Замена переменной в уравнениях алгебра

Метод замены переменной

Метод замены переменной – это такой способ решения, при котором в уравнение (или неравенство) вводится новая переменная, в результате чего оно становится более простым.

Этот метод один из самых популярных при решении сложных заданий, в частности, в ЕГЭ и ОГЭ.

У нас довольно сложное уравнение. А если раскрыть скобки, оно станет еще сложнее. Что делать? Давайте попробуем заменить переменную.

Заменим выражение \(x+\frac<1>\) буквой \(t\).

Получилось обычное квадратное уравнение! Решив его, найдем чему равно \(t\), после чего, сделав обратную замену, вычислим \(x\).

Когда не стоит вводить новую переменную? Когда это не сделает уравнение проще. Например, если старая переменная остается, несмотря на замену:

Попробуем сделать замену здесь.

Заменим выражение \(\sin x\) буквой \(t\).

Видим, что в этой замене нет никакого смысла – она не упростила уравнение, даже наоборот, усложнила его, потому что теперь у нас в уравнении две переменные.

Примеры использования метода замены переменной

Заметим, что \(x^4=(x^2 )^2\) (см. свойства степеней ). Тогда наше уравнение приобретает следующий вид.

Теперь используем метод замены.

Вводим новую переменную, заменяя \(x^2\) на \(t\).

Мы нашли чему равно \(t\), но найти-то надо иксы! Поэтому делаем обратную замену.

Ответ: \(±1\); \(±\) \(\frac<1><2>\) .

Весьма частая ошибка при использовании этого метода: забыть «вернуться к иксам», то есть не сделать обратную замену. Помните – нам нужно найти \(x\), а не \(t\)! Поэтому возврат к \(x\) — строго обязателен!

Пример. Решить неравенство: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Приступим к решению.

Раскладываем левую часть неравенства на множители .

Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к совокупности , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.

Метод замены переменных при решении уравнений и неравенств

Метод замены переменных

Этот распространённый метод используется для разных целей: упрощение задачи и повышение её наглядности, придание уравнению (неравенству, системе и проч.) более симметричного вида, сведение одного уравнения к системе нескольких уравнений, рационализация иррациональностей (см. пункт 3.3) и т.д. Иными словами, введение новых переменных производится в тех случаях, когда есть возможность свести задачу к другой, для которой существует более эффективный способ решения.

Существуют виды уравнений, для которых разработаны специальные подстановки, позволяющие наиболее оптимально решать эти уравнения (например, симметрические и возвратные уравнения, однородные уравнения и многие другие). Рассмотрим дополнительно группу примеров, иллюстрирующих различные цели использования этого подхода.

Начнём с примера, в котором при помощи замены неизвестной рациональное неравенство сводится также к рациональному, но более простому алгебраическому неравенству.

Пример №350.

Решение:

Положим . Тогда необходимо решить неравенство . Выполнив обратную подстановку, получим квадратное уравнение , решив которое, приходим к ответу. Ответ:

В следующем примере дробно-рациональное уравнение заменой сводится к целому алгебраическому уравнению.

Пример №351.

Решить уравнение

Решение:

Обозначим разность через , тогда уравнение перепишется в виде Это уравнение имеет два корня и , что приводит к совокупности уравнений

Первое уравнение даёт корни , а второе — которые и будут решениями исходного уравнения.

В некоторых случаях алгебраическую задачу (даже если в её условиях не содержится радикалов) с помощью специальных тригонометрических подстановок бывает целесообразно свести к тригонометрической задаче, и далее уже решать её методами тригонометрии.

Пример №352.

Известно, что и . Чему равно значение ?

Решение:

Воспользуемся тем, что если два действительных числа X, у удовлетворяют равенству

где — заданное число, то и можно представить в тригонометрическом виде , где . В самом деле, уравнение (1) задаёт на плоскости окружность радиуса с центром в начале координат. При изменении от до точка с координатами ровно один раз обходит окружность, и таким образом между точками окружности и полуинтервалом оказывается установлено взаимно однозначное соответствие. Это означает, что каждому значению из соответствует единственная пара чисел , удовлетворяющих равенству (1), и наоборот, каждой паре чисел, удовлетворяющих (1), соответствует единственное значение из .

Итак, поскольку числа удовлетворяют равенству , то найдётся такое число , что , . Аналогично, поскольку числа удовлетворяют равенству , то найдётся такое число, что , . При этом условие примет вид

Выполнив тригонометрическую подстановку в искомом выражении , получим:

Введение новых переменных может быть вызвано необходимостью понизить степень уравнения, упростив при этом решение задачи.

Пример №353.

Решить уравнение

Решение:

Сведём данное уравнение 4-й степени к квадратному уравнению. Для этого вначале умножим обе части уравнения на 12 и приведём его к виду

Затем сделаем подстановку , что приведёт к уравнению

Сделав ещё одну подстановку , сведём окончательно данное биквадратное уравнение к квадратному уравнению , решив которое, находим корни . Тогда и

Ответ:

В следующем примере используется симметризирующая подстановка. Название говорит само за себя: уравнению придаётся более «симметричный» вид. Новая переменная является средним арифметическим входящих в уравнение выражений. При её применении уравнение 4-й степени общего вида приводится к более простому частному случаю, а именно, симметризация уравнения позволяет «убрать» из уравнения нечётные степени неизвестной, оставив только чётные и превратив его, таким образом, в биквадратное уравнение.

Пример №354.

Решение:

Выполним симметризирующую подстановку

Тогда уравнение примет вид

Ответ:

6.Близко к методу введения новых переменных стоит так называемый метод введения параметра. Не всегда введение параметра усложняет задачу. На примере, рассмотренном ниже, видно, как включение параметра в уравнение вместо числового коэффициента позволяет лучше «разглядеть» способ дальнейшего его решения — рассмотрение уравнения как квадратного относительно введённой величины.

Пример №355.

Решение:

Введём в уравнение параметр, положив :

Рассмотрим теперь это уравнение как квадратное относительно . Приведём его к стандартному виду и вычислим дискриминант Найдём корни:

т.е. или . Параметр к этому моменту сыграл свою положительную роль, позволив свести решение кубического относительно уравнения к совокупности двух уравнений более низкой степени: квадратного и линейного.

Заменяя числом , получим совокупность

Отсюда находим решения:

Замечание. В формуле корней квадратного уравнения более корректным было, вообще говоря, написать

Однако когда ищутся оба корня, то использование формул (1) и (2) приводит к одному результату. Именно поэтому часто в подобных ситуациях модуль опускают.

7.Отметим, что, вообще говоря, не всегда в задаче нужно полностью переходить к новым переменным. Иногда имеет смысл, вводя новую переменную, сохранить в задаче и первоначальную переменную, т.е. сделать частичную замену переменных. Так, сведением к системе уравнений, решаются некоторые уравнения. Рассмотрим в качестве пояснения пример.

Пример №356.

Решение:

Так как не является корнем, то уравнение можно привести к равносильному виду

Положим , тогда уравнение сведётся к равносильной ему системе

Решая эту систему относительно и , приходим к ответу:

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Презентация по теме: решение уравнений, методом замены переменной.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Цель урока : Научиться решать уравнения, приводимые к квадратным , путем введения вспомогательной переменной.

( 3х – 1) (х + 3) + 1 = х ( 1 + 6х) 3х2 + 9х – х – 3 + 1 = х + 6х2 — 3х2 + 7х – 2 = 0 Д = в2 – 4ас = 49 – 24 = 25 = 5 х1 = = х2= Ответ : 3 ;

Биквадратное уравнение Пример 3: Решить уравнение Решение: Пусть тогда Обратная замена Ответ:

х2 = 16 х = ± 4 х2 – 5х = 0 х1= 0 х2= 5 2х2 = 50 х= ± 5 х2 + 9 = 0 нет корней ( х – 8 )2 = 0 х – 8 = 0 х = 8 х3 – 4х = 0 х1= 0 х2 = 2 х3 = — 2 х2 = — 9 х (х – 2 )( х + 2 ) = 0

Разложить на множители : а2 – 36 = ( а – 6 ) ( а + 6 ) 3в2 – 12 = 3 ( в – 2 ) ( в + 2 ) х2 – 10х + 25 = ( х – 5 )2 х3 – 49х = х( х – 7 ) ( х + 7 ) Раскрыть скобки : ( х2 + 3х )2 = х4 + 6х3 + 9х2 ( 7 – х2 )² = 49 – 14х2 + х4 — ( 3х – 5у )2 = — 9х2 + 30ху – 25у2

(х2 – 3) 2 + 5 (х2 – 3) + 6 = 0 t t + 6 = 0 Д = в2 – 4ас Д = 25 – 4 · 1 · 6 = 25 – 24 = 1 √ Д = 1 t1 = t2 = =

Вернемся к замене 1) t = — 2 2) t = — 3 х2 – 3 = — 2 х2 = 1 х = ± 1 х2 – 3 = — 3 х2 = 0 х= 0 Ответ : -1 ; 1 ; 0

( х2 + х — 1 ) ( х2 + х + 2 ) = 40 x2 +х х2 + х Сделаем замену переменной. Пусть х2 + х = t , получим : ( t – 1 )( t + 2 ) = 40 t2 + 2t – t – 2 – 40 = 0 t2 + t – 42 = 0 t1 = — 7 t2 = 6

Вернемся к замене : 1) t = — 7 2) t = 6 х2 + х = — 7 х2 + х + 7 = 0 х2 + х – 6 = 0 х2 + х = 6 Д = 1 – 28 = — 27 корней нет Д = 1 + 24 = 25 х1 = 2 х2 = — 3 Ответ : 2 ; — 3

Алгоритм : 1. Сделать замену переменной 2. Решить полученное уравнение. 3. Вернуться к замене.

Домашнее задание : № 793(1,3); 775(5,6)

Дополнительно : ( х2 + 4х )( х2 + 4х – 17 ) + 60 = 0 2) ( х2 – 5х )( х2 – 5х + 10 ) = — 24

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 929 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 587 458 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 12.05.2020
• 227
• 8

• 12.05.2020
• 528
• 4

• 12.05.2020
• 195
• 18

• 12.05.2020
• 110
• 0

• 12.05.2020
• 147
• 0

• 12.05.2020
• 292
• 6

• 12.05.2020
• 752
• 81

• 12.05.2020
• 335
• 8

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 12.05.2020 633
• PPTX 887 кбайт
• 88 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Суслова Наталья Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 5 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 10699
• Всего материалов: 14

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки