Замечательные предел уравнения и решение

Замечательные пределы

Термин «замечательный предел» широко используется в учебниках и методических пособиях для обозначения важных тождеств, которые помогают существенно упростить работу по нахождению пределов.

Но чтобы суметь привести свой предел к замечательному, нужно к нему хорошенько приглядеться, ведь они встречаются не в прямом виде, а часто в виде следствий, снабженные дополнительными слагаемыми и множителями. Впрочем, сначала теория, потом примеры, и все у вас получится!

Первый замечательный предел

Первый замечательный предел записывается так (неопределенность вида $0/0$):

Следствия из первого замечательного предела

Примеры решений: 1 замечательный предел

Решение. Первый шаг всегда одинаковый — подставляем предельное значение $x=0$ в функцию и получаем:

Получили неопределенность вида $\left[\frac<0><0>\right]$, которую следует раскрыть. Если посмотреть внимательно, исходный предел очень похож на первый замечательный, но не совпадает с ним. Наша задача — довести до похожести. Преобразуем так — смотрим на выражение под синусом, делаем такое же в знаменателе (условно говоря, умножили и поделили на $3x$), дальше сокращаем и упрощаем:

Выше как раз и получился первый замечательный предел: $$ \lim\limits_\frac<\sin (3x)> <3x>= \lim\limits_\frac<\sin (y)>=1, \text < сделали условную замену >y=3x. $$ Ответ: $3/8$.

Решение. Подставляем предельное значение $x=0$ в функцию и получаем:

Получили неопределенность вида $\left[\frac<0><0>\right]$. Преобразуем предел, используя в упрощении первый замечательный предел (три раза!):

Решение. А что если под тригонометрической функцией сложное выражение? Не беда, и тут действуем аналогично. Сначала проверим тип неопределенности, подставляем $x=0$ в функцию и получаем:

Получили неопределенность вида $\left[\frac<0><0>\right]$. Умножим и поделим на $2x^3+3x$:

Снова получили неопределенность, но в этом случае это просто дробь. Сократим на $x$ числитель и знаменатель:

Второй замечательный предел

Второй замечательный предел записывается так (неопределенность вида $1^\infty$):

$$ \lim\limits_ \left( 1+\frac<1>\right)^=e, \quad \text <или>\quad \lim\limits_ \left( 1+x\right)^<1/x>=e. $$

Следствия второго замечательного предела

Примеры решений: 2 замечательный предел

Решение. Проверим тип неопределенности, подставляем $x=\infty$ в функцию и получаем:

Получили неопределенность вида $\left[1^<\infty>\right]$. Предел можно свести к второму замечательному. Преобразуем:

Выражение в скобках фактически и есть второй замечательный предел $\lim\limits_\left( 1+\frac<1>\right)^=e$, только $t=-3x/2$, поэтому

Решение. Подставляем $x=\infty$ в функцию и получаем неопределенность вида $\left[ \frac<\infty><\infty>\right]$. А нам нужно $\left[1^<\infty>\right]$. Поэтому начнем с преобразования выражения в скобках:

Выражение в скобках фактически и есть второй замечательный предел $\lim\limits_\left( 1+\frac<1>\right)^=e$, только $t=\frac <2x^2-x+8>\to \infty$, поэтому

Второй замечательный предел

Обычно второй замечательный предел записывают в такой форме:

Число $e$, указанное в правой части равенства (1), является иррациональным. Приближённое значение этого числа таково: $e\approx<2<,>718281828459045>$. Если сделать замену $t=\frac<1>$, то формулу (1) можно переписать в следующем виде:

Как и для первого замечательного предела, неважно, какое выражение стоит вместо переменной $x$ в формуле (1) или вместо переменной $t$ в формуле (2). Главное – выполнение двух условий:

1. Основание степени (т.е. выражение в скобках формул (1) и (2)) должно стремиться к единице;
2. Показатель степени (т.е. $x$ в формуле (1) или $\frac<1>$ в формуле (2)) должен стремиться к бесконечности.

Говорят, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность $1^\infty$. Заметьте, что в формуле (1) мы не уточняем, о какой именно бесконечности ($+\infty$ или $-\infty$) идёт речь. В любом из этих случаев формула (1) верна. В формуле (2) переменная $t$ может стремиться к нулю как слева, так и справа.

