Запишите кинематические уравнения движения в координатной форме

Физика

План урока:

Механическое движение. Система отсчёта. Закон относительности движения

Механическим движением в физике называется изменение с течением времени положения тела (или его частей) в пространстве относительно других тел.

То есть, чтобы сказать, что тело или система совершает механическое движение, нам необходимо: 1) наблюдать его во времени; 2) сравнивать его положение с положением какого-то другого тела (относительно этого тела).

Например, пассажир в едущем автомобиле неподвижен относительно кресла, на котором он сидит, но он движется относительно людей, стоящих на автобусной остановке и самой остановки. А сама автобусная остановка неподвижна относительно стоящих людей, ждущих автобус (см. рисунок 1). Однако она движется относительно проезжающих мимо машин. В первом случае наблюдаемым объектом был человек в машине, а точкой отсчета кресло и люди на остановке. Во втором случае наблюдаемой была автобусная остановка, а точками отсчета – люди на остановке и проезжающие мимо машины.

Рисунок 1 – Иллюстрация к примеру

Из примеров можно сделать вывод, что важно, какой именно объект находится под наблюдением и относительно какого объекта – тела отсчета – рассматривается его движение. Отсюда можно сформулировать закон относительности движения: характер движения тела зависит от того, относительно какого объекта мы рассматриваем данное движение.

Тело (или точка) отсчета, связанная с ним система координат и часы, вместе образуют систему отсчета. То есть все сказанное выше можно переформулировать в одно предложение: для наблюдения механического движения важно в какой системе отсчета будет происходить наблюдение.

Рисунок 2 – Пример системы отсчета (наблюдаемы объект – летящий мяч, тело отсчета – камень, лежащий в начале координат, система координат и секундомер для отсчета времени)

Однако объекты могут быть очень сложными для наблюдения. Например, автомобиль едет по прямой несколько километров и необходимо описать его движение относительно камня на обочине. Казалось бы, все просто. Но как именно описать движение автомобиля, если корпус его движется по прямой, а колеса совершают вращательные движения.

Для удобства решения подобных задач принято упрощение: если размер и форма тела в данной задаче не играют важной роли для наблюдателя, можно считать это тело за материальную точку.

Материальная точка – это такое тело, размером и формой которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Приведем пример: когда автобус едет из города А в город Б, его можно рассматривать как материальную точку. Когда пассажир идет из одного конца этого автобуса в другой, считать автобус материальной точкой нельзя. В общем случае можно сказать, что тело можно считать материальной точкой, если его размеры значительно меньше расстояния, на которое оно перемещается.

Уравнения движения. Радиус-вектор. Проекция вектора

Для описания движения тела необходимо уметь рассчитывать его положение в каждый момент времени. Как это сделать?

Самый очевидный способ – координатный. Если вернуться к примеру на рисунке 2, можно увидеть, что летящий мяч в каждый момент времени имеет три координаты по осям OX, OY и OZ. Эти координаты являются функциями времени (т.е. они зависят от времени), а значит, их можно записать в виде системы:

Вид этих уравнений будет зависеть от многих вещей: от того, с какой силой бросили мяч в начале, от массы мяча, под каким углом его бросили и так далее. В любом случае, если эти уравнения заданы, можно найти координаты (то есть положение) тела в любой момент времени. Поиск этих уравнений – основная задача кинематики.

Эта система является кинематическими уравнениями движения тела или материальной точки, записанными в координатной форме. Повторим: если вид уравнений движения задан, можно узнать координату движущейся точки в любой момент времени.

В общем случае, координат три, но иногда можно обойтись двумя или даже одной координатой. Например, для описания движения бильярдного шара достаточно двух координат (так как шар не может двигаться вверх и вниз), а для описания движения шарика, катящегося по прямому горизонтальному желобку достаточно одной координаты (шарик не может двигаться вверх-вниз и вправо-влево).

Еще один способ описания движения – векторный.

*Перед дальнейшим прочтением данной статьи желательно вспомнить основную теорию по теме «Векторы» и «Метод координат»

Вектор, проведенный из начала координат к материальной точке, называется радиус-вектором (см. рисунок 3).

