Запишите уравнение кривой в полярных координатах

Задача 37826 Записать уравнения кривых в полярных.

Условие

Записать уравнения кривых в полярных координатах и построить их.

Решение

Вводим полярные координаты
x=r*cos φ
y=r*sin φ

1)
x=2y
r*cos φ=2r*sinφ ⇒ tgφ=2 — уравнение линии в полярных координатах

Луч под углом φ к полярной оси, причем tgφ =2

(r*cos φ)^2+(r*sinx φ)^2=169

r^2*(cos^2 φ +sin^2 φ )=13

r=13 — уравнение линии в полярных координатаx

Окружность с центром в точке О радиусом r=13

(r*cos φ)^2+(r*sinx φ)^2=-12*r*cosφ

r^2*(cos^2 φ +sin^2 φ )=-12*r*cosφ

так как r ≥ 0 ⇒ -12cosφ ≥ 0 ⇒ cos φ ≤ 0

Окружность в 2 и 3 четверти

(r*cos φ)^2+(r*sinx φ)^2=0,8*r*sinφ

r^2*(cos^2 φ +sin^2 φ )=0,8*rsinφ

так как r ≥ 0 ⇒ 0,8*sinφ ≥ 0 ⇒ sin φ ≥ 0

Окружность в 1 и 2 четверти

Запишите уравнение кривой в полярных координатах

Построим график функции в полярных координатах r=r(φ),
где 0 Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x ctg(x) Функция — Котангенс от x arcctg(x) Функция — Арккотангенс от x arcctgh(x) Функция — Гиперболический арккотангенс от x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x gamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Уравнения для различных видов кривых.

Лемниската Бернулли, плоская алгебраическая кривая, в прямоугольных координатах описывается уравнением:

(х 2 + у 2 ) 2 = 2с 2 (х 2 — у 2 ),

в полярной:

Причем, 2с — расстояние между фокусами, размещены они на оси 0х, и начало координат пополам разделяет отрезок между ними.

Роза – плоская кривая, напоминающее символическое изображение цветка. Данная кривая представлена уравнением в полярных координатах:

Причем коэффициент k определяет количество лепестков.

Улитка Паскаля – плоская кривая представленная выражениями:

l — расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус — вектора.

Полукубическая парабола – плоская алгебраическая кривая, характеризующаяся выражением y 2 = ax 3 в прямоугольной системе координат.

Астроида – уравнение в декартовых координатах имеет вид:

Кардиоида. Если а — радиус окружностей, начало координат находится в крайней правой точке горизонтального диаметра неподвижной окружности. Тогда уравнения кардиоиды принимает вид:

в прямоугольных координатах — (х 2 + у 2 +2аx) 2 – 4a 2 (х 2 + у 2 ) = 0;

Спираль Архимеда – спираль, плоская кривая, траектория точки М, которая равномерно движется вдоль ОV с началом в О, в то время как сам луч ОV равномерно вращается вокруг О.

Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат:

где k — смещение точки M по лучу r, при повороте на угол равный одному радиану.

Циклоида — плоская трансцендентная кривая. Характеризуется в декартовых координатах так:

.