Записать уравнения заданных кривых в полярных координатах

Задача 37826 Записать уравнения кривых в полярных.

Условие

Записать уравнения кривых в полярных координатах и построить их.

Решение

Вводим полярные координаты
x=r*cos φ
y=r*sin φ

1)
x=2y
r*cos φ=2r*sinφ ⇒ tgφ=2 — уравнение линии в полярных координатах

Луч под углом φ к полярной оси, причем tgφ =2

(r*cos φ)^2+(r*sinx φ)^2=169

r^2*(cos^2 φ +sin^2 φ )=13

r=13 — уравнение линии в полярных координатаx

Окружность с центром в точке О радиусом r=13

(r*cos φ)^2+(r*sinx φ)^2=-12*r*cosφ

r^2*(cos^2 φ +sin^2 φ )=-12*r*cosφ

так как r ≥ 0 ⇒ -12cosφ ≥ 0 ⇒ cos φ ≤ 0

Окружность в 2 и 3 четверти

(r*cos φ)^2+(r*sinx φ)^2=0,8*r*sinφ

r^2*(cos^2 φ +sin^2 φ )=0,8*rsinφ

так как r ≥ 0 ⇒ 0,8*sinφ ≥ 0 ⇒ sin φ ≥ 0

Окружность в 1 и 2 четверти

Примеры решений: полярная система координат

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости на тему Кривые в полярной системе координат: табуляция функции, построение графика, переход к уравнению в декартовой системе координат т.п.

Основные этапы при работе с кривой, заданной в полярной системе координат, такие:

• 1. Построить полярную систему координат (изобразить полюс, полярную ось и угловые направления). Обычно строят вспомогательные лучи через $\pi/6$ или $\pi/8$ радиан, для большинства кривых этих точек (получается от $0$ до $2\pi$ помещается 12 или 16 значений) вполне достаточно.
• 2. Табулируем кривую: берем последовательно все углы $\phi$ (см. выше): $0$, $\pi/8$, $\pi/4$, $3\pi/8$. и в каждой точке вычисляем значение $\rho(\phi)$. Заносим значения в таблицу.
• 3. Берем начерченную в первом пункте полярную систему координат и наносим точки. На полярной оси отмеряем значние $\rho(0)$, на луче $\pi/8$ — $\rho(\pi/8)$ и так далее.
• 4. Соединяем все точки плавной линией. Получается искомая кривая. Для проверки правильности можно построить дополнительно график с помощью онлайн-сервисов.
• 5. Если требуется найти уравнение кривой в декартовой системе координат, подставляем подходящие формулы $\rho=\sqrt$, $x=\rho\cos \phi$, $y=\rho\sin \phi$ и преобразуем.

Более подробно — в примерах ниже. Удачного изучения!

Полярная система координат: решения онлайн

Задача 1. Построить следующие кривые в полярной системе координат: Лемниската Бернулли $\rho^2=2\cos 2\phi$ (полюс помещен в точку О).

Задача 2. Построить по точкам кривую, заданную уравнением в полярной системе координат $\rho=2\sin 2\phi$. Найти уравнение кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось $Ox$ с полярной осью.

Задача 3. Дана линия своим уравнением в полярной системе координат $r=8 \sin \phi$. Требуется:
1) построить линию по точкам, давая $\phi$ значения через $\pi/6$, начиная с 0 до $2\pi$.
2) Найти уравнение этой линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью.

Задача 4. Линия задана уравнением $r=18/(4+5\cos \phi)$ в полярной системе координат. Требуется:
Построить линию по точкам, начиная от 0 до $2\pi$ и придавая $\phi$ значения через промежуток $\pi/8$.
Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.
Назвать линию, найти координаты фокусов и эксцентриситет.

Записать уравнения заданных кривых в полярных координатах

Построим график функции в полярных координатах r=r(φ),
где 0 Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x ctg(x) Функция — Котангенс от x arcctg(x) Функция — Арккотангенс от x arcctgh(x) Функция — Гиперболический арккотангенс от x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x gamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн