Законы ньютона уравнение динамики поступательного движения

Поступательное движение — характеристика, формулы и примеры расчетов

Поступательное движение в школьной программе изучает предмет физика. Для понимания, что оно собой представляет, каким законам подчиняется, изучим основную терминологию и рассмотрим понятие на конкретных примерах, которые встречаются в повседневной жизни.

Что такое поступательное движение

Перемещение твердого тела (всех взаимосвязанных его точек) с помощью механического воздействия по заданной траектории и в определенном направлении, в результате которого отрезок из двух любых точек данного тела будет всегда параллелен своему расположению, предшествующему нынешнему, в каждый отрезок времени, называется поступательным движением.

В процессе перемещения характеристика объекта не меняется: по составу, форме и величинам сторон. Причем в любой отрезок времени точки объекта обладают одним и тем же направлением модулей векторов скорости и ускорения, а их величины равны.

Выделяют прямолинейное поступательное движение и криволинейное.

В качестве примеров поступательного движения в можно привести функционирование по определенной траектории различного оборудования и механизмов.

К ним относятся:

перемещение стрелы с грузом строительного подъемного крана относительно его кабины, в которой сидит рабочий;

подъем и спуск лифта в шахте;

педали у велосипеда. При этом каждая его точка, напротив, совершает вращательные движения;

совершение кабиной оборотов на колесе обозрения в парках аттракционов.

Теорема о поступательном движении

Материальные точки объекта (тела), осуществляющего поступательные движения, перемещаются по одному и тому же пути, а скорости и ускорения в каждый промежуток времени совпадают по модулю вектора и направлению.

Доказательство теоремы

Докажем данную теорему. Для этого необходимо провести прямую линию через две любые точки твердого тела, осуществляющего поступательное движение – пусть это будут точки А и В.

Полученный отрезок АВ совершает перемещение по заданному пути: А описывает траекторию АА₁А₂А₃А_n, а В соответственно – В₁В₂В₃В_n.

Отсюда следует, что:

Принимая во внимание, что размеры данного отрезка АВ неизменны (const) при перемещении, а сам он имеет свойство двигаться в пространстве параллельно своему предыдущему местоположению, значит направления точки А и точки В совпадают.

Соотношение радиусов-векторов точек А и В в системе координат относительно ее начала – О (Рис 1),

можно выразить формулой:

где линии пути точки А соответствует функция r_A(t), точки B – r_B(t).

Теорема доказывает, что для определения поступательного движения твердого материального объекта достаточно знать параметры перемещения любой одной его точки. Следовательно, изучая кинематику передвижения точки тела, решается задача определения поступательного движения.

Основной закон динамики поступательного движения

Основной закон динамики поступательного движения трактует II закон Ньютона.

Формулировка закона звучит следующим образом:

Совокупность равнодействующих сил, оказывающих воздействие на материальное тело, способствует возникновению ускорения. То есть, ускорение прямо пропорционально векторному суммарному значению оказываемых на него сил, и обратно пропорционально массе объекта.

Основное уравнение закона приведено ниже:

где m — масса твердого тела;

Причем у равнопеременного движения векторное ускорение

II закон Ньютона работает исключительно в ИСО (инерциальная система отсчета), где объекты двигаются равномерно, прямолинейно или находятся в состоянии покоя.

Законы Ньютона. Динамика.

теория по физике 🧲 динамика

Три закона Ньютона

Динамика — раздел механики, изучающий причины движения тел и способы определения их ускорения. В нем движение тел описывается с учетом их взаимодействия.

Большой вклад в развитие динамики внес английский ученый Исаак Ньютон. Он первым смог выделить законы движения, которым подчиняются все макроскопические тела. Эти законы называют законами Ньютона, законами механики, законами динамики или законами движения тел.

Внимание! Законы Ньютона нельзя применять к произвольным телам. Они применимы только к точке, обладающей массой — к материальной точке.

Основное утверждение механики

Для описания движения тела можно взять любую систему отсчета. Обычно для этого используется система отсчета, связанная с Землей. Если какое-то тело меняет свою скорость, рядом с ним всегда можно обнаружить другое тело, которое на него действует. Так, если поднять камень и отпустить, он не останется висеть в воздухе, а упадет вниз. Следовательно, на него что-то подействовало. В данном случае сама Земля притянула камень к себе. Отсюда следует основное утверждение механики:

Основное утверждение механики

Изменение скорости (ускорение) тела всегда вызывается воздействием на него других тел.

Согласно утверждению, если на тело не действуют никакие силы, его ускорение будет нулевым, и оно будет либо покоиться, либо двигаться равномерно и прямолинейно (с постоянной скоростью).

Но в нашем мире мы не всегда это наблюдаем. И этому есть объяснение. Если тело покоится, оно действительно не меняет свою скорость. Так, мяч лежит на траве до тех пор, пока его не пнут. После того, как его пнут, он начинает катиться, но затем останавливается. Пока мяч катится, к нему больше не прикасаются. Казалось бы, согласно основному утверждению механики, мяч должен катиться вечно. Но этого не происходит, потому что на мяч действует сила трения, возникающая между его поверхностью и травой.

Основное утверждение механики можно проиллюстрировать в открытом космосе в месте, где сила притяжения космических тел пренебрежимо мала. Если в космосе придать телу скорость и отпустить, оно будет двигаться с такой скоростью по прямой линии до тех пор, пока на него не подействуют другие силы. Ярким примером служат межгалактические звезды, или звезды-изгои. Гравитационно они не связаны ни с одной из галактик, а потому движутся с постоянной скоростью. Так, звезда HE 0437-5439 удаляется от нашей галактики с постоянной скоростью 723 км/с.

Свободное тело — тело, на которое не действуют другие тела. Свободное тело либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно.

Первый закон Ньютона

Исаак Ньютон, изучая движение тел, заметил, что относительно одних систем отсчета свободные тела сохраняют свою скорость, а относительно других — нет. Он разделил их на две большие группы: инерциальные системы отсчета и неинерциальные. В этом кроется первый закон динамики.

Первый закон Ньютона

Существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, относительно которых тела движутся равномерно и прямолинейно или находятся в состоянии покоя, если на них не действуют другие тела или их действие компенсировано.

Примером инерциальной системы отсчета служит система отсчета, связанная с Землей (геоцентрическая). Другой пример — гелиоцентрическая система отсчета (связанная с Солнцем).

Неинерциальная система отсчета — система отсчета, в которой тела могут менять свою скорость при отсутствии на них действия других тел.

Примером неинерциальной системы отсчета служит автобус. Когда он движется равномерно и прямолинейно, стоящие внутри пассажиры находятся относительно него в состоянии покоя. Но когда автобус останавливается, пассажиры падают вперед, т. е. меняют свою скорость, хотя на них не действуют другие тела.

Второй закон Ньютона

В примере с автобусом видно, что пассажиры стараются сохранить свою скорость относительно Земли — инерциальной системы отсчета. Такое явление называется инерцией.

Инерция — явление, при котором тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Инертность — физическое свойство, заключающееся в том, что любое тело оказывает сопротивление изменению его скорости (как по модулю, так и по направлению).

Не все тела одинаково инертны. Вы можете взять мячик и придать ему большое ускорение. Но вы не можете придать такое же ускорение гире, хотя она обладает похожим размером. Но мячик и гиря различаются между собой массой.

Масса — скалярная физическая величина, являющаяся мерой инертности тела. Чем больше масса, тем больше инертность тела.

Масса обозначается буквой m. Единица измерения массы — кг. Прибор для измерения массы — весы.

Чтобы придать одинаковую скорость двум телам с разной инертностью, к телу с большей инертностью придется приложить больше силы. Попробуйте сдвинуть с места стол, а затем — шкаф. Сдвинуть с места стол будет проще.

Если же приложить две одинаковые силы к телам с разной инертностью, будет видно, что тело с меньшей инертностью получает большее ускорение. Если приставить к пружине теннисный шарик, а затем сжать ее и резко отпустить, шарик улетит далеко. Если вместо теннисного шарика взять железный, он лишь откатится на некоторое расстояние.

Описанные выше примеры показывают, что между силой, прикладываемой к телу, и ускорением, которое оно получает в результате прикладывания этой силы, и массой этого тела есть взаимосвязь. Она раскрывается во втором законе Ньютона.

Второй закон Ньютона

Сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на ускорение, которое сообщает эта сила.

где F — сила, которую прикладывают к телу, a — ускорение, которое сообщает эта сила, m — масса тела

Сила — количественная мера действия тел друг на друга, в результате которого тела получают ускорения.

Сила — векторная физическая величина. Обозначается F . Единица измерения — Н (Ньютон). Прибор для измерения силы — динамометр.

Пример №1. Определить, с какой силой действует Земля на яблоко, если, упав с ветки, оно получило ускорение 9,8 м/с 2 . Масса яблока равна 200 г.

Сначала переведем массу яблока в кг. 200 г = 0,2 кг. Теперь найдем силу, действующую на яблоко со стороны Земли, по второму закону Ньютона:

F = ma = 0,2 ∙ 9,8 = 1,96 (Н)

Равнодействующая сила

Иногда на тело действуют несколько сил. Тогда при описании его движения вводится понятие равнодействующей силы.

Равнодействующая сила — векторная сумма всех сил, действующих на тело одновременно.

В этом случае второй закон Ньютона формулируется так:

Второй закон Ньютона через равнодействующие силы

Если на тело действует несколько сил, но их равнодействующая R будет равна произведению массы на ускорение этого тела.

Правила сложения сил и их проекций

Сложение двух сил, направленных вдоль одной прямой в одну сторону

Если F ₁↑↑ F ₂, то:

Равнодействующая сила сонаправлена с обеими силами.

Сложение двух сил, направленных вдоль одной прямой во взаимно противоположных направлениях

Если F ₁↑↓ F ₂, то:

Равнодействующая сила направлена в сторону направления большей по модулю силы.

Сложение двух сил, перпендикулярных друг к другу

Если F ₁ перпендикулярна F ₂, то равнодействующая сила вычисляется по теореме Пифагора:

Сложение двух сил, расположенных под углом α друг к другу

Если F ₁ и F ₂ расположены под углом α друг к другу, равнодействующая сила вычисляется по теореме косинусов:

Сложение трех сил

Способ сложения определяется правилами сложения векторов. В данном случае:

Сложение проекций сил

Проекция на ось ОХ:

Проекция на ось OY:

Третий закон Ньютона

Когда одно тело действует на другое, начинается взаимодействие этих тел. Это значит, если тело А действует на тело В и сообщает ему ускорение, то и тело В действует на тело А, тоже придавая ему ускорение. К примеру, если сжать пружину руками, то руки будут чувствовать сопротивление, оказываемое силой упругости пружины. Если же, находясь в лодке, начать тянуть за веревку вторую лодку, то обе лодки будут двигаться навстречу друг другу. То есть, вы, находясь в своей лодке, тоже будете двигаться навстречу второй лодке.

Иногда на тело действует сразу несколько сил, но тело продолжает покоиться. В этом случае говорят, что силы друг друга компенсируют, то есть их равнодействующая равна нулю.

Две силы независимо от их природы считаются равными по модулю и противоположно направленными, если их одновременное действие на тело не меняет его скорости.

Примером такого явления служит ситуация, когда при перетягивании каната его никто не может перетянуть в свою сторону. Если взять два каната и присоединить между ними два динамометра, а затем начать игру в перетягивание, выяснится, что показания динамометра всегда будут одинаковыми. Это значит, что независимо от масс и придаваемых ускорений два взаимодействующих тела оказывают друг на друга равные по модулю силы. В этом заключается смысл третьего закона Ньютона.

Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по модулям и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Используя второй закон Ньютона, третий закон механики можно переписать иначе:

Отношение модулей ускорений a ₁ и a ₂ взаимодействующих друг с другом тел определяется обратным отношением их масс и совершенно не зависит от характера действующих между ними сил.

Пример №2. Определить ускорение, с которым движется Земля к падающему на нее яблоку. Масса яблока равна 0,2 кг. Ускорение свободного падения принять равной за 10 м/с 2 . Массу Земли принять равно 6∙10 24 кг.

Согласно третьему закону Ньютона модули сил, с которыми взаимодействуют Земли и яблоко, равны. Поэтому:

Пусть тело 1 будет яблоко, а тело 2 — Земля. Тогда a₁ будет равно g. Отсюда ускорение, с которым движется Земля к падающему на нее яблоку, равна:

Скорость тела массой 5 кг, движущегося вдоль оси Ох в инерциальной системе отсчёта, изменяется со временем в соответствии с графиком (см. рисунок). Равнодействующая приложенных к телу сил в момент времени t=2,5 с равна…

Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

Первый закон Ньютона

Динамика – раздел механики, в котором изучается движение тел с учетом причин, вызывающих или изменяющих это движение. Классическая динамика базируется на трех законах Ньютона.

Первый закон Ньютона гласит: всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции, а движение тела, свободного от внешних воздействий – движением по инерции.

Система отсчета, в которой справедлив закон инерции, называется инерциальной системой отсчета. Всякая система отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы отсчета поступательно, равномерно и прямолинейно, является также инерциальной системой отсчета.

Инерциальная система отсчета может рассматриваться как модель, к которой реальная система отсчета имеет ту или иную степень приближения. Достаточно близка к инерциальной системе отсчета гелиоцентрическая система, начало которой совпадает с центром масс Солнечной системы, а оси координат направлены на три звезды.