Рисунок 3 – Радиус-вектор (серой линией изображены траектория движения материальной точки, r₁ и r₂* радиус-векторы, проведенные к этой материальной точке в разные моменты времени)

Радиус-вектор проведенный к материальной точке в разные моменты времени будет разным. Значит, его тоже можно представить, как функцию времени:

r = r(t)

Такая функция и будет уравнением движения в векторной форме. Если ее вид задан, можно описать движение тела с той же полнотой, как и при координатной записи.

Еще раз обозначим отличия: при записи уравнения движения в координатной форме в каждый момент времени наблюдающий будет знать три координаты тела; при записи в векторной форме в каждый момент времени известен радиус-вектор (его модуль и направление). Обе записи равносильны.

*На письме векторы обычно обозначаются стрелкой сверху, над величиной. Однако в печатном тексте не всегда удобно нагромождать формулы дополнительными знаками, поэтому в печати векторные величины пишут просто жирным шрифтом. В данной статье далее жирным шрифтом будут написаны только векторные величины.

Покажем, что векторная и координатная записи равносильны. Для этого необходимо вспомнить, как построить проекцию вектора на ось (см. рисунок 4).

Рисунок 4 – Построение проекции вектора на ось

Чтобы построить проекцию вектора на ось, необходимо опустить перпендикуляра из начала и конца вектора на эту ось. Длина получившегося отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+», если вектор а сонаправлен с осью Х, или со знаком «-», если вектор а противонаправлен оси Х, — это и есть искомая проекция.

Если вектор выходит из начала координат, задача облегчается – необходимо опустить перпендикуляр только из конца вектора.

Напоминания из геометрии:

два вектора равны, если они параллельны или лежат на одной прямой, сонаправлены, а их модули равны;

проекции равных векторов равны.

Рассмотрим пример (см. рисунок 5)

Рисунок 5 – Задача на нахождение проекции векторов

Предлагаем читателю самому подумать, а затем сравнить свои рассуждения с приведенными ниже.

Итак, вектор а: его начала соответствует координате х_н=1, а конец х_к = 4. Значит a_x = х_к – х_н = 4-1 = 3. Вектор b: его начало лежит в точке х_н=2, а конец х_к =0. Значит b_x = х_к – х_н = 0-2 = -2.

В двумерном случае, проецировать нужно на две оси, но принцип остается тем же.

Иногда еще нужно находить составляющие компоненты вектора а_х и а_у. Рассмотрим пример, для простоты возьмем вектор, выходящий из начал координат (см. рисунок 6).

Сумма векторов а_х и а_у равна а. Модули векторов а_х и а_у численно равны координатам точек, куда попали перпендикуляры, опущенные из конца вектора а на оси ОХ и ОУ.

Еще следует отметить, что, если известен угол β между вектором а и осью ОХ, воспользовавшись основами тригонометрии, можно найти величины проекций:

Если бы вектор а совпадал с радиус-вектором какой-нибудь точки, то величины а_х и а_у совпадали бы с координатами тела по осям ОХ и ОY.

Способ с использованием тригонометрических функций удобен, когда координата конца вектора попадает в нецелое число и опустив перпендикуляр на ось его трудно найти точно. В физических задачах такое часто случается.

Рисунок 6 – Нахождение компонент вектора а

Рассмотрим пример (см. рисунок 7). Модуль вектора r равен 2. Сам вектор направлен под углом в 45 градусов к оси ОХ. Необходимо найти величины проекций (они же координаты) этого вектора на оси ОХ и ОУ.

Рисунок 7 – Задача на нахождение проекций вектора в двумерном пространстве

В общем случае радиус-вектор находится в трехмерном пространстве (см. рисунок 8). Построение проекции осуществляется по тому же принципу, что и в рассмотренных выше примерах. Когда строятся проекции на оси ОХ и ОУ, перпендикуляр сначала опускается на плоскость, в которой лежат оси ОХ и ОУ, а затем точка, в которую упал перпендикуляр к плоскости, проецируется на оси ОХ и ОУ.

Точки, в которые попал перпендикуляры к осям – r_x, r_y, r_z – это и есть координаты x, y, z тела в текущий момент времени.

Следует оговориться, что большинство задач 10-го класса будут ограничиваться двумерным пространством.

Рисунок 8 – Построение проекций радиус-вектора

Траектория. Путь. Перемещение

Траектория – это линия, вдоль которой движется тело.

