Разностные уравнения
Содержание:
Разностные уравнения
Понятие разницы и разностного уравнения
Если для значений переменной x1, x2, x3, . функция f (x) принимает значения f (x1), f (x2), f (x3) . , то приращения функции составляют f (x2) – f (x1), f (x3) – f (x2), .
Приращение функции при переходе от значения xi к значению xi+1 будем обозначать: В частности можно взять в качестве значения независимых переменных x и x + 1 . Разность Δf (x) = f (x + 1) — f (x) называется первой разностью или разностью первого порядка. Она может рассматриваться в свою очередь как функция от x, а потому и для нее можно определить разницу:
Введем обозначения ΔΔf (x) = Δ 2 f (x), тогда Δ 2 f (x) = f (x + 2) — 2 f (x + 1) + f (x) и называется разностью второго порядка.
Аналогично можно найти разности третьего, четвертого и т. д. порядков.
Определим разности некоторых важнейших функций.
1) Если f (x) = С, где С — постоянная величина, то
Δf (x) = f (x + 1) – f (x) = С – С = 0.
Понятно, что и все разности следующих порядков будут также равняться нулю.
2) Если f (x) = ax + b, то
Δf = Δf (x + 1) — f (x) = a (x + 1) + b — ax — b = a.
Разница первого порядка линейной функции равна постоянной, а все остальные будут равны нулю.
3) Если f (x) = ax 2 + bx + c, то
Поскольку разница первого порядка является линейной функцией, то разница второго порядка — постоянная, а все последующие разности равны нулю.
4) Если f (x) = a x , то
В экономических исследованиях часто встречаются задачи, в которых время t является независимой переменной, а зависимая переменная определяется для времени t, t + 1, t + 2 и т. д.
Обозначим yt — значение функции y в момент времени t; yt+1 — значение функции в момент, сдвинутый на одну единицу, например, на следующий час, на следующую неделю и т. д., yt+2 — значение функции y в момент, сдвинутый на две единицы и т. д.
Очевидно, что
Откуда:
За разность второго порядка, имеем или
поэтому
Аналогично можно доказать, что
Итак, любую функцию
можно представить в виде: (7.50)
и наоборот.
Определение. Уравнение
(7.51)
называется разностным уравнением n-го порядка.
Решить разностное уравнение n-го порядка — это значит найти такую функцию yt, которая превращает уравнение (7.50) или (7.51) в тождество.
Решение, в котором есть произвольная постоянная, называется общим; решение, в котором постоянная отсутствует, называется частным.
Определение. Уравнение
(7.52)
где a0, a1, . an — постоянные числа, называется неоднородным разностным
уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Если в уравнении (7.52) f (t) = 0, то уравнение называется однородным разностным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами:
(7.53)
Уравнение есть однородное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами a и b, а уравнение — неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами a, b, c.
ТЕОРЕМА 1. Если решениями однородного разностного уравнения (7.53) является y1 (t) и y2 (t), то его решением будет также функция y1 (t) + y2 (t).
ТЕОРЕМА 2. Если y (t) является решением однородного разностного уравнения (7.53), то его решением будет также функция Ay (t), где А — произвольная постоянная.
ТЕОРЕМА 3. Если y (t) — частное решение неоднородного уравнения (7.52) и y (t, A1, A2, . An) — общее решение однородного уравнения (7.53), то общим решением неоднородного разностного уравнения будет функция: y (t) + y (t, A1, A2, . An).
Эти теоремы схожи с теоремами для дифференциальных уравнений, которые были приведены нами в предыдущем разделе.
Разностные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим неоднородное разностное уравнение
(7.54)
Соответствующее ему однородное уравнение будет:
(7.55)
Возьмем функцию и убедимся, что она будет решением уравнения (7.55). Поскольку , тогда . Подставим yt и yt-1 в уравнение (7.55):
Итак, является решением уравнения (7.55).
По теореме (2) общее решение однородного разностного уравнения (7.55) является функция , где А — произвольная постоянная.
Пусть — частное решение неоднородного разностного уравнения (7.54). По теореме (3) общим решением неоднородного разностного уравнения (7.54) будет функция
Частное решение найти нетрудно, если f (t) = α, где α — некоторая постоянная. На самом деле, если где u — постоянная. Подставим в уравнение (7.54), имеем: u — au = α, откуда
Итак, общее решение уравнения (7.54) запишем в виде: .
Разностные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Пусть задано неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
(7.56)
и соответствующее ему однородное уравнение
(7.57)
Убедимся, что функция будет решением уравнения (7.58). Подставим в уравнение (7.57) (λ ≠ 0), получим Поскольку λ ≠ 0, то поделим на λ t-2 , имеем λ 2 + aλ + b = 0 (7.58)
Это уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения (7.57).
Здесь могут иметь место следующие три случая:
1. D = a 2 – 4b > 0, тогда уравнение (7.58) будет иметь два действительных различных корня.
Общее решение уравнения (7.57) запишется в виде:
а общее решение неоднородного уравнения (7.56) запишется так:
2. D = a 2 – 4b = 0, тогда и и
В этом случае однородное уравнение (7.57) примет вид:
(7.59)
Тогда
Легко убедиться, что решением уравнения (7.59) является также функция
Поэтому общим решением уравнения (7.59) является функция а общим решением неоднородного уравнения (7.56) функция
3. D = a 2 – 4b 2 – 5λ + 6 = 0 будет иметь действительные разные корни (D = 25 – 24 = 1 > 0), λ1 =2, λ2 = 3.
Общим решением однородного уравнения является функция
Далее положим, что yt = y — частное решение неоднородного уравнения, тогда
Таким образом, общим решением неоднородного уравнения является функция Постоянные A1 и A2 определим из начальных условий: y0 = 5, y1 = 9. Тогда для t = 0 и t = 1 соответственно будем иметь:
Решим эту систему уравнений относительно A1 и A2:
Откуда
Итак, — общее решение заданного в условии разностного уравнения.
Примеры применения разностных уравнений в экономических задачах
Пример 1. Пусть некоторая сумма средств выдается под сложный процент p, то к концу t-го года ее размер будет составлять:
Это однородное разностное уравнение первого порядка. Его решением будет функция , где A — некоторая постоянная, которую можно найти из начальных условий.
Если положить y0 = F , то A = F, откуда
Это известная формула величины фонда F, который выдается под сложный процент.
Пример 2. Пусть величина предложения сельскохозяйственной продукции в t-м году есть функция цены прошлого года а спрос на эту продукцию есть функция цены в этом году. Следовательно, спрос: а предложение
Цена равновесия для данной продукции определяется равенством:
а это разностное уравнение первого порядка.
Положим, что функция спроса определяется формулой а функция предложения — формулой
Цена равновесия запишется: то есть Решением этого уравнения является функция Постоянная A определяется из начальных условий, для t = 0 цена составляет p0.
Тогда p0 = A и решением уравнения является функция
Если начальная цена p0 = 0, то pt = 0 для всех значений t.
Следовательно, цена не подлежит изменению.
Вообще говоря, функция предложения — возрастающая, а потому b > 0; а функция спроса — убывающая, и поэтому a
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Запиши и реши уравнение: 1) Произведение неизвестного числа и числа 9 равно разности чисел 120 и 66. 2) Частное неизвестного числа и числа 8 равно сумме чисел 320 и 80.
Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,296
- гуманитарные 33,622
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,203
- разное 16,830
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Запиши уравнение разность 14648 и неизвестного числа равно произведению чисел 54 и 48?
Математика | 1 — 4 классы
Запиши уравнение разность 14648 и неизвестного числа равно произведению чисел 54 и 48.
14648 — х = 54х48
14648 — x = 54 * 48
Запиши и реши уравнение?
Запиши и реши уравнение.
Произведение неизвестного числа и числа 9 равно разности чисел 120 и 66.
Частное неизвестного числа и числа 8 равно сумме чисел 320 и 80.
Запиши уравнения и реши их 1) разность 14 648 и неизвестного числа равна произведению чисел 54 и 48?
Запиши уравнения и реши их 1) разность 14 648 и неизвестного числа равна произведению чисел 54 и 48.
2) частное неизвестного числа и 20 равно произведению чисел 623 и 14
Пожалуйста помогите решить эти уравнения.
Запиши уравнения и реши их?
Запиши уравнения и реши их.
А)Разность 14648 и неизвестного числа равна произведению чисел 54 и 48 б) Частное неизвестного числа и 20 равно произведению чисел 623 и 14 в) Сумма неизвестного числа и 395 равна частному чисел 30 294 и 34.
Запиши уравнение и реши их?
Запиши уравнение и реши их.
Разность 14648 и неизвестного числа равна произведению числа 54 и48.
1) Произведение неизвестного числа и 60 равно сумме чисел 6907 и 43493?
1) Произведение неизвестного числа и 60 равно сумме чисел 6907 и 43493.
2) Частное 40450 и неизвестного числа равно разности чисел 7621 и 7571.
Запишите уравнения и решите их.
Запишите уравнение и решите их : 1) произведение неизвестного числа и 60 равно сумме чисел 6907 и 43493 2)Частное 40450 и неизвестного числа равно разности чисел 7621 и 7571?
Запишите уравнение и решите их : 1) произведение неизвестного числа и 60 равно сумме чисел 6907 и 43493 2)Частное 40450 и неизвестного числа равно разности чисел 7621 и 7571.
Запиши уравнения и реши их?
Запиши уравнения и реши их.
1) Произведение неизвестного числа и 60 равно сумме чисел 6907 и 43493.
2) Частное 40450 и неизвестного числа равно разности чисел 7621 и 7571.
Запиши уравнения и реши их под номером один произведения неизвестных чисел 60 равно сумме чисел 6907 и434932)Часное40450 и неизвестного числа равно разности чисел 7621 и 7571?
Запиши уравнения и реши их под номером один произведения неизвестных чисел 60 равно сумме чисел 6907 и43493
2)Часное40450 и неизвестного числа равно разности чисел 7621 и 7571.
Запиши уравнение и реши их?
Запиши уравнение и реши их.
1)Произведение неизвестного числа и 60 равно сумме чисел 6907 и 43493.
2)Частное 40450 и неизвестного числа равно разности чисел 7621 и 7571.
Запиши и реши уравнения?
Запиши и реши уравнения.
1) Произведение неизвестного числа и числа 18 равно разности чисел 100 и 46.
2) Частное числа 770 и неизвестного числа равно произведению чисел 385 и 2.
Вы открыли страницу вопроса Запиши уравнение разность 14648 и неизвестного числа равно произведению чисел 54 и 48?. Он относится к категории Математика. Уровень сложности вопроса – для учащихся 1 — 4 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Математика, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.
http://www.soloby.ru/336042/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE
http://matematika.my-dict.ru/q/7156957_zapisi-uravnenie-raznost-14648-i-neizvestnogo/