Для описания механического действия тел друг на друга вводят понятие силы. Силой,действующей на тело, называют физическую величину, являющуюся мерой механического действия на это тело со стороны какого-либо другого тела, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет форму и размеры.

Механическое взаимодействие может осуществляться как между непосредственно контактирующими телами (например, при ударе, трении, давлении друг на друга и т. п.), так и между удаленными телами.

Особая форма материи, связывающая частицы вещества в единые системы и передающая с конечной скоростью действие одних частиц на другие, называется физическим полем или просто полем.

Взаимодействие между удаленными телами осуществляется посредством связанных с ними гравитационных и электромагнитных полей.

Пользуясь понятием силы, в механике обычно говорят о движении и деформации рассматриваемого тела под действием приложенных к нему сил. При этом конечно, каждой силе всегда соответствует какое-то определенное тело или поле, действующее с этой силой.

Сила F полностью задана, если указаны ее модуль F, направление в пространстве и точка приложения.

Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Центральными называются силы, которые всюду направлены вдоль прямых, проходящих через одну и ту же неподвижную точку — центр сил, и зависят только от расстояния до центра сил.

Поле, действующее на материальную точку с силой F, называется стационарным полем, если оно не изменяется с течением времени.

Единица силы — ньютон (Н): 1Н — сила, которая массе в 1кг сообщает ускорение 1м/с 2 в направлении действия силы.

Если на тело действуют одновременно n сил … приложенных в одной и той же точке A тела, то n сил можно заменить одной силой , равной их геометрической сумме

(2.1.1)

где — результирующая или равнодействующая сила.

Масса. Второй закон Ньютона

Эксперимент показывает, что под действием силы свободное тело изменяет скорость своего поступательного движения, приобретая ускорение Второй закон Ньютона справедлив в инерциальной системе отсчета и устанавливает связь между ускорением тела и силами, действующими на него: ускорение, приобретаемое телом, пропорционально равнодействующей всех сил , действующих на тело, и обратно пропорционально его массе т

.

(2.1.2)

В ньютоновской механике, в основе которой лежат законы Ньютона, масса тела характеризует инерционные свойства тела, не зависит от положения тела в пространстве, его скорости, действия на тело других тел и т.д. Масса является величиной аддитивной, т.е. масса тела равна сумме масс всех его частей. Однако свойство аддитивности утрачивается при скоростях, близких к скорости света в вакууме, т.е. в релятивистской механике. За основную единицу массы, называемую килограммом (кг), принимают массу эталонного тела, хранящегося в международном бюро мер и весов.

Уравнение (2.1.2) описывает изменение движения протяженного тела под действием силы только при условии, что тело: 1) не деформируется, и 2) движется поступательно. В противном случае ускорения разных точек тела неодинаковы, и изменение движения всего тела (системы материальных точек) нельзя описать с помощью единого ускорения . Для материальной точки условия 1) и 2) всегда выполняются, и поэтому формулу (2.1.3) называют основным уравнением динамики материальной точки.

Если на материальную точку действуют несколько сил, то где (2.1.1):

.

(2.1.4)

Таким образом, если на материальную точку одновременно действуют несколько сил, то каждая из них сообщает материальной точке такое же ускорение, как если бы других сил не было – формулировка принципа независимости действия сил.

Импульс материальной точки

Импульсом или количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость:

Единица измерения импульса — .

Импульс является одной из важнейших динамических характеристик, зависящей как от быстроты движения материальной точки, так и от ее инертности. Используя выражение (1.1.9) можно показать, что:

С другой стороны, согласно (2.1.2), Следовательно

(2.1.5)

Уравнение (2.1.5) является одним из математических выражений второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна силе, действующей на точку. Из (2.1.6) следует, что где — элементарный импульс силы за малый промежуток времени dt. Таким образом, изменение импульса материальной точки за малый промежуток времени dt равно элементарному импульсу результирующей силы (за тот же промежуток времени), действующей на материальную точку.

Соответственно изменение импульса материальной точки за время от t₁ до t₂: — импульс силы за это же время. Если то — линейная функция от времени t:

(2.1.6)

где υ₀ – начальная скорость материальной точки (при t = 0). При Из (2.1.6) следует, что за промежуток времени Dt = t₂ — t₁

(2.1.7)

Если то

(2.1.8)

где — среднее значение переменной силы за промежуток времени Dt.

Третий закон Ньютона. Движение центра инерции

Механическое воздействие двух тел друг на друга всегда представляет собой их взаимодействие. На основе количественного анализа механического взаимодействия тел Ньютон установил свой третий закон динамики, который гласит: действия двух тел друг на друга всегда равны и направлены по одной прямой в противоположные стороны, то есть

(2.1.9)

Здесь — сила, действующая на тело 1 со стороны тела 2, а — наоборот, соответственно (рис.2.1). Третий закон Ньютона является существенным дополнением к первому и второму законам Ньютона.

