение вращающегося тела, необходимо начертить ось вращения, вдоль которой направляется ось A z , полуплоскость – неподвижную, проходящую через тело и движущуюся с ним, как показано на рисунке 2 .

Рисунок 2 . Угол поворота тела

Положение тела в любой момент времени будет характеризоваться соответствующим знаком перед углом φ между полуплоскостями, который получил название угол поворота тела. При его откладывании, начиная от неподвижной плоскости (направление против хода часовой стрелки), угол принимает положительное значение, против плоскости – отрицательное. Измерение угла производится в радианах. Для определения положения тела в любой момент времени следует учитывать зависимость угла φ от t , то есть φ = f ( t ) . Уравнение является законом вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

При наличии такого вращения значения углов поворота радиус-вектора различных точек тела будут аналогичны.

Вращательное движение твердого тела характеризуется угловой скоростью ω и угловым ускорением ε .

Уравнения вращательного движения получают из уравнений поступательного, используя замены перемещения S на угловое перемещение φ , скорость υ на угловую скорость ω , а ускорение a на угловое ε .

Вращательное и поступательное движение. Формулы

Задачи на вращательное движение

Дана материальная точка, которая движется прямолинейно соответственно уравнению s = t 4 + 2 t 2 + 5 . Вычислить мгновенную скорость и ускорение точки в конце второй секунды после начала движения, среднюю скорость и пройденный за этот промежуток времени путь.

Дано: s = t 4 + 2 t 2 + 5 , t = 2 с .

Найти: s ; υ ; » open=» υ ; α .

Решение

s = 2 4 + 2 · 2 2 + 5 = 29 м .

υ = d s d t = 4 t 3 + 4 t = 4 · 2 3 + 4 · 2 = 37 м / с .

» open=» υ = ∆ s ∆ t = 29 2 = 14 , 5 м / с .

a = d υ d t = 12 t 2 + 4 = 12 · 2 2 + 4 = 52 м / с 2 .

Ответ: s = 29 м ; υ = 37 м / с ; » open=» υ = 14 , 5 м / с ; α = 52 м / с 2

Задано тело, вращающееся вокруг неподвижной оси по уравнению φ = t 4 + 2 t 2 + 5 . Произвести вычисление мгновенной угловой скорости, углового ускорения тела в конце 2 секунды после начала движения, средней угловой скорости и угла поворота за данный промежуток времени.

Дано: φ = t 4 + 2 t 2 + 5 , t = 2 с .

Найти: φ ; ω ; » open=» ω ; ε .

Решение

φ = 2 4 + 2 · 2 2 + 5 = 29 р а д .

ω = d φ d t = 4 t 3 + 4 t = 4 · 2 3 + 4 · 2 = 37 р а д / с .

» open=» ω = ∆ φ ∆ t = 29 2 = 14 , 5 р а д / с .

ε = d ω d t = 12 2 + 4 = 12 · 2 2 + 4 = 52 р а д / с 2 .

Ответ: φ = 29 р а д ; ω = 37 р а д / с ; » open=» ω = 14 , 5 р а д / с ; ε = 52 р а д / с 2 .

Вращательное движение тела. Закон вращательного движения

В этой статье описывается важный раздел физики — «Кинематика и динамика вращательного движения».

Основные понятия кинематики вращательного движения

Вращательным движением материальной точки вокруг неподвижной оси называют такое движение, траекторией которого является окружность, находящаяся в плоскости перпендикулярной к оси, а центр ее лежит на оси вращения.

Вращательное движение твердого тела — это движение, при котором по концентрическим (центры которых лежат на одной оси) окружностям движутся все точки тела в соответствии с правилом для вращательного движения материальной точки.

Пусть произвольное твердое тело T совершает вращения вокруг оси O, которая перпендикулярна плоскости рисунка. Выберем на данном теле точку M. При вращении эта точка будет описывать вокруг оси O круг радиусом r.

Через некоторое время радиус повернется относительно исходного положения на угол Δφ.

За положительное направление поворота принято направление правого винта (по часовой стрелке). Изменение угла поворота со временем называется уравнением вращательного движения твердого тела:

Если φ измерять в радианах (1 рад — это угол, соответствующий дуге, длиной равной ее радиусу), то длина дуги окружности ΔS, которую пройдет материальная точка M за время Δt, равна:

Основные элементы кинематики равномерного вращательного движения

Мерой перемещения материальной точки за небольшой промежуток времени dt служит вектор элементарного поворота dφ.

Угловая скорость материальной точки или тела — это физическая величина, которая определяется отношением вектора элементарного поворота к продолжительности этого поворота. Направление вектора можно определить правилом правого винта вдоль оси О. В скалярном виде:

Если ω = dφ/dt = const, то такое движение называется равномерное вращательное движение. При нем угловую скорость определяют по формуле

Согласно предварительной формуле размерность угловой скорости

Равномерное вращательное движение тела можно описать периодом вращения. Период вращения T — физическая величина, определяющая время, за которое тело вокруг оси вращения выполняет один полный оборот ([T] = 1 с). Если в формуле для угловой скорости принять t = T, φ = 2 π (полный один оборот радиуса r), то

поэтому период вращения определим следующим образом:

Число оборотов, которое за единицу времени совершает тело, называется частотой вращения ν, которая равна:

Единицы измерения частоты: [ν]= 1/c = 1 c -1 = 1 Гц.

Сравнивая формулы для угловой скорости и частоты вращения, получим выражение, связывающее эти величины:

Основные элементы кинематики неравномерного вращательного движения

Неравномерное вращательное движение твердого тела или материальной точки вокруг неподвижной оси характеризует его угловая скорость, которая изменяется со временем.

Вектор ε, характеризующий скорость изменения угловой скорости, называется вектором углового ускорения:

Если тело вращается, ускоряясь, то есть dω/dt > 0, вектор имеет направление вдоль оси в ту же сторону, что и ω.

Если вращательное движение замедлено — dω/dt 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Итак, в скалярном виде

Тангенциальное ускоренной материальной точки, которая выполняет вращательное движение

Момент импульса материальной точки

Векторное произведение радиуса-вектора траектории материальной точки массой m_i на ее импульс называется моментом импульса этой точки касательно оси вращения. Направление вектора можно определить, воспользовавшись правилом правого винта.

Момент импульса материальной точки (L_i) направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через r_i и υ_i, и образует с ними правую тройку векторов (то есть при движении с конца вектора r_i к υ_i правый винт покажет направление вектора L_i).

В скалярной форме

Учитывая, что при движении по кругу радиус-вектор и вектор линейной скорости для i-й материальной точки взаимно перпендикулярные,

Так что момент импульса материальной точки для вращательного движения примет вид

Момент силы, которая действует на i-ю материальную точку

Векторное произведение радиуса-вектора, который проведен в точку приложения силы, на эту силу называется моментом силы, действующей на i-ю материальную точку относительно оси вращения.

В скалярной форме

Величина l_i, равная длине перпендикуляра, опущенного из точки вращения на направление действия силы, называется плечом силы F_i.

Динамика вращательного движения

Уравнение динамики вращательного движения записывается так:

Формулировка закона следующая: скорость изменения момента импульса тела, которое совершает вращение вокруг неподвижной оси, равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, приложенных к телу.

Момент импульса и момент инерции

Известно, что для i-й материальной точки момент импульса в скалярной форме задается формулой

Если вместо линейной скорости подставить ее выражение через угловую:

то выражение для момента импульса примет вид

Величина I_i = m_ir_i 2 называется моментом инерции относительно оси i-й материальной точки абсолютно твердого тела, проходящей через его центр масс. Тогда момент импульса материальной точки запишем:

Момент импульса абсолютно твердого тела запишем как сумму моментов импульса материальных точек, составляющих данное тело:

Момент силы и момент инерции

Закон вращательного движения гласит:

Известно, что представить момент импульса тела можно через момент инерции:

Учитывая, что угловое ускорение определяется выражением

получим формулу для момента силы, представленного через момент инерции:

Замечание. Момент силы считается положительным, если угловое ускорение, которым он вызван, больше нуля, и наоборот.

Теорема Штейнера. Закон сложения моментов инерции

Если ось вращения тела через центр масс его не проходит, то относительно этой оси можно найти его момент инерции по теореме Штейнера:
I = I₀ + ma 2 ,

где I₀ — начальный момент инерции тела; m — масса тела; a — расстояние между осями.

Если система, которая совершает обороты округ неподвижной оси, состоит из n тел, то суммарный момент инерции такого типа системы будет равен сумме моментов, ее составляющих (закон сложения моментов инерции).