Запишите динамическое уравнение движения шарика

Запишите динамическое уравнение движения шарика

Лабораторная работа № 204

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ СТОКСА

Цель работы: изучить метод Стокса, определить коэффициент динамической вязкости глицерина.

Приборы и принадлежности:

стеклянный цилиндрический сосуд с глицерином,

1. ВЯЗКОСТЬ ЖИДКОСТИ. ЗАКОН СТОКСА

В жидкостях и газах при перемещении одних слоев относительно других возникают силы внутреннего трения, или вязкости, которые определяются законом Ньютона:

(1)

где h — коэффициент внутреннего трения, или коэффициент динамической вязкости, или просто вязкость; модуль градиента скорости, равный изменению скорости слоев жидкости на единицу длины в направлении нормали (в нашем случае вдоль оси y ) к поверхности S соприкасающихся слоев (рис. 1).

Согласно уравнению (1) коэффициент вязкости h в СИ измеряется в Па × с или в кг/( м × с ).

Механизм внутреннего трения в жидкостях и газах неодинаков, т.к. в них различен характер теплового движения молекул. Подробное изложение вязкости жидкости рассмотрено в работе № 203, вязкости газов – в работе № 205.

Вязкость жидкости обусловлена молекулярным взаимодействием, ограничивающим движение молекул. Каждая молекула жидкости находится в потенциальной яме, создаваемой соседними молекулами. Поэтому молекулы жидкости совершают колебательные движения около положения равновесия, то есть внутри потенциальной ямы. Глубина потенциальной ямы незначительно превышает среднюю кинетическую энергию, поэтому, получив дополнительную энергию при столкновении с другими молекулами, она может перескочить в новое положение равновесия. Энергия, которую должна получить молекула, чтобы из одного положения перейти в другое, называется энергией активации W , а время нахождения молекулы в положении равновесия – временем «оседлой жизни» t . Перескок молекул между соседними положениями равновесия является случайным процессом. Вероятность того, что такой перескок произойдет за время одного периода t ₀ , в соответствии с законом Больцмана, составляет

(2)

Величина, обратная вероятности перехода молекулы определяет среднее число колебаний, которое должна совершить молекула, чтобы покинуть положение равновесия. Среднее время «оседлой жизни» молекулы . Тогда

(3)

где k – постоянная Больцмана; средний период колебаний молекулы около положения равновесия.

Коэффициент динамической вязкости зависит от : чем реже молекулы меняют положение равновесия, тем больше вязкость. Используя модель скачков молекул, советский физик Я.И.Френкель показал, что вязкость изменяется по экспоненциальному закону:

(4)

где А – константа, определяемая свойствами жидкости.

Формула (4) является приближенной, но она достаточно хорошо описывает вязкость жидкости, например, воды в интервале температур от 5 до 100 ° С, глицерина – от 0 до 200 ° С.

Из формулы (4) видно, что с уменьшением температуры вязкость жидкости возрастает. В ряде случаев она становится настолько большой, что жидкость затвердевает без образования кристаллической решетки. В этом заключается механизм образования аморфных тел.

При малых скоростях движения тела в жидкости слой жидкости, непосредственно прилегающий к телу, прилипает к нему и движется со скоростью тела. По мере удаления от поверхности тела скорость слоев жидкости будет уменьшаться, но они будут двигаться параллельно. Такое слоистое движение жидкости называется ламинарным. При больших скоростях движения жидкости ламинарное движение жидкости становится неустойчивым и сменяется турбулентным, при котором частицы жидкости движутся по сложным траекториям со скоростями, изменяющимися беспорядочным образом. В результате происходит перемешивание жидкости и образуются вихри.

Характер движения жидкости определяется безразмерной величиной Re , называемой числом Рейнольдса. Это число зависит от формы тела и свойств жидкости. При движении шарика радиусом R со скоростью U в жидкости плотностью r _ж

(5)

При малых Re ( — 2 мм движется со скоростью 5 — 10 см/ c в вязкой жидкости, например в глицерине, движение жидкости будет ламинарным. В этом случае на тело будет действовать сила сопротивления, пропорциональная скорости

(6)

где r – коэффициент сопротивления. Для тела сферической формы

Сила сопротивления шарика радиусом R примет вид:

(7)

Формула (7) называется законом Стокса.

2. ОПИСАНИЕ РАБОЧЕЙ УСТАНОВКИ И МЕТОДА

Одним из существующих методов определения коэффициента динамической вязкости является метод Стокса. Суть метода заключается в следующем. Если в сосуд с жидкостью бросить шарик плотностью большей, чем плотность жидкости ( r > r _ж ), то он будет падать (рис. 2). На движущийся в жидкости шарик действует сила внутреннего трения (сила сопротивления) , тормозящая его движение и направленная вверх. Если считать, что стенки сосуда находятся на значительном расстоянии от движущегося шарика, то величину силы внутреннего трения можно определить по закону Стокса (6).

II Закон Ньютона.Динамические уравнения движения

Система отсчета, относительно которой выполняется закон Ньютона, называется инерциальной.

Второй закон Ньютона: изменение движения пропорционально приложенной силе и происходит в том направлении, в каком действует сила.

Сила – это физическая величина, характеризующая взаимодействие тел, в результате оторого тела приобретают ускорения или деформируются [F]=[Н]=[ ].

Но разные тела под влиянием одинаковых сил приобретают разные ускорения, следовательно, ускорение зависит не только от силы, но и от собственных свойств тел. Это свойство называется массой.

Масса – это мера инертности тела [m] = [кг].

Инертность – это способность тела приобретать ускорение.

1Н – сила, сообщающая телу массой 1кг ускорение 1м/с 2 в направлении действия силы.

Запишем второй закон Ньютона

, (1)

но , следовательно,

. (2)

Подведем m под знак дифференциала

, но

(3)

импульс (количество движения).

[Р]=[ ] направление импульса совпадает с направлением силы.

Перепишем второй закон Ньютона ;

. (9)

второй закон Ньютона через импульс

Динамические уравнения движения – это второй закон Ньютона, записанный для данного тела. Эти уравнения можно записать в векторном виде и в проекциях на оси координат. Составление и решение таких уравнений – главная задача динамики.

Движение твердого тела можно охарактеризовать двумя видами: поступательным и вращательным (из них состоит любое сложное движение).

При поступательном движении тела все его точки двигаются с одинаковыми скоростями и ускорениями. Если мысленно разбить тело наэлементами с массами Dm_i, то по второму закону Ньютона получим

, (4)

где f_i – внутренняя сила (сила взаимодействия элементов тела);

F_i – внешняя сила, действующая на каждый элемент.

По третьему закону Ньютона сумма вех внутренних сил равна 0, поэтому, суммируя выражения, получим

(5)

, (6)

где – векторная сумма всех внешних сил;

– главный вектор внешних сил.

Следовательно, рассмотрение поступательного движения твердого тела можно заменить рассмотрением движения одной материальной точки с массой, равной массе тела, и находящейся под действием силы, равной главному вектору внешних сил.

При сложном движении тела все его точки имеют разные скорости и ускорения. Разобьем тело на столь малые элементы, что их скорости и ускорения остаются постоянными

.

Суммируем это равенство f_i = 0

(7)

главный вектор внешних сил

Однако ускорения всех элементов тела разные, поэтому введем ускорение а_с, определяемое равенством

, (8)

где М – масса всего тела.

Умножим левую и правую часть равенства на М, используя , получим

, (9)

где а_с – ускорение некоторой точкиС, координаты которой

; ; , (10)

где С – центр масс тела или центр инерции (совпадает с центром приложения равнодействующей сил тяже).

15. Сложение двух гармонических колебаний одинаковой циклической частоты, происходящих вдоль одной прямой.

Пусть ; ; .

Складываемые колебания описываются уравнениями:

; (1)

. (2)

Так как колебания происходят вдоль одной прямой (вдоль оси ), то результирующее смещение в любой момент времени равно алгебраической сумме смещений и :

(3)

Выполним это сложение геометрически, с помощью векторов амплитуды и . На рисунке1 изображены положения векторов амплитуды в начальный момент времени. Вектор результирующей амплитуды равен геометрической сумме векторов и .

Проекции конца вектора определяет результирующее смещение в начальный момент времени. Так как оба вектора, и , вращаются в процессе колебаний с одной и той же угловой скоростью , с такой же скоростью будет вращаться и вектор результирующей амплитуды. Следовательно, результирующее колебание представляет собой гармоническое колебание той же частоты и происходит вдоль той же прямой. Из рисунка 1 видно, что

,

для произвольного момента времени:

, (4)

где и — амплитуда и начальная фаза результирующего колебания. Из по теореме косинусов получаем:

(5)

так как

(6)

Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз ( ) слагаемых колебаний. Если ( ), где то и , т.е. если разность фаз равна четному числу , колебания усиливают друг друга. Если , то и , т.е.

если разность фаз равна нечетному числу , колебания максимально ослабляют друг друга. В зависимости от разности фаз амплитуда колебания может принимать любые значения, лежащие в интервале:

.

ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ»

Цель работы:на примере движения тела шарообразной формы изучить основные закономерности движения в вязкой среде.

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики, т.1. Механика и молекулярная физи­ка.

2. Стрелков С.П. Механика.