Отмечу, что есть также несколько полезных следствий из второго замечательного предела. Примеры на использование второго замечательного предела, равно как и следствий из него, очень популярны у составителей стандартных типовых расчётов и контрольных работ.

Сразу отметим, что основание степени (т.е. $\frac<3x+1><3x-5>$) стремится к единице:

При этом показатель степени (выражение $4x+7$) стремится к бесконечности, т.е. $\lim_(4x+7)=\infty$.

Основание степени стремится к единице, показатель степени – к бесконечности, т.е. мы имеем дело с неопределенностью $1^\infty$. Применим формулу (1) для раскрытия этой неопределённости. В основании степени формулы (1) расположено выражение $1+\frac<1>$, а в рассматриваемом нами примере основание степени таково: $\frac<3x+1><3x-5>$. Посему первым действием станет формальная подгонка выражения $\frac<3x+1><3x-5>$ под вид $1+\frac<1>$. Для начала прибавим и вычтем единицу:

Следует учесть, что просто так добавить единицу нельзя. Если мы вынуждены добавить единицу, то её же нужно и вычесть, дабы не изменять значения всего выражения. Для продолжения решения учтём, что

Продолжим «подгонку». В выражении $1+\frac<1>$ формулы (1) в числителе дроби находится 1, а в нашем выражении $1+\frac<6><3x-5>$ в числителе находится $6$. Чтобы получить $1$ в числителе, опустим $6$ в знаменатель с помощью следующего преобразования:

Итак, основание степени, т.е. $1+\frac<1><\frac<3x-5><6>>$, подогнано под вид $1+\frac<1>$, который требуется в формуле (1). Теперь начнём работать с показателем степени. Заметьте, что в формуле (1) выражения, стоящие в показатели степени и в знаменателе, одинаковы:

Значит, и в нашем примере показатель степени и знаменатель нужно привести к одинаковой форме. Чтобы получить в показателе степени выражение $\frac<3x-5><6>$, просто домножим показатель степени на эту дробь. Естественно, что для компенсации такого домножения, придется тут же домножить на обратную дробь, т.е. на $\frac<6><3x-5>$. Итак, имеем:

Отдельно рассмотрим предел дроби $\frac<6\cdot(4x+7)><3x-5>$, расположенной в степени:

Согласно формуле (1) имеем $\lim_\left(1+\frac<1><\frac<3x-5><6>>\right )^<\frac<3x-5><6>>=e$. Кроме того, $\lim_\frac<6\cdot(4x+7)><3x-5>=8$, поэтому возвращаясь к исходному пределу, получим:

Полное решение без промежуточных пояснений будет иметь такой вид:

Кстати сказать, вовсе не обязательно использовать первую формулу. Если учесть, что $\frac<6><3x-5>\to<0>$ при $x\to\infty$, то применяя формулу (2), получим:

Выражение, стоящее в основании степени, т.е. $7-6x$, стремится к единице при условии $x\to<1>$, т.е. $\lim_>(7-6x)=7-6\cdot1=1$. Для показателя степени, т.е. $\frac<3x-3>$, получаем: $\lim_>\frac<3x-3>=\infty$. Итак, здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $1^\infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела.

Для начала отметим, что в формуле (1) переменная $x$ стремится к бесконечности, в формуле (2) переменная $t$ стремится к нулю. В нашем случае $x\to<1>$, поэтому имеет смысл ввести новую переменную, чтобы она стремилась или к нулю (тогда применим формулу (2)), или к бесконечности (тогда применим формулу (1)). Введение новой переменной, вообще говоря, не является обязательным, это будет сделано просто для удобства решения. Проще всего новую переменную $y$ ввести так: $y=x-1$. Так как $x\to<1>$, то $\to<0>$, т.е. $y\to<0>$. Подставляя $x=y+1$ в рассматриваемый пример, и учитывая $y\to<0>$, получим:

Применим формулу (2). Выражение в основании степени в формуле (2), т.е. $1+t$, соответствует форме выражения в основании степени нашего примера, т.е. $1+(-6y)$ (выражение $-6y$ играет роль $t$). Формула (2) предполагает, что показатель степени будет иметь вид $\frac<1>$, т.е. в нашем случае в показателе степени следует получить $\frac<1><-6y>$. Домножим показатель степени на выражение $\frac<1><-6y>$. Для компенсации такого домножения нужно домножить показатель степени на обратную дробь, т.е. на выражение $\frac<-6y><1>=-6y$:

Полное решение без пояснений таково:

Так как $\lim_>(\cos<2x>)=1$ и $\lim_>\frac<1><\sin^2<3x>>=\infty$ (напомню, что $\sin\to<0>$ при $u\to<0>$), то мы имеем дело с неопределённостью вида $1^\infty$. Преобразования, аналогичные рассмотренным в примерах №1 и №2, укажем без подробных пояснений, ибо они были даны ранее:

Так как $\sin^2x=\frac<1-\cos<2x>><2>$, то $\cos<2x>-1=-2\sin^2x$, поэтому:

Здесь мы учли, что $\lim_>\frac<\sin^2><\sin^2<3x>>=\frac<1><9>$. Подробное описание того, как находить этот предел, дано в соответствующей теме.

Так как при $x>0$ имеем $\ln(x+1)-\ln=\ln\left(\frac\right)$, то:

Раскладывая дробь $\frac$ на сумму дробей $\frac=1+\frac<1>$ получим:

Так как $\lim_>(3x-5)=6-5=1$ и $\lim_>\frac<2x>=\infty$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $1^\infty$. Подробные пояснения даны в примере №2, здесь же ограничимся кратким решением. Сделав замену $t=x-2$, получим:

Можно решить данный пример и по-иному, используя замену: $t=\frac<1>$. Разумеется, ответ будет тем же:

Выясним, к чему стремится выражение $\frac<2x^2+3><2x^2-4>$ при условии $x\to\infty$:

Таким образом, в заданном пределе мы имеем дело с неопределенностью вида $1^\infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела:

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Замечательные пределы — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Замечательные пределы

Сравнение бесконечно малых функций

Признак существования предела (теорема о 2-х милиционерах)

Теорема: Если значения функции

значениями функций

Рассмотрим геометрический смысл данной теоремы (Рис. 62). Из рисунка видно, что в случае, когда функции стягиваются к прямой у=А, то они “вынуждают” функцию также приближаться к той же самой прямой (“куда идут два милиционера, ведущие арестованного, туда идет и сам арестованный”).

Рис. 62. Иллюстрация теоремы о “2-х милиционерах”.

Доказательство: Пусть — точка сгущения для функций в общей области определения. Это означает, что в некоторой -окрестности точки выполняется неравенство В -окрестности точки выполняется неравенство Так как значения функции заключены между значениями функций то в некоторой -окрестности точки меньшей из -окрестностей будет выполняться неравенство Отсюда следует, что выполняется неравенство или

Первый замечательный предел

Определение: Предел отношения синуса какого-либо аргумента к этому аргументу при стремлении аргумента к нулю равен единице, т.е. и называется первым замечательным пределом.

Пример:

Пределы являются первыми замечательными пределами

Доказательство: Для вывода этой формулы построим окружность с центром в точке О(0; 0) и радиусом R = 1. Выберем угол в первой координатной четверти и сравним площади трех фигур: треугольник АОВ, сектор АОВ и треугольник AOD (Рис. 63):

Рис. 63. Иллюстрация вывода формулы первого замечательного предела.

Из рисунка видно, что площади указанных фигу р связаны соотношением:

Вычислим эти площади

Следовательно, вышеприведенное неравенство приводится к виду В силу того, что получаем Разделим полученное неравенство на знак всех неравенств не изменится: Переходя к обратным неравенствам, или в силу того, что то по теореме о 2-х милиционерах

Аналогично проводится доказательство для любого значения угла

Таким образом, наличие в пределе, сводящемся к неопределенности тригонометрических функции может указывать на первый замечательный предел.

При вычислении первого замечательного предела используют следующие формулы:

а также следующие таблицы:

Табл. 1. Значения синуса и косинуса на интервале

Табл. 2. Формулы приведения.

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельной величины переменной х имеем неопределенность Воспользуемся формулой и преобразуем данный предел следующим образом:

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределённость Воспользуемся формулой тогда данный предел равен:

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределённость Введём замену (при ) и воспользуемся следующей формулой Предел преобразуется к виду:

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределённость Воспользуемся формулами получим:

Число e и натуральные логарифмы. Второй замечательный предел

Рассмотрим логарифмическую функцию Выбирая различные значения основания, будем вычислять тангенсы угла наклона касательной к графику этой функции в точке (см. график логарифмической функции в Лекции № 22).

Определение: Натуральным логарифмом называется логарифм, для которого основание выбрано так, чтобы тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс (Ох) был равен 1.

Основанием натурального логарифма является число Это число трансцедентное, т.е. не является решением ни одного алгебраического уравнения. Установим связь между натуральными и десятичными логарифмами:

Определение: Вторым замечательным пределом называется предельное равенство (первая форма)

(вторая форма).

Замечание: Первая форма второго замечательного предела переходит во вторую с помощью замены с учетом теоремы о связи бесконечно большой функции с бесконечно малой функцией.

Замечание: Наличие неопределенности указывает на второй замечательный предел, т.е. если пределы функций что указывает на второй замечательный предел.

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х не имеем неопределенности

— не второй замечательный предел.

Пример:

Найти lim

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределенность Проведём преобразование подлимитной функции: ( — первая форма второго замечательного предела, преобразуем данное выражение под вид второго замечательного предела)

(роль функции играет выражение возведем круглую скобку в эту степень, а за квадратной скобкой возведем в обратную степень для тождественности проводимых преобразований, получим) =

= (выражение в квадратных скобках стремится к числу е, а показатель степени — к числу -4/5 (см. раскрытие неопределённости для полиномов примере из пункта Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей поэтому окончательный ответ имеет вид)=

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределенность Проведём преобразование подлимитной функции:

(вторая форма второго замечательного предела, преобразуем данное выражение под вид второго замечательного предела)= = (роль функции играет выражение (2-2х))=

=(выражение в квадратных скобках стремится к числу е, а показатель степени — к числу -2 (подставить в показатель степени вместо переменной х ее предельное значение 1), поэтому окончательный ответ имеет вид)

Сравнение бесконечно малых функций

Сравнить две бесконечно малые функции и означает вычислить предел

Определение: Если предел К не существует, то бесконечно малые функции и называются несравнимыми.

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что эти бесконечно малые функции несравнимые.

Решение:

Для доказательства вычислим предел -данный предел не существует, так как нельзя указать предельное значение для подлимитной функции cosx на бесконечности.

Определение: Если предел К равен нулю, то бесконечно малая функция называется бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Решение:

Для доказательства вычислим предел Следовательно, бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая функция при

Определение: Если предел К равен то бесконечно малая функция называется бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Решение:

Для доказательства вычислим предел

Следовательно, бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Определение: Если предел К равен конечному числу то бесконечно малые функции называются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что бесконечно малые функции являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.

Решение:

Для доказательства вычислим предел

Следовательно, бесконечно малые функции являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости при

Определение: Если предел К равен 1, то бесконечно малые функции а(х) и Д(х) называются эквивалентными.

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что бесконечно малые функции являются эквивалентными.

Решение:

Вычислим предел Следовательно, бесконечно малые функции являются эквивалентными при Рассмотрим признак эквивалентности бесконечно малых функций.

Теорема: Для того чтобы бесконечно малые функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы разность бесконечно малых функций была бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции .

Доказательство:

1. Необходимость. Пусть бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции т.е. пределы Докажем, что бесконечно малые функции эквивалентны. Преобразуем первый из этих пределов:

Отсюда следует, что т.е. бесконечно малые функции эквивалентны. Аналогично преобразуется второй пре- дел.

2. Достаточность. Пусть бесконечно малые функции являются эквивалентными, т.е. Докажем, что разность двух бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции Преобразуем данный предел следующим образом: Отсюда следует, что функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции Аналогично доказывается, что функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции

Замечание: При вычислениях одна бесконечно малая функция может быть заменена на эквивалентную бесконечно малую функцию. Например, функции эквивалентны функции х при

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:

Следовательно,

Пример №25

Найти

Решение:

Применим первый замечательный предел:

Второй замечательный предел

Числом е называется предел функции

(Для запоминания: 2

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.