Траектория движения может быть прямолинейной, если тело движется по прямой линии, и криволинейной, если тело движется по кривой.

Путь (S), пройденный телом, равен длине траектории.

Перемещение (r)* – это вектор, проведенный из начала пути в конец.

В случае прямолинейного движения путь и модуль перемещения тела совпадают (см. рисунок 9а). В случае криволинейного – путь и перемещение различаются (см. рисунок 9б), так как длина линии движения тела больше длины вектора, соединяющего начало и конец траектории.

Рисунок 9 – Путь (S) и перемещение (r) при прямолинейном (а) и криволинейном (б) движении

*Иногда перемещение так же, как и путь, называют буквой S — (на письме с вектором над ней, при печати — жирным шрифтом, так как это векторная величина). В данной статье, чтобы не путаться, перемещение называется только буквой r. В целом, обозначения равноправны, поэтому при решении задач можно использовать то, которое удобнее. Однако не стоит забывать отмечать, что именно обозначено под той или иной буквой.

Равномерное прямолинейное движение: скорость и уравнение движения

Путь и перемещение при равномерном прямолинейном движении

Прямолинейное равномерное движение уже рассматривалось в курсе физики ранее, однако приведем основные определения.

Прямолинейное движение – это движение по прямой линии. Равномерное движение – такое, в процессе которого тело за равные временные промежутки проходит один и тот же путь. Если объединить эти два определения получится третье:

• равномерное прямолинейное движение – это такое движение, в ходе которого 1) тело совершает движение по прямой линии; 2) за одинаковые временные промежутки проходит одинаковый путь.

Зная определения пути и перемещения, это определение можно упростить: прямолинейное равномерное движение тела – это такое движение, в процессе которого тело за одинаковые временные промежутки совершает равные перемещения.

Важной характеристикой является скорость механического движения. Предположим, что при равномерном прямолинейном движении тело за промежуток времени △t перемещается из точки А в точку Б (см. рисунок 8). Радиус-вектор, проведенный в точку A обозначим r₀, а радиус-вектор в точку Б обозначим r₁. Изменение радиус-вектора назовем △r – нетрудно заметить, что это есть перемещение тела за время △t.

Рисунок 8 – Поиск перемещения тела через радиус-векторы при равномерном прямолинейном движении

Тогда скорость движения (v) будет вычисляться по формуле:

Так как △r – вектор, △t – скаляр, скорость v тоже будет вектором, сонаправленным перемещению.

Если тело начинает двигаться в момент начала отсчета, то △t = t*. Из правила сложения векторов следует, что △r = r₁ — r₀. Тогда выражение для скорости можно переписать в виде:

Из этого выражения следует:

Это выражение можно применить к любому произвольно взятому моменту времени, поэтому можно опустить индекс в левой части и переписать:

Данное уравнение является уравнением движения при прямолинейном равномерном движении.

*Напоминание: символом △ (дельта) обозначают изменение какой-нибудь величины. Например △t = t – t₁, где t – конечный момент времени, t₁ – начальный. Если же начальный момент времени совпадает с началом отсчета t₁ = 0, то △t = t – 0 = t_.

Фактически уравнение равномерного прямолинейного движения означает, что радиус-вектор в произвольный момент времени t можно посчитать, сложив начальный радиус-вектор и приращение v*t.

Найдя проекции радиус-вектора и вектора скорости, можно разложить уравнение движения тела на три составляющие вдоль осей ОX, ОY и ОZ.

В этих выражениях r_0x, r_0y, r_0z и v_x, v_y, v_z – это компоненты изначальных векторов r₀ и v вдоль осей ОХ, ОY и ОZ соответственно. И теперь можно перейти к скалярному виду:

Стоит отметить, что при проецировании какие-то компоненты вектора могут стать отрицательными, тогда знаки в выражениях поменяются на противоположные.

В рассмотренном выше примере движение происходит только вдоль оси ОХ (остальные координаты не изменяются). На рисунке 9 приведены проекции начальной (х₀) и конечной (х₁) точки на ось ОХ.

Рисунок 9 – Перемещение тела в координатном представлении

Уравнение координаты (х) движения будет выглядеть:

А это уже похоже на знакомую из прошедшего курса физики формулу для нахождения пути:

Если точка начала двигаться из начала отсчета S₀ = 0, можно переписать эту формулу в виде:

Отсюда следуют известные уже формулы для нахождения скорости и времени при равномерном прямолинейном движении:

Приведем последний в этой статье пример: известно, что тело движется вдоль оси ОХ, начиная из точки x₀ = 3 см. Скорость тела равна v = 5 м/с и направлена вдоль оси ОХ. Необходимо записать уравнение движения по координате х для этого тела.

Итак, для начала приведем все единицы измерения к СИ:

Теперь можно записывать уравнение для координаты х:

Из этого уравнения можно найти координату тела в любой момент времени. Например, через 2 секунды после начала отсчета тело находилось в точке:

x(2) = 0,03 + 5*2 = 10, 03.

А какой путь прошло тело к этому моменту? В начале оно находилось в точке x(2) = 0,03 м, а через 2 секунды оно стало находиться в точке x(2) = 10, 03. Значит за 2 секунды тело прошло:

S = x(2) – x₀ = 10, 03 – 0,03 = 10 м.

А если скорость тела была направлена противоположно оси ОХ, как тогда выглядело бы уравнение движения?

Тогда проекция вектора скорости на ось ОХ была бы отрицательной и в уравнении знак перед скоростью поменялся бы на противоположный:

Уравнение движения материальной точки

Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.

Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

Система отсчета. Системы координат

Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.

В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x , y , z – ее координат. Могут быть применены другие:

• сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r , υ , φ ;
• цилиндрическая система с координатами p , z , α ;
• на полярной плоскости с параметрами r , φ .

В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.

Кинематическое уравнение движения материальной точки

Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.

При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.

Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:

Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.

Ее перемещение по уравнению ( 1 ) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t . Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:

x ( t ) = x , y ( t ) = y , z ( t ) = z ( 2 ) .

Прямоугольные декартовы координаты x , y , z — это проекции радиус-вектора r ¯ , проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r ¯ можно найти из соотношений, где a , β , γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.

Равенства ( 2 ) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости О х у , тогда применимы полярные координаты r , φ , относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:

r = r ( t ) , φ = φ ( t ) ( 3 ) .

Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q 1 , q 2 , q 3 , связанных с декартовыми преобразованиями вида x = x ( q 1 , q 2 , q 3 ) , y = y ( q 1 , q 2 , q 3 ) , z = z ( q 1 , q 2 , q 3 ) ( 4 ) , записывается как

q 1 = q 1 ( t ) , q 2 = q 2 ( t ) , q 3 = q 3 ( t ) ( 5 ) .

Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями ( 2 ) , ( 5 ) . Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.

Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:

Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.

Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.

Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.

Дано уравнение движения материальной точки x = 0 , 4 t 2 . Произвести запись формулы зависимости υ x ( t ) , построить график зависимости скорости от времени. На графике отметить площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, произвести вычисление.

Дано: x = 0 , 4 t 2 , t = 4 c

Найти: υ x ( t ) , S — ?

Решение

При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:

υ x = υ 0 x + a x t .

Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:

x = x 0 + υ 0 x t + a x t 2 2 , x = 0 , 4 t 2 .

Очевидно, что x 0 = 0 , υ 0 x = 0 , a x = 0 , 8 м / с 2 .

После подстановки данных в уравнение:

Определим точки, изобразим график:

υ x = 0 , t = 0 , υ x = 4 , t = 5

Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы:

Механическое движение и его характеристики

теория по физике 🧲 кинематика

Механика — раздел физики, который изучает механическое движение физических тел и взаимодействие между ними.

Основная задача механики — определение положение тела в пространстве в любой момент времени.

Механическое движение — изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Механическое движение и его виды

По характеру движения точек тела выделяют три вида механического движения:

• Поступательное. Это движение, при котором все точки тела движутся одинаково. Если через тело мысленно провести прямую, то после изменения положения этого тела в пространстве данная прямая останется параллельной самой себе.
• Вращательное. Это движение, при котором все точки тела движутся, описывая окружности.
• Колебательное. Это движение тела, которое повторяется точно или приблизительно через определенные интервалы времени. От вращательного движения его отличает то, что при колебаниях тело перемещается в двух взаимно противоположных направлениях.

По типу линии, вдоль которой движется тело, выделяют два вида движения:

• Прямолинейное — тело движется по прямой линии.
• Криволинейное — тело движется по кривой линии, в том числе замкнутой.

По скорости выделяют два вида движения:

• Равномерное — скорость движущегося тела остается неизменной.
• Неравномерное — скорость движущегося тела с течением времени меняется.

По ускорению выделяют три вида движения:

• Равноускоренное — тело движется неравномерно с постоянным ускорением (положительным). Скорость увеличивается.
• Равнозамедленное — тело движется неравномерно с постоянным замедлением (отрицательным ускорением). Скорость уменьшается.
• Ускоренное — тело движется неравномерно с меняющимся ускорением. Скорость может, как увеличиваться, так и уменьшаться.

Что нужно для описания механического движения?

Для описания механического движения нужно выбрать, относительно какого тела оно будет рассматриваться. Движение одного и того же объекта относительно разных тел неодинаковое. К примеру, идущий человек относительно дерева движется с некоторой скоростью. Но относительно сумки, которую он держит в руках, он находится в состоянии покоя, так как расстояние между ними с течением времени не изменяется.

Решение основной задачи механики — определения положения тела в пространстве в любой момент времени — заключается в вычислении координат его точек. Чтобы вычислить координаты тела, нужно ввести систему координат и связать с ней тело отсчета. Также понадобится прибор для измерения времени. Все это вместе составляет систему отсчета.

Система отсчета — совокупность тела отсчета и связанных с ним системы координат и часов.

Тело отсчета — тело, относительно которого рассматривается движение.

Часы — прибор для отсчета времени. Время измеряется в секундах (с).

При описании движения тела важно учитывать его размеры, так как характер движения его отдельных точек может различаться. Но в рамках некоторых задач размер тела не влияет на результат решения. Тогда его можно считать пренебрежительно малым. Тогда тело рассматривают как движущуюся материальную точку.

Материальная точка — это тело, размерами которого можно пренебречь в условиях конкретной задачи. Допустимо принимать тело за точку, если оно движется поступательно или его размеры намного меньше расстояний, которые оно проходит.

Виды систем координат

В зависимости от характера движения тела для его описания выбирают одну из трех систем координат:

• Одномерную. Используется, когда положение материальной точки можно задать только одной координатой x — M(x) . В этом случае тело движется прямолинейно.
• Двумерную. Используется, когда положение материальной точки можно задать двумя координатами x и y — M(x,y). Тело в этом случае движения по плоскости.
• Трехмерную. Используется, когда положение материальной точки можно задать тремя координатами x, y и z — M(x,y,z). Тело в этом случае изменяет положение в трехмерном пространстве.

Способы описания механического движения

Описать механическое движение можно двумя способами:

Координатный способ

Указать положение материальной точки в пространстве можно, используя трехмерную систему координат. Если эта точка движется, то ее координаты с течением времени меняются. Так как координаты точки зависят от времени, можно считать, что они являются функциями времени. Математически это записывается так:

Эти уравнения называют кинематическими уравнениями движения точки, записанными в координатной форме.

Векторный способ

Радиус-вектор точки — вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец — с положением этой точки.

Указать положение точки в трехмерном пространстве также можно с помощью радиус-вектора. При движении точки радиус-вектор со временем изменяется. Он может менять направление и длину. Это значит, что радиус-вектор тоже можно принять за функцию времени. Математически это записывается так:

Эта формула называется кинематическим уравнением движения точки, записанным в векторной форме.

Характеристики механического движения

Движение материальной точки характеризуют три физические величины:

Перемещение

Перемещение (вектор перемещения) — направленный отрезок, начало которого совпадает с начальным положением точки, а конец — с его конечным положением. Обозначается как S .

Перемещение точки определяется как изменение радиус-вектора. Это изменение обозначается как Δ r . С точки зрения геометрии вектор перемещения равен разности радиус-векторов, задающих конечное и начальное положение точки:

Траектория — линия, которую описывает тело во время движения.

Путь — длина траектории. Обозначается буквой s. Единица измерения — метры (м).

Путь есть функция времени:

Модуль перемещения — длина вектора перемещения. Обозначается как |Δ r |. Единица измерения — метры (м).

Модуль перемещения необязательно должен совпадать с длиной пути.

Пример №1. Человек обошел круглое поле диаметром 1 км. Чему равны пройденный путь и перемещение, которое он совершил.