В механике Ньютона из-за независимости массы от скорости импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс.

Центром инерции или центром масс системы материальных точек называют такую точку C, радиус — вектор которой определяется следующим выражением:

(2.1.10,а)

где и — масса и радиус-вектор i-ой материальной точки системы; m – общая масса всей системы; n – число материальных точек в системе. Соответственно декартовые компоненты центра масс равны:

(2.1.10,б)

Найдем скорость движения центра инерции системы:

(2.1.11)

Геометрическую сумму импульсов всех материальных точек системы называют импульсом системы : Следовательно, из (2.1.11)

(2.1.12)

Тела, не входящие в состав рассматриваемой механической системы, называют внешними, а силы, действующие на систему со стороны этих тел – внешними силами. Силы взаимодействия между телами системы называют внутренними силами. Если — сила, действующая на i-ую материальную точку со стороны k-ой, то результирующая со стороны всех внутренних сил, приложенных к i-ой точке, равна:

(2.1.13)

В уравнении (2.1.13) k пробегает значения от 1 до n, кроме i, так как i-ая точка не может действовать сама на себя.

Пусть на i-ую материальную точку действует внешняя сила , при этом по второму закону Ньютона (2.1.6) для системы материальных точек можно записать следующие уравнения:

…………………………………………..

(2.1.14)

Складывая почленно уравнения (2.1.14), и группируя попарно силы и , можно получить: Согласно третьему закону Ньютона (2.1.9) и, как следствие, — называют главным вектором внешних сил. С другой стороны, , то есть

(2.1.15,а)

Уравнение (2.1.15,а) называют основным уравнением динамики поступательного движения системы материальных точек, которое показывает, что скорость изменения импульса механической системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на эту систему. В проекциях на декартовые оси выражение (2.1.15,а) примет вид:

(2.1.15,б)

В (2.1.15,б) С помощью уравнения (2.1.12) можно переписать (2.1.15,а)

или

(2.1.16)

где — ускорение центра инерции. Таким образом, центр инерции механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы, и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил, приложенных к системе.

В общем случае движение твердого тела можно рассматривать как сумму двух движений: 1) поступательного со скоростью, равной скорости центра масс, и 2) вращательного вокруг центра инерции (С). Поэтому уравнение (2.1.16) часто называют основным уравнением динамики поступательного движения твердого тела.

Закон сохранения импульса

Механическую систему называют замкнутой или изолированной, если на нее не действуют внешние силы, то есть если она не взаимодействует с внешними телами. Для замкнутой системы главный вектор внешних сил тождественно равен нулю. Поэтому из выражения (2.1.15,а) следует закон, который называют законом сохранения импульса: импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени, то есть

и

(2.1.17)

где и — масса и скорость i-ой материальной точки системы. Так как из (2.1.12) известно, что то, используя уравнение (2.1.17), можно показать, что при любых процессах, происходящих в замкнутой системе, скорость ее центра инерции сохраняется неизменной.

Если система не замкнута, но главный вектор внешних сил , то уравнение (2.1.17) справедливо и в открытой системе. Обычно приходится иметь дело с незамкнутыми системами, для которых и, как следствие, Однако если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось, неподвижную относительно инерциальной системы отсчета, тождественно равна нулю, то проекция на эту же ось вектора импульса системы не зависит от времени. Например, если = 0, то и, следовательно, р_x = const – закон сохранения проекции импульса.

При соударении тел друг с другом они претерпевают деформации. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации или в так называемую внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии тел сопровождается повышением температуры. Существуют два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий.

Рассмотрим применение закона сохранения импульса (2.1.17) на примере удара двух тел.

Ударом называется явление изменения скорости тел на конечные величины за очень малый промежуток времени, происходящее при столкновении тел. Общую нормаль к поверхностям соударяющихся тел в точке их соприкосновения называют линией удара. Удар называют прямым, если перед ударом скорости центров инерции соударяющихся тел параллельны линии удара. Удар называют центральным, если центры инерции соударяющихся тел лежат на линии удара.

Прямой центральный удар называют абсолютно неупругим, если после удара тела движутся как одно целое (рис.2.2). Если скорости двух тел до удара соответственно равны – и , а массы их определяются значениями m₁ и m₂, то общая скорость тел после абсолютно неупругого удара , согласно уравнению (2.1.17), может быть представлена в виде: