Записать уравнение кривой проходящей через точку

Уравнение касательной к графику функции

п.1. Уравнение касательной

Рассмотрим кривую $y=f(x)$.
Выберем на ней точку A с координатами $(x_0,y_0)$, проведем касательную AB в этой точке.

Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке $x_0$: $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: $(y_B-y_A)=k(x_B-x_A)$.
Для $A(x_0,y_0),\ B(x,y)$ получаем: \begin (y-y_0)=k(x-x_0)\\ y=k(x-x_0)+y_0\\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \end

Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде $y=kx+b$, нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=\underbrace_<=k>x+\underbrace_ <=b>$$

п.2. Алгоритм построения касательной

На входе: уравнение кривой $y=f(x)$, абсцисса точки касания $x_0$.
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания $f(x_0)$
Шаг 2. Найти общее уравнение производной $f’ (x)$
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания $f'(x_0 )$
Шаг 4. Записать уравнение касательной $y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)$, привести его к виду $y=kx+b$
На выходе: уравнение касательной в виде $y=kx+b$

Пусть $f(x)=x^2+3$.
Найдем касательную к этой параболе в точке $x_0=1$.

$f(x_0)=1^2+3=4 $
$f'(x)=2x $
$f'(x_0)=2\cdot 1=2$
Уравнение касательной: $$ y=2(x-1)+4=2x-2+4=2x+2 $$ Ответ: $y=2x+2$

п.3. Вертикальная касательная

Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода $x_0\notin D$, в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку $x_0\in D$, входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку $(x_0,y_0)$.

Вертикальные касательные характерны для радикалов вида $y=\sqrt[n]$.

Пусть $f(x)=\sqrt[5]+1$.
Найдем касательную к этой кривой в точке $x_0=1$.

$f(x_0)=\sqrt[5]<1-1>+1=1$
$f'(x)=\frac15(x-1)^<\frac15-1>+0=\frac15(x-1)^<-\frac45>=\frac<1><5(x-1)^<\frac45>> $
$f'(x_0)=\frac<1><5(1-1)^<\frac45>>=\frac10=+\infty$
В точке $x_0$ проходит вертикальная касательная.
Её уравнение: $x=1$
Ответ: $y=2x+2$

п.4. Примеры

Пример 1. Для функции $f(x)=2x^2+4x$
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.

Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0\Rightarrow 2x(x+2)=0\Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x=-2 \end \right. $$ Две точки на оси: (0;0) и (-2;0).
Касательная в точке $x_0=0$: \begin f(x_0)=0,\ \ f'(x)=4x+4\\ f'(x_0)=4\cdot 0+4=4\\ y=4(x-0)+0=4x \end Касательная в точке $x_0=-2$: \begin f(x_0)=0,\ \ f'(x)=4x+4\\ f'(x_0)=4\cdot (-2)+4=-4\\ y=-4(x+2)+0=-4x-8 \end

б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.

Общее уравнение касательной: $f'(x)=4x+4$
По условию $f'(x_0)=tg\alpha=tg45^\circ=1$
Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1\Rightarrow 4x_0=-3\Rightarrow x_0=-\frac34 $$ Точка касания $x_0=-\frac34$ \begin f(x_0)=2\cdot\left(-\frac34\right)^2+4\cdot\left(-\frac34\right)=\frac98-3=-\frac<15> <8>\end Уравнение касательной: \begin y=1\cdot\left(x+\frac34\right)-\frac<15><8>=x-\frac98 \end

в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой $2x+y-6=0$. Напишите уравнение этой касательной.

Найдем угловой коэффициент заданной прямой: $y=-2x+6\Rightarrow k=-2$.
Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже $k=-2$. Получаем уравнение: \begin f'(x_0)=-2\\ 4x_0+4=-2\Rightarrow 4x_0=-6\Rightarrow x_0=-\frac32 \end Точка касания $x_0=-\frac32$ \begin f(x_0)=2\cdot\left(-\frac32\right)^2+4\cdot\left(-\frac32\right)=\\ =\frac92-6=-\frac32 \end Уравнение касательной: \begin y=-2\cdot\left(x+\frac32\right)-\frac32=-2x-\frac92 \end Или, в каноническом виде: \begin 2x+y+\frac92=0 \end

г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.

У горизонтальной прямой $k=0$.
Получаем уравнение: $f'(x_0)=0$. \begin 4x_0+4=0\Rightarrow 4x_0=-4\Rightarrow x_0=-1 \end Точка касания $x_0=-1$ \begin f(x_0)=2\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)=-2 \end Уравнение касательной: \begin y=0\cdot(x+1)-2=-2 \end

Ответ: а) $y=4x$ и $y=-4x-8$; б) $y=x-\frac98$; в) $2x+y+\frac92=0$; г) $y=-2$

Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции $f(x)=\frac-x$ перпендикулярна прямой $y=11x+3$. Напишите уравнение этой касательной.

Угловой коэффициент данной прямой $k_1=11$.
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой $k_2=-\frac<1>=-\frac<1><11>$ \begin f'(x)=\left(\frac\right)’-x’=\frac<2x(x+3)-(x^2+2)\cdot 1><(x+3)^2>-1=\frac<2x^2+6x-x^2-2-(x+3)^2><(x+3)^2>=\\ =\frac<(x+3)^2>=- \frac<11> <(x+3)^2>\end В точке касания: \begin f'(x_0)=k_2\Rightarrow=-\frac<11><(x+3)^2>=-\frac<1><11>\Rightarrow (x+3)^2=121\Rightarrow (x+3)^2-11^2=0\Rightarrow\\ \Rightarrow (x+14)(x+8)=0\Rightarrow \left[ \begin x=-14\\ x=8 \end \right. \end
Уравнение касательной при $x_0=-14$ \begin f(x_0)=\frac<(-14)^2+2><-14+3>+14=\frac<198><-11>+14=-18+14=-4\\ y=-\frac<1><11>(x+14)-4=-\frac <11>\end Уравнение касательной при $x_0=8$ \begin f(x_0)=\frac<8^2+2><8+3>-8=\frac<66><11>-8=-2\\ y=-\frac<1><11>(x-8)-2=-\frac <11>\end
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение $y=-\frac<11>$
и точка касания (8;-2), уравнение $-\frac<11>$

Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам $y=x^2-5x+6$ и $y=x^2+x+1$. Укажите точки касания.

Найдем производные функций: \begin f_1′(x)=2x-5,\ \ f_2′(x)=2x+1 \end Пусть a – абсцисса точки касания для первой параболы, b — для второй.
Запишем уравнения касательных $g_1(x)$ и $g_2(x)$ через эти переменные. \begin g_1(x)=f_1′(a)(x-a)+f_1(a)=(2a-5)(x-a)+a^2-5a+6=\\ =(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+6=(2a-5)x+(6-a^2)\\ \\ g_2(x)=f_2′(b)(x-b)+f_2(b)=(2b+1)(x-b)+b^2+b+1=\\ =(2b+1)x-2b^2-b+b^2+b+1=(2b+1)x+(1-b^2) \end Для общей касательной должны быть равны угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений: \begin \begin 2a-5=2b+1\\ 6-a^2=1-b^2 \end \Rightarrow \begin 2(a-b)=6\\ a^2-b^2=5 \end \Rightarrow \begin a-b=3\\ (a-b)(a+b)=5 \end \Rightarrow \begin a-b=3\\ a+b=\frac53 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin 2a=3+\frac53\\ 2b=\frac53-3 \end \Rightarrow \begin a=\frac73\\ b=-\frac23 \end \end Находим угловой коэффициент и свободный член из любого из двух уравнений касательных: $$ k=2a-5=2\cdot\frac73-5=-\frac13,\ \ b=6-a^2=6-\frac<49><9>=\frac59 $$ Уравнение общей касательной: $$ y=-\frac x3+\frac59 $$
Точки касания: \begin a=\frac73,\ \ f_1(a)=\left(\frac73\right)^2-5\cdot\frac73+6=\frac<49><9>-\frac<35><3>+6=\frac<49-105+54><9>=-\frac29\\ b=-\frac23,\ \ f_2(b)=\left(-\frac23\right)^2-\frac23+1=\frac49-\frac23+1\frac<4-6+9><9>=\frac79 \end
Ответ: касательная $y=-\frac x3+\frac59$; точки касания $\left(\frac73;-\frac29\right)$ и $\left(-\frac23;\frac79\right)$

Пример 5*. Докажите, что кривая $y=x^4+3x^2+2x$ не пересекается с прямой $y=2x-1$, и найдите расстояние между их ближайшими точками.

Решим уравнение: $x^4+3x^2+2x=2x-1$ \begin x^4+3x^2+1=0\Rightarrow D=3^2-4=5\Rightarrow x^2=\frac<-3\pm\sqrt<5>> <2>\end Оба корня отрицательные, а квадрат не может быть отрицательным числом.
Значит, $x\in\varnothing$ — решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.

Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом $k=2$, то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой $y=2x-1$.
Строим уравнение касательной. По условию: $f'(x)=4x^3+6x+2=2$ \begin 4x^3+6x=0\Rightarrow 2x(2x^2+3)=0\Rightarrow \left[ \begin x=0\\ 2x^2+3=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x^2=-\frac32 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x\in\varnothing \end \right. \Rightarrow x=0 \end Точка касания $x_0=0,\ y_0=0^4+3\cdot 0^2+2\cdot 0=0$.
Уравнение касательной: $y=2(x-0)+0=2x$

Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми:
$y=2x$ и $y=2x-1$.
Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую $y=2x-1$ имеет угловой коэффициент $k=-\frac12$, его уравнение: $y=-\frac12 x+b$. Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и $b=0$.

Уравнение перпендикуляра: $y=-\frac x2$.
Находим точку пересечения прямой $y=2x-1$ и перпендикуляра $y=-\frac x2$: \begin 2x-1=-\frac x2\Rightarrow 2,5x=1\Rightarrow x=0,4;\ y=-\frac<0,4><2>=-0,2 \end Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние $OA=\sqrt<0,4^2+(-0,2)^2>=0,2\sqrt<2^2+1^2>=\frac<\sqrt<5>><5>$
Ответ: $\frac<\sqrt<5>><5>$

Как составить уравнение касательной к графику функции

Задания, связанные с нахождением уравнения касательной, часто вызывают трудности у учеников старших классов. Подобные задачи встречаются и на ЕГЭ по математике. Они могут иметь различную формулировку. К примеру, школьникам предлагают определить тангенс угла наклона касательной или написать, чему будет равна производная в какой-либо конкретной точке. Для решения всех подобных заданий нужно придерживаться простой последовательности действий, которая будет подробно рассмотрена ниже.

Как составлять уравнение касательной в заданной точке

При написании уравнения будем использовать следующие обозначения:

x0 — заданная в условии точка, принадлежащая функции, через которую проводится касательная;
f(x) — исходная функция;
f'(x) — производная от функции;
k — угловой коэффициент.

Перед написанием уравнения следует проверить существование функции в заданной точке касания, является ли она непрерывной и дифференцируемой в ней. Например, гипербола f(x) = 14 / (x + 11) прерывается в x = –11, а g(x) = |8x + 9|, хоть и является непрерывной на всей числовой прямой, в x = 0 не является дифференцируемой.

Алгоритм написания уравнения

После проверки можно приступать к нахождению уравнения. Разберем несложную задачу, в которой нужно найти касательную к f(x) = 3x³ – 6x² + 2x – 1 в x0 = 1. Для этого будем следовать данному алгоритму:

Вычислим f(x0). Для этого просто подставим значение 1 в функцию: f(1) = 3·1³ – 6·1² + 2·1 – 1 = –2.
Теперь необходимо записать производную: f'(x) = 9x² – 12x + 2.
Подсчитаем значение производной в x0: f'(1) = 9·1² – 12·1 + 2 = –1.
Необходимо подставить все найденные выше значения в общую формулу: y = f(x0) + f'(x0)(x – x0). После этого получаем: y = –2 + (–1)·(x – 1) = –x – 1.

В результате приобретает вид: y = –x – 1. Изобразим графики исходной функции и касательной в x0 = 1.

Рассмотрим уравнение более подробно. Как уже было сказано ранее, в общем виде оно имеет вид y = kx + b. В задачах, встречающихся на ЕГЭ, часто нужно рассчитать угловой коэффициент, тангенс угла наклона или же определить, чему будет равна производная в точке касания. Их роль выполняет k — коэффициент, находящийся перед x. Для полученного в примере уравнения k = –1.

Рассмотрим некоторые виды заданий, для решения которых необходимо уметь выписывать касательную к функции в конкретной точке.

Задачи на написание уравнения касательной

Различают несколько типов задач на уравнение касательной в определенной точке. Самый первый и простой тип уже был разобран при написании алгоритма решения подобных заданий. В них необходимо выписать уравнение или коэффициент k. Условием определяется исходная функция и точка касания.

Ко второму типу относятся задачи, в которых известно k, но неизвестно, где происходит касание. Как правило, в их формулировках указывается, что касательная будет проходить параллельна по отношению к оси абсцисс (тогда подразумеваем k = 0), или к какой-либо линейной функции (тогда угловой коэффициент касательной совпадает с коэффициентом k линейной функции). Рассмотрим, как нужно рассуждать, решая такие задания.

Записать уравнение касательной для параболы f(x) = 2x² – 3, если известно, что она будет параллельна y = –8x + 2.

Поскольку касательная параллельна заданной прямой, можно сделать вывод, что угол их наклона совпадает. Запишем, что k = f'(x0) = –8.
Возьмем от функции производную: f'(x) = 4x.
Определим точку касания. Для этого приравняем производную к числу k: 4x = –8. Решим уравнение и найдем x0 = –2.
Вычислим, чему будет равна функция в этой точке: f(–2) = 2·(–2)² – 3 = –11.
Теперь мы располагаем всеми необходимыми данными для записи уравнения. Подставим их в формулу для нахождения уравнения: y = –11 + (–8)(x – (–2)) = –8x – 27.

В третьем типе заданий в условии задается функция и точка, которая не принадлежит ее графику, но лежит на ее касательной.

Написать уравнение касательной к кубической функции g(x) = 2x³, если известно, что она проходит через точку Q(0;–0,5).

Поскольку точка принадлежит касательной, подставим ее координаты в общий вид уравнения: –0,5 = g(x0) + g'(x0)(– x0).
Запишем производную: g'(x) = 6x².
Очевидно, что g(x0) = 2·(x0)³, a g'(x0) = 6·(x0)². Подставим в общий вид: –0,5 = 2·.(x0)³ + 6·(x0)²(– x0). Решим уравнение, и из него определим абсциссу точки касания: x0 = 0,5.
Подсчитываем значение функции в точке: g(0,5) = 2·0,5³ = 0,25.
Вычисляем производную в точке касания: g'(0,5) = 6·0,5² =1,5.
В заключение записываем готовое уравнение, подставив в него рассчитанные данные: y = 0,25 + 1,5(x – 0,5) = 1,5x – 0,5.

Часто встречаются различные графические задачи, не требующие подробного решения. Пример такого задания приведен ниже.

Показан график функции, которая определена на участке [–7;7]. Необходимо выяснить, сколько точек существует на промежутке [–4;6], в которых касательная к изображенной функции будет параллельна y = –66.

Будем рассуждать так. Прямая y = –66 проходит параллельно оси абсцисс. Это значит, что ее угловой коэффициент, а также значение производной в точке, где произошло касание, и угол наклона касательной будут нулевыми. Это возможно лишь в точках экстремума. Подсчитать их количество не составит труда: 4 максимума и 3 минимума, т. е. 7 точек. Однако –5 не входит в промежуток, заданный условием. Поэтому окончательным ответом будет число 6.

Видео

Закрепить это тему вам поможет видео.

VMath

Инструменты сайта

Основное

Информация

Действия

Содержание

Касательная, нормальная плоскость, соприкасающаяся плоскость, бинормаль, главная нормаль, репер Френе

Краткие теоретические сведения

Кривая в пространстве

Рассмотрим в пространстве гладкую кривую $\gamma$.

Пусть точка $M$ принадлежит данной кривой и отвечает значению параметра $t=t_0$. Тогда радиус-вектор и координаты данной точки равны:

\begin \vec=\vec(t_0), \quad x_0=x(t_0),\, y_0=y(t_0), \, z_0=z(t_0). \end

Пусть в точке $M$ $ \vec(t_0)\neq\vec<0>$, то есть $M$ не является особой точкой.

Касательная к кривой

Касательная к кривой, проведенная в точке $M$, имеет направляющий вектор коллинеарный вектору $\vec(t_0)$.

Пусть $\vec$ — радиус-вектор произвольной точки касательной, тогда уравнение этой касательной имеет вид

Здесь $\lambda\in(-\infty,+\infty)$ — параметр, определяющий положение точки на касательной (то есть разным значениям $\lambda$ будут соответствовать разные значения $\vec$).

Если $\vec=\$, $M = (x(t_0), y(t_0), z(t_0))$, то можно записать уравнение касательной в каноническом виде:

Нормальная плоскость

Плоскость, проходящую через данную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.

Пусть $\vec$ — радиус-вектор произвольной точки нормальной плоскости, тогда ее уравнение можно записать в векторном виде через скалярное произведение векторов $\vec-\vec(t_0)$ и $\vec(t_0)$:

Если расписать покоординатно, то получим следующее уравнение:

\begin x'(t_0)\cdot(X-x(t_0))+y'(t_0)\cdot(Y-y(t_0))+z'(t_0)\cdot(Z-z(t_0))=0. \end

Соприкасающаяся плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ параллельно векторам $\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$, когда они неколлинеарны, называют соприкасающейся плоскостью кривой.

Если $\vec$ — радиус-вектор произвольной точки соприкасающейся плоскости, то ее уравнение можно записать через смешанной произведение трех компланарных векторов $\vec-\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$:

Зная координаты точки и векторов, определяющих плоскость, запишем смешанное произведение через определитель. Получим следующее уравнение соприкасающейся плоскости:

\begin \left| \begin X-x(t_0) & Y-y(t_0) & Z-z(t_0) \\ x'(t_0) & y'(t_0) & z'(t_0)\\ x»(t_0) & y»(t_0) & z»(t_0) \\ \end \right|=0 \end

Бинормаль и главная нормаль

Прямая, проходящая через точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормалью.

Таких кривых можно провести бесконечно много, все они образуют нормальную плоскость. Мы выделим среди нормалей две — бинормаль и главную нормаль.

Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.

Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью.

Из определения бинормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна соприкасающейся плоскости) следует, что в качестве ее направляющего вектора мы можем взять векторное произведение $ \vec(t_0)\times\vec(t_0)$, тогда ее уравнение можно записать в виде:

Как и раньше, $\vec$ — радиус-вектор произвольной точки бинормали. Каноническое уравнение прямой:

Из определения главной нормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна бинормали) следует, что в качестве ее направляющего вектора можно взять векторное произведение $\vec(t_0) \times\left[\vec(t_0),\vec(t_0)\right]$:

Уравнение в каноническом виде распишите самостоятельно.

Спрямляющая плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью.

Другое определение: Плоскость, определяемую касательной к кривой и бинормалью в той же точке, называют спрямляющей плоскостью.

Второе определение позволяет записать уравнение спрямляющей плоскости через смешанное произведение трех компланарных векторов, определяющих эту плоскость $\vec-\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$, $\vec(t_0)\times\vec(t_0)$: \begin \left(\vec-\vec(t_0),\, \vec(t_0),\, \vec(t_0)\times\vec(t_0)\right)=0. \end Зная координаты соответствующих векторов, можно легко записать это смешанное произведение через определитель, раскрыв который, вы получите общее уравнение спрямляющей плоскости.

Репер Френе

Орт (то есть единичный вектор) касательной обозначим: $$ \vec<\tau>=\frac<\vec(t_0)><|\vec(t_0)|>. $$ Орт бинормали: $$ \vec<\beta>=\frac<\vec(t_0)\times\vec(t_0)><|\vec(t_0)\times\vec(t_0)|>. $$ Орт главной нормали: $$ \vec<\nu>=\frac<\vec(t_0) \times[\vec(t_0),\,\vec(t_0)]><|\vec(t_0) \times [\vec(t_0),\,\vec(t_0)]|>. $$

Правая тройка векторов $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\beta>$ называется репером Френе.

Решение задач

Задача 1

Кривая $\gamma$ задана параметрически:

Точка $M$, принадлежащая кривой, соответствует значению параметра $t=0$. Записать уравнения касательной, бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости, проведенных к данной кривой в точке $M$. Записать векторы репера Френе.

Решение задачи 1

Задачу можно решать разными способами, точнее в разном порядке находить уравнения прямых и плоскостей.

Начнем с производных.

\begin 1\cdot X+0\cdot Y+1\cdot (Z-1)=0\,\,\ \Rightarrow \,\, X+Z=1. \end

\begin \left| \begin X-0 & Y-0 & Z-1 \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 1 \\ \end \right|=0 \end Раскрываем определитель, получаем уравнение: \begin -2X-Y+2Z-2=0 \end

\begin 1\cdot X-4\cdot Y-1\cdot (Z-1)=0\,\,\ \Rightarrow \,\, X-4Y-Z+1=0. \end

Поскольку направляющий вектор главной нормали у нас был найден как векторное произведение направляющих векторов касательной и бинормали, тройка $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\beta>$ не будет правой (по определению векторного произведения вектор $\vec<\tau>\times\vec<\beta>$ направлен так, что тройка векторов $\vec<\tau>$, $\vec<\beta>$, $\vec<\nu>=\vec<\tau>\times\vec<\beta>$

— правая). Изменим направление одного из векторов. Например, пусть

Теперь тройка $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\tilde<\beta>>$ образует репер Френе для кривой $\gamma$ в точке $M$.

Задача 2

Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой $$ x=t,\,\, y=\frac<2>,\,\, z=\frac<3>, $$ проходящей через точку $N(0,0,9)$.

Решение задачи 2

Нетрудно заметить, что точка $N$ не принадлежит заданной кривой $\gamma$. Следовательно соприкасающаяся плоскость проведена в какой-то точке $M(t=t_0)\in\gamma$, но при этом плоскость проходит через заданную точку $N(0,0,9)$.

Найдем значение параметра $t_0$.

Для этого запишем уравнение соприкасающейся плоскости, проведенной в произвольной точке $M(t=t_0)$. И учтем, что координаты $N$ должны удовлетворять полученному уравнению.

Соприкасающаяся плоскость определяется векторами $\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$, поэтому записываем определитель \begin \left| \begin X-t_0 & Y-t_0^2/2 & Z-t_0^3/3 \\ &&\\ 1 & t_0 & t^2_0 \\ &&\\ 0 & 1 & 2t_0 \end \right|=0 \quad \Rightarrow \end

\begin (X-t_0)\cdot t_0^2 — (Y-t_0^2/2)\cdot 2t_0 + (Z-t_0^3/3)=0. \end Подставляем вместо $X$, $Y$, $Z$ координаты точки $N$: $X=0$, $Y=0$, $Z=9$, упрощаем и получаем уравнение относительно $t_0$: \begin 9-t_0^3/3=0 \quad \Rightarrow \quad t_0=3. \end Подставив найденное $t_0$ в записанное ранее уравнение, запишем искомое уравнение соприкасающейся плоскости: $$ 9X-6Y+Z-9=0. $$

Задача 3

Через точку $P\left(-\frac45,1,2\right)$ провести плоскость, являющуюся спрямляющей для кривой: $$ x=t^2,\,\, y=1+t,\,\, z=2t. $$

Решение задачи 3

Как и в предыдущей задаче нам неизвестны координаты точки, в которой проведена спрямляющая плоскость к заданной кривой. Найдем их.

Спрямляющая плоскость определяется касательной и бинормалью, то есть векторами $\vec(t_0)$ и $\vec(t_0)\times\vec(t_0)$.

Записываем уравнение спрямляющей плоскости: \begin \left| \begin X-t_0^2 & Y-1-t_0 & Z-2t_0 \\ 2t_0 & 1 & 2\\ 0 & 4 & -2 \end \right|= 0 \end

Раскрываем определитель. Подставляем в уравнение координаты точки $P$: $X=-4/5$, $Y=1$, $Z=2$. Упрощаем и получаем уравнение для нахождения $t_0$: \begin 5t_0^2-8t_0-4=0 \,\, \Rightarrow \,\, t_<01>=2,\, t_<02>=-\frac25. \end

Уравнения соприкасающихся плоскостей к заданной кривой, проходящих через $P$, принимают вид: \begin & 5X-4Y-8Z+24=0,\\ & 25X+4Y+8Z=0. \end

источники:

http://liveposts.ru/articles/education-articles/matematika/kak-sostavit-uravnenie-kasatelnoj-k-grafiku-funktsii

http://vmath.ru/vf5/diffgeom/seminar1