3. Александров Н.В., Яшкин А.Я. Курс общей физики. Механика.

4. Архангельский М.М. Курс физики. Механика.

Вопросы для допуска к работы

а) знать следующие теоретические вопросы:

1. Понятие пограничного слоя. Чем определяется толщина пограничного слоя? Ламинарное и турбулентное движение.

2. Силы, действующие на тело при его движении в вязкой среде. Определяющие формулы сил, которые действуют на тело.

3. Уравнение движения тела. Характер движения тела на отдельных уча­стках.

4. Число Рейнольдса: его физический смысл и определяющая формула.

б) иметь в протоколе следующие расчетные формулы:

1. Формулу для расчета скорости движения шарика при условии равномерного движения.

2. Формулу, по которой можно оценить число Рейнольдса, зная геометри­ческие размеры, массу шарика и характеристики среды.

3. Формулы для расчета объема тел и площади «миделя».

4. Формулы для оценки погрешности.

Р.S. В расчетные формулы должны входить только те величины, которые могут быть измерены в процессе выполнения работы.

Краткая теория вопроса

На тело, движущееся в вязкой среде, действует сила сопротивления, величина которой зависит от размеров и формы тела, скорости его движения относительно среды и свойств самой среды. Как показал Л. Прандтль, процессы, обуславливающие появление силы сопротивления, в значительной мере определяются явлениями, происходя­щими в пограничном слое и характером вихрей. Вычисление силы сопротивления яв­ляется исключительно сложной задачей и можно лишь оценить порядок этой силы.

В общем случае полная сила сопротивления движению тела в вязкой среде складывается из двух компонент: сопротивления трения и сопротивления давления. Первое слагаемое определяется силами внутреннего трения, возникающим за счет градиента скорости в пограничном слое, второе — разностью давлений на передней и задней кром­ках обтекаемого тела и связано с турбулентным (вихревым) движением жидкости.

Стокс установил, что при небольших скоростях и размерах тел модуль силы сопротивления трения определяется формулой:

где h — динамическая вязкость среды, V — скорость движения тела, L — характерный размер тела и k — коэффициент пропорциональности, который зависит от формы тела. Для шара k = 6p. Исходя из формулы (1) выражение для определения модуля силы сопро­тивления трения имеет вид:

Модуль силы сопротивления давления определяется формулой:

(3)

где r — плотность среды, V — скорость движения тела, C_x — характеристический коэффициент обтекаемости тела, зависящий от формы тела, S_mid — площадь «миделя», под кото­рой понимают наибольшую площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к потоку.

Для оценки вклада той или иной силы в величину полной силы сопротивления движению в вязкой среде введено число Рейнольдса Re, которое определяется как отношение силы сопротивления давления к силе трения. Так при Re£0,5 (ламинарное движение) учитывают только силу сопротивления трения. При 0,5 1, т.е. турбулентных (вихревых) течений, учитывают только

силу сопротивления давления.

Найдем уравнения, описывающие движение тела в вязкой среде, т.е. решим основную задачу динамики. Рассмотрим это решение на примере падения шарика в вязкой среде (см. рис.). Динамическое уравнение движения может быть записано в виде:

В проекции на вертикальную ось Y это же уравнение записыва­ется так:

Из трех сил лишь одна является переменной — это сила сопротивления, величина кото­рой быстро изменяется с увеличением скорости. Естественно, что с течением времени ускорение, с которым движется тело, будет уменьшаться, и наступит такой момент, когда оно станет равным нулю. Начиная с этого момента тело будет двигаться равно­мерно с постоян ной скоростью V_уст, величину которой можно найти из уравнения дви­жения при условии, что а=0.

Рис. 1

В зависимости от того, какая сила сопротивления преоб­ладает значение V_уст будет различным.

Законы движения, описывающие движение тела, можно найти, решая дифферен­циальное уравнение вида:

(6)

где

Список заданий

Задание 1: Экспериментально определить скорость установившегося движения шарика в глицерине и число Рейнольдса. Необходимые для расчета данные взять из справочной литературы или определить экспериментально.

Задание 2: Используя результаты работы записать зависимость V(t), Y(t), a(t).

Вопросы для зачета

1. Понятие пограничного слоя. Чем определяется толщина пограничного слоя?

2. Какое движение называют ламинарным, турбулентным?

3. Какие силы действуют на тело, движущееся в вязкой среде?

4. Каковы причины появления сил сопротивления давления и сопротивления трения?

5. Каков физический смысл и размерность коэффициента вязкости

6. Физический смысл числа Рейнольдса.

7. Напишите уравнение движения тела. Каков характер движения тела на отдельных участках?

8. Качественные графики зависимости скорости и ускорения тела, па­дающего в вязкой среде, от времени.