Запись ах b называется выражением уравнением неравенством примером

Уравнение с одним неизвестным

Уравнение вида ax = b, где x — неизвестное, a и b — числа, называется уравнением с одним неизвестным или линейным уравнением.

Число a называется коэффициентом при неизвестном, а число b — свободным членом.

Если в уравнении ax = b коэффициент не равен нулю (a ≠ 0), то, разделив обе части уравнения на a, получим . Значит, уравнение ax = b, в котором a ≠ 0, имеет единственный корень .

Если в уравнении ax = b коэффициент равен нулю (a = 0), а свободный член не равен нулю (b ≠ 0), то уравнение не имеет корней, так как равенство 0x = b, где b ≠ 0, не является верным ни при каком значении x.

Если в уравнении ax = b и коэффициент, и свободный член равны нулю (a = 0 и b = 0), то уравнение имеет бесконечное множество корней, так как равенство 0x = 0 верно при любом значении x.

Решение уравнений с одним неизвестным

Все уравнения с одним неизвестным решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения уравнений:

• освобождение от дробных членов;
• раскрытие скобок;
• перенос всех членов, содержащих неизвестное, в одну часть, а известные — в другую (члены с неизвестными, как правило, переносят в левую часть уравнения);
• сделать приведение подобных членов;
• разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

Пример 1. Решить уравнение

Освобождаем уравнение от дробных членов:

20x — 28 — 24 = 9x + 36.

20x — 9x = 36 + 28 + 24.

Выполняем приведение подобных членов:

Делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном (на 11):

Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:

Уравнение обратилось в верное равенство, следовательно, корень был найден верно.

Пример 2. Решить уравнение

Это уравнение проще решить, не раскрывая скобок, поэтому делим обе части уравнения на 5:

Выполняем приведение подобных членов:

Обычно все рассуждения при решении уравнения производят устно, а само решение записывается так:

Тест по математике “Линейные уравнения” с ответами

2. Корнем уравнения -2х = 14 является число:
а) 7
б) -7 +
в) 5

3. 3х – 5(2х + 3) = 15 – 4(6х – 1):
а) 7
б) 4
в) 2 +

4. Запись ах = b называется:
а) уравнением +
б) выражением
в) неравенством

6. Уравнение 8х – 5,6 = 0 имеет корень:
а) -7
б) 0,7 +
в) 7

8. Равенство является верным при х = 7:
а) 3х = -21 +
б) х(х+2)=0
в) 5х-6 = 43-2х

10. Найдите корни уравнения 5(x-3) = -2(x-4)+5:
а) -4
б) 4
в) 21

12. Решите уравнение 2х – 9+2х=15:
а) 6
б) -6 +
в) -3

13. 1,9x + 0,3(7 – x) = 2,1 – 0,2х:
а) 0 +
б) 0,4
в) 2

14. Решите уравнение 3х – 4 = 20:
а) -8
б) 4
в) 8 +

16. Найдите корень уравнения 5х – 11 = 2х + 7:
а) -6
б) 6 +
в) -3

18. Решите уравнение: 0,5х – 14 = -29 + 0,8х:
а) -15
б) 50 +
в) 5

19. -0,01х-(0,8х+1)= 20 – 0,6х:
а) 100
б) 0
в) -100 +

20. Сколько решений имеет система 6х − 4у = 12 и −2у + 3х = 6:
а) ни одного
б) бесконечно много +
в) один

21. Тождество с одной неизвестной:
а) уравнение +
б) неравенство
в) равенство

22. Найдите решение уравнения 2х + 3у = 2:
а) (5; -4)
б) (-5; 4) +
в) (-5; -4)

23. Можно ли решить уравнение с одной неизвестной:
а) нет
б) зависит от уравнения
в) да +

24. Выберите линейное уравнение с двумя переменными:
а) ху + 6 = 26
б) 3х – у = 18 +
в) (х + 4) (у – 3) = 5

25. Уравнения с 1 неизвестной в первой степени:
а) степенное
б) квадратное
в) линейное +

26. Если уравнений больше, чем неизвестных, то система является:
а) недоопределённой
б) неопределенной
в) переопределённой +

27. Сколько существует способов решения уравнений:
а) 2 +
б) 4
в) 5

28. Найдите решение уравнения: 4х – 3у = 5:
а) (2; 1) +
б) (1;2)
в) (-2; 1)

29. Как называются способы решения уравнений:
а) аналитический и графический +
б) аналитический и криминалистический
в) графический и криминалистический

30. При каких значениях переменной равенство 9x – 6(-2+x) = -35x + 20 является верным:
а) 19/4
б) 4/19 +
в) 19/8

Тема урока: «Линейные выражения, уравнения и функции»

Разделы: Математика

Образовательные цели урока:

• cистематизация и обобщение знаний, умений и навыков учащихся по теме.

Воспитательные цели:

• воспитание коммуникативной и информационной культуры учащихся;
• умение учащихся группы выстроить взаимодействие;
• развитие речи (письменной и устной).

Развивающие цели:

• интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика;
• активизация самостоятельной деятельности.

1. Оргмомент

2. Введение в тему. В рамках Ломоносовской научной недели в школе обычно проходят научные конференции по математике, объединяющие несколько параллелей, и, дающие возможность одним обобщить материал, другим закрепить, а кому-то узнать новый. В этом году мы проведем урок, объединяющий сразу несколько математических понятий. Мы поговорим о:

• линейных выражениях,
• линейных уравнениях,
• линейных неравенствах и
• линейных функциях.

Переменная — неизвестное число, как правило обозначаемое как x или y (но никто не мешает назвать переменную любой другой буквой).

Линейное выражение — математическое выражение, включающее лишь умножение, деление, вычитание и сложение. Но:

не содержащее степеней,

не содержащее деления на переменную и произведения переменных

не содержащее корня любой степени из выражения, содержащего переменную

2х+5, -x-113, 109 x, 8 — линейные выражения

X 2 , sin(x), ex, x 2 -2x — нелинейные выражения

Линейным уравнением с одной переменной x называется уравнение вида ax+b=0, где a и b – некоторые числа.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Функция аргумента х , имеющая вид у = ах + b, где а и b — некоторые заданные числа, называется линейной.

3. Надеюсь, что уже известный материал поможет нам раскрыть новые грани этих понятий. Для более плодотворной работы мы разбились на группы. Работая в группе необходимо сотрудничество и взаимопомощь. Вы одна команда.

4. Задание № 1. Линейные выражения

Какие из них линейные Примеры:

2х+5, -x-113, 109x, 8

X 2 , sin(x), x 3 -2x

5. Задание № 2. Линейные уравнения

Задание 1: при каких значениях а верно равенство:

Задание 2: какое число является корнем уравнения^

а) – х – 24 = -5х — 8

Задание 3: Рассмотрим уравнение 4(х — 2) – (х — 3) = — 14

Заменим его на равносильное: 4х – 8 – х + 3 = — 14; 3х – 5 = -14; 3х = — 9.

Дополнительный вопрос: какие уравнения называются равносильными?

Задание 4. Рассмотрим следующие 4 уравнения:

Являются ли они линейными? Найти корни этих уравнений.

Вывод: Линейное уравнение может иметь:…

Задание 5. Линейные уравнения могут быть заданы и не явно, мы говорим про параметр

При каких значениях параметра а уравнение х-5а=ах-5 имеет единственный корень, равный -5? (При любом)

6. Задание № 3. Линейные неравенства

Какие неравенства называются равносильными?

Решить неравеснтво:

8. Задание № 4. Линейная функция

Есть ли какая-то взаимомосвязь в решении?

Y=3x+6, 3x+6=0, 3x+6 0.

Дополнительные вопросы: при каком условии графики линейных функций пересекаются? Параллельны? Есть еще очень интересное условие коэффициентов двух функций.

Задание: постройте графики двух функций (каждой группе разные) y=3х и у= -1/3 х. являются ли они линейными? Можно ли сделать вывод?

9. Подведем итог: работа в группе это легче или сложнее? Думать вместе хорошо? Оцените степень участия каждого в группе по трехбалльной шкале 0-1-2. Наиболее активной группой была …. Из того, что выполняли на уроке, все ли было вам известно?

10. Большой интерес представляет еще одна взаимосвязь: квадратный трехчлен, квадратичная функция, квадратичное неравенство. Это разговор следующих уроков.