Записать уравнение в симметричной форме

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В СИММЕТРИЧНОЙ ФОРМЕ

МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ

Пример.

Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений:

Решение: Дифференцируя второе уравнение, имеем:

Чтобы исключить из полученного уравнения и заменим в нем и их значениями из данной системы. Получим: , откуда;

; запишем , то есть ( , откуда , тогда .

Для нахождения воспользуемся вторым из уравнений системы и найденным значением . Имеем:

откуда . Следовательно, общим решение данной системы будет:

Решим теперь поставленную задачу Коши. Подставляя в общее решение вместо их начальные значения , имеем:

откуда , так что искомым частным решение будет:

НАХОЖДЕНИЕ ИНТЕГРИРУЕМЫХ КОМБИНАЦИЙ

Интегрируемые комбинации – легко интегрируемые дифференциальные уравнения, полученные из данной системы, путём несложных преобразований. Построение интегрируемых комбинаций позволяет находить первые интегралы системы и понижать порядок этой системы. В целом, если для системы, состоящей из уравнений, найдено независимых первых интегралов, то тем самым найден общий интеграл этой системы, и её интегрирование окончено.

Пример. Решить СДУ:

Для нахождения интегрируемых комбинаций данной системы перепишем ее в симметричной форме:

Умножим все знаменатели на

Одной из интегрируемых комбинаций будет

Для получения второй интегрируемой комбинации вычтем в системе в симметричной форме из числителя и знаменателя первой дроби, соответственно числитель и знаменатель второй дроби. Эта операция в данном случае осмыслена, так как равносильно вычитанию из первого уравнения исходной системы её второго уравнения.

Отсюда находим второй первый интеграл:

Общее решение имеет вид

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Пример.

Решение: Первое уравнение решается независимо от второго. Разделяя в нём переменные и интегрируя, получим: . Подставляя найденное значение во второе уравнение, получим , откуда .

.

СВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ

Решение: Дифференцируя обе части первого из данных уравнений имеем:

Из второго уравнения находим , следовательно:

Общее решение этого уравнения есть

Из первого уравнения системы находим

Окончательно, общее решение системы уравнений:

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В СИММЕТРИЧНОЙ ФОРМЕ

Пример 1. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение: Из уравнения находим один из интегралов данной системы . Найдём ещё один интеграл, образовав интегрируемую комбинацию:

Имеем . Общее решение: .

Пример 2. Решить систему дифференциальных уравнений

с начальным условием =1, z(0)=2.

Решение. Имеем систему линейных дифференциальных уравнений. Вид её несимметричный, однако начальные условия дают основания проверить предположение, что искомые функции связаны соотношением . Проверим это предположение, исключая искомую функцию из системы подстановкой вместо неё функции . Оба уравнения системы при этом принимают вид , частное решение этого уравнения с учётом начального условия имеет вид . Одновременно найдена и другая искомая функция .

Симметрические и кососимметрические уравнения

Симметрические и кососимметрические уравнения

Симметрическим уравнением n -й степени называется алгебраическое уравнение вида

где равноотстоящие от концов многочлена коэффициенты равны, т.е.

Рассмотрим отдельно решение симметрических уравнений чётной и нечётной степеней [30].

Если то поделим уравнение на и сделаем замену . В результате получим алгебраическое уравнение степени в два раза ниже первоначальной, решив которое и сделав обратную подстановку, найдём все решения уравнения.

Если же , то одним из корней уравнения всегда будет x = — 1. Делением многочлена в левой части уравнения на x + 1 задача сводится к решению симметрического уравнения степени n = 2k , метод решения которого рассматривался выше.

Пример №189.

Решить уравнение

Решение:

Очевидно, имеем симметрическое уравнение 5-й степени. Решаем его по изложенной выше схеме. Одним из корней уравнения будет число x = — 1. Найдём другие корни:

Решим симметрическое уравнение 4-й степени

Поделим для этого обе части уравнения на :

Обозначим у = x + (1/x), тогда

Выполняя обратную подстановку, получаем

Объединяя полученные решения, приходим к ответу:

Кососимметрическим уравнением n -й степени называется уравнение вида

где равноотстоящие от концов многочлена коэффициенты являются противоположными числами, т.е.

Решение кососимметрических уравнений чётной и нечётной степени во многом аналогично решению соответствующих симметрических уравнений.

Если , то делением обеих частей уравнения на и заменой получим алгебраическое уравнение степени в два раза ниже первоначальной, решив которое и сделав обратную подстановку, найдём решения уравнения.

Если же , то одним из корней уравнения всегда будет x = 1, поэтому делением на x — 1 получаем кососимметрическое уравнение степени n = 2k . Задача свелась к предыдущей.

Пример №190.

Решить уравнение

Решение:

Это кососимметрическое уравнение 4-й степени. Поскольку x = 0 не является корнем уравнения, то поделим обе его части на :

Перепишем последнее уравнение в виде

Положим у = х — (1/x), тогда получим

Выполняя обратную подстановку, получаем 4 решения

Пример №191.

Найти все значения параметра а , при которых уравнение

на промежутке имеет не менее двух корней.

Решение:

Так как , то делением уравнения на , группировкой слагаемых с одинаковыми коэффициентами и заменой у = x — (1/х), получаем равносильное уравнение

Поскольку функция у =x — (1/x) возрастает на промежутке от до , то исходное уравнение имеет не менее двух корней на тогда и только тогда, когда, когда полученное уравнение имеет два отрицательных корня т.е. когда

Ответ:

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Симметрические системы уравнений и системы, содержащие однородные уравнения

Разделы: Математика

Цели урока:

• образовательная: обучение решению систем уравнений, содержащих однородное уравнение, симметрических систем уравнений;
• развивающая: развитие мышления, внимания, памяти, умения выделять главное;
• воспитательная: развитие коммуникативных навыков.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Используемые технологии обучения:

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

За неделю до урока учащиеся получают темы творческих заданий (по вариантам).
I вариант. Симметрические системы уравнений. Способы решения.
II вариант. Системы, содержащие однородное уравнение. Способы решения.

Каждый ученик, используя дополнительную учебную литературу, должен найти соответствующий учебный материал, подобрать систему уравнений и решить её.
По одному учащемуся от каждого варианта создают мультимедийные презентации по теме творческого задания. Учитель при необходимости проводит консультации для учащихся.

Содержание урока

I. Мотивация учебной деятельности учащихся

Вступительное слово учителя
На предыдущем уроке мы рассматривали решение систем уравнений методом замены неизвестных. Общего правила выбора новых переменных не существует. Однако, можно выделить два вида систем уравнений, когда есть разумный выбор переменных:

• симметрические системы уравнений;
• системы уравнений, одно из которых однородное.

II. Изучение нового материала

Учащиеся II варианта отчитываются о проделанной домашней работе.

1. Демонстрация слайдов мультимедийной презентации «Системы, содержащие однородное уравнение» (презентация 1).

Учащиеся записывают в тетради:

2. Работа в парах учащихся, сидящих за одной партой: учащийся II варианта объясняет соседу по парте решение системы, содержащей однородное уравнение.

Отчёт учащихся I варианта.

1. Демонстрация слайдов мультимедийной презентации «Симметрические системы уравнений» (презентация 2).

Учащиеся записывают в тетради:

2. Работа в парах учащихся, сидящих за одной партой: учащийся I варианта объясняет соседу по парте решение симметрической системы уравнений.

III. Закрепление изученного материала

Работа в группах (в группу по 4 ученика объединяются учащиеся, сидящие за соседними партами).
Каждая из 6 групп выполняет следующее задание.

Определить вид системы и решить её:

Учащиеся в группах анализируют системы, определяют их вид, затем, в ходе фронтальной работы обсуждают решения систем.

симметрическая, введем новые переменные x+y=u, xy=v

содержит однородное уравнение.

Пара чисел (0;0) не является решением системы.

IV. Контроль знаний учащихся

Самостоятельная работа по вариантам.

Решите систему уравнений:

Учащиеся сдают тетради учителю на проверку.

V. Домашнее задание

1. Выполняют все учащиеся.

Решите систему уравнений:

2.Выполняют «сильные» учащиеся.

Решите систему уравнений:

VI. Итог урока

Вопросы:
С какими видами систем уравнений вы познакомились на уроке?
Какой способ решения систем уравнений применяется при их решении?

Сообщение оценок, полученных учащимися в ходе урока.