Путь равен длине окружности. Поэтому:

Человек, обойдя круглое поле, вернулся в ту же точку. Поэтому его начальное положение совпадает с конечным. В этом случае человек совершил перемещение, равное нулю.

Пример №2. Точка движется по окружности радиусом 10 м. Чему равен путь, пройденный этой точкой, в момент, когда модуль перемещения равен диаметру окружности?

Диаметр — это отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Перемещение равно длине этого отрезка в случае, если один из концов этого отрезка является началом вектора перемещения, а другой — его концом. Траекторией движения в этом случае является дуга, равная половине окружности. А длина траектории есть путь:

Скорость

Скорость — векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения тела. Численно она равна отношению перемещения за малый промежуток времени к величине этого промежутка.

В физике скорость обозначается V . Математически скорость определяется формулой:

Скорость характеризуется не только направлением вектора скорости, но и его модулем.

Модуль скорости — расстояние, пройденное точкой за единицу времени. Обозначается буквой V и измеряется в метрах в секунду (м/с).

Математическое определение модуля скорости:

Величина скорости тела в данный момент времени есть первая производная от пройденного пути по времени:

Ускорение

Ускорение — векторная физическая величина, которая характеризует быстроту изменения скорости тела. Численно она равна отношению изменения скорости за малый промежуток времени к величине этого промежутка.

В физике ускорение обозначается a . Математически оно определяется формулой:

Модуль ускорения — численное изменение скорости в единицу времени. Обозначается буквой a. Единица измерения — метры в секунду в квадрате (м/с 2 ).

Математическое определение модуля скорости:

v — скорость тела в данный момент времени, v₀— его скорость в начальный момент времени, t — время, в течение которого эта скорость менялась.

Ускорение тела есть первая производная от скорости или вторая производная от пройденного пути по времени:

Проекция вектора перемещения на ось координат

Проекция вектора перемещения на ось — это скалярная величина, численно равная разности конечной и начальной координат.

Проекция вектора на ось OX:

Проекция вектора на ось OY:

Знаки проекций перемещения

• Проекция является положительной, если движение от начала проекции вектора к проекции конца происходит сонаправленно оси координат.
• Проекция является отрицательной, если движение от начала проекции вектора к проекции конца направлено в сторону, противоположную направлению координатной оси.

Внимание!

Проекция вектора перемещения на ось считается нулевой, если вектор расположен перпендикулярно этой оси.

Модуль перемещения — длина вектора перемещения:

Модуль перемещения измеряется в метрах (м).

Вместе с собственными проекциями модуль перемещения образует прямоугольный треугольник. Сам он является гипотенузой этого треугольника. Поэтому для его вычисления можно применить теорему Пифагора. Выглядит это так:

Выразив проекции вектора перемещения через координаты, эта формула примет

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Выражение проекций вектора перемещения через угол его наклона по отношению к координатным осям:

Общий вид уравнений координат:

Пример №3. Определить проекции вектора перемещения на ось OX, OY и вычислить его модуль.

Определяем координаты начальной точки вектора:

Определяем координаты конечной точки вектора:

Проекция вектора перемещения на ось OX:

Проекция вектора перемещения на ось OY:

Применяем формулу для вычисления модуля вектора перемещения:

Пример №4. Определить координаты конечной точки B вектора перемещения, если начальная точка A имеет координаты (–5;5). Учесть, что проекция перемещения на OX равна 10, а проекция перемещения на OY равна 5.

Извлекаем известные данные:

Для определения координаты точки В понадобятся формулы:

Выразим из них координаты конечного положения точки:

Точка В имеет координаты (5; 10).

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные в определенной системе отсчета.
2. Записать формулу ускорения.
3. Выразить из формулы ускорения скорость.
4. Найти искомую величину.

Решение

Записываем исходные данные:

• Тело начинает двигаться из состояния покоя. Поэтому его начальная скорость v₀ = 0 м/с.
• Ускорение, с которым тело начинает движение, равно: a = 4 м/с 2 .
• Время движения согласно условию задачи равно: t = 2 c.

Записываем формулу ускорения:

Так как начальная скорость равна 0, эта формула принимает

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Отсюда скорость равна:

Подставляем имеющиеся данные и вычисляем:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить