Задача 62271 Записать уравнение окружности.
Условие
Записать уравнение окружности, проходящей через
указанные точки и имеющий центр в точке A , сделать
рисунок
1. Вершины гиперболы
12x^2 -13y^2 = 156, А(0; 2)
Решение
(x^2/13)-(y^2/12)=1- каноническое уравнение гиперболы с действительной осью Ох
Значит вершины гиперболы в точках
(-sqrt(13);0) и (sqrt(13);0)
Каноническое уравнение окружности с центром в
А(0; 2)
Подставляем координаты вершин гиперболы:
(-sqrt(13);0) ((-sqrt(13)^2-0)^2+(0-2)^2=R^2 ⇒ R^2=13+4=17
и (sqrt(13);0)((sqrt(13)^2-0)^2+(0-2)^2=R^2 ⇒ R^2=13+4=17
О т в е т. (x-0)^2+(y-2)^2=17 или [b] x^2+(y-2)^2=17[/b]
Записать уравнение окружности, проходящей через указанные точки имеющийся центр в точке
Записать уравнение окружности, проходящей через обозначенные точки имеющийся центр в точке А: вершину гиперболы х^2-16y^2=64, A(0,-2)
- Ljubov Lomizova
- Математика 2019-10-10 02:53:17 0 1
Уравнение окружности имеет вид (х х0) + (y y0) = R, где R радиус окружности, х0 и у0 координаты центра окружности.
Так как центр окружности имеет координаты А(0; -2), то х0 = 0, у0 = -2.
Получается уравнение (х 0) + (y + 2) = R, х + (y + 2) = R.
Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:
Поделим уравнение на 64:
Вычислим координаты вершин гиперболы:
у = 0; (х/8) — (0/2) = 1; х/64 = 1; х = 64; х = -8 и х = 8.
Верхушки параболы имеют координаты (8; 0) и (-8; 0).
Подставим координаты хоть какой из вершин в уравнение нашей окружности, чтоб вычислить квадрат радиуса:
Следовательно, уравнение окружности имеет вид х + (y + 2) = 68.
Найти уравнение окружности проходящей через вершины гиперболы
Задача 62271 Записать уравнение окружности.
Условие
Записать уравнение окружности, проходящей через
указанные точки и имеющий центр в точке A , сделать
рисунок
1. Вершины гиперболы
12x^2 -13y^2 = 156, А(0; 2)
Решение
(x^2/13)-(y^2/12)=1- каноническое уравнение гиперболы с действительной осью Ох
Значит вершины гиперболы в точках
(-sqrt(13);0) и (sqrt(13);0)
Каноническое уравнение окружности с центром в
А(0; 2)
Подставляем координаты вершин гиперболы:
(-sqrt(13);0) ((-sqrt(13)^2-0)^2+(0-2)^2=R^2 ⇒ R^2=13+4=17
и (sqrt(13);0)((sqrt(13)^2-0)^2+(0-2)^2=R^2 ⇒ R^2=13+4=17
О т в е т. (x-0)^2+(y-2)^2=17 или [b] x^2+(y-2)^2=17[/b]
Записать уравнение окружности, проходящей через указанные точки имеющийся центр в точке
Записать уравнение окружности, проходящей через обозначенные точки имеющийся центр в точке А: вершину гиперболы х^2-16y^2=64, A(0,-2)
- Ljubov Lomizova
- Математика 2019-10-10 02:53:17 0 1
Уравнение окружности имеет вид (х х0) + (y y0) = R, где R радиус окружности, х0 и у0 координаты центра окружности.
Так как центр окружности имеет координаты А(0; -2), то х0 = 0, у0 = -2.
Получается уравнение (х 0) + (y + 2) = R, х + (y + 2) = R.
Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:
Поделим уравнение на 64:
Вычислим координаты вершин гиперболы:
у = 0; (х/8) — (0/2) = 1; х/64 = 1; х = 64; х = -8 и х = 8.
Верхушки параболы имеют координаты (8; 0) и (-8; 0).
Подставим координаты хоть какой из вершин в уравнение нашей окружности, чтоб вычислить квадрат радиуса:
Следовательно, уравнение окружности имеет вид х + (y + 2) = 68.
Найти уравнение окружности проходящей через вершины гиперболы
Ах 2 + 2Вху + Су 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0.
Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.
1) — уравнение эллипса.
2) — уравнение “мнимого” эллипса.
3) — уравнение гиперболы.
4) a 2 x 2 – c 2 y 2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.
5) y 2 = 2 px – уравнение параболы.
6) y 2 – a 2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.
7) y 2 + a 2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.
8) y 2 = 0 – пара совпадающих прямых.
9) ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = R 2 – уравнение окружности.
В окружности ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = R 2 центр имеет координаты ( a ; b ).
Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:
2 x 2 + 2 y 2 – 8 x + 5 y – 4 = 0.
Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:
x 2 + y 2 – 4 x + 2,5 y – 2 = 0
x 2 – 4 x + 4 –4 + y 2 + 2,5 y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0
( x – 2) 2 + ( y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0
( x – 2) 2 + ( y + 5/4) 2 = 121/16
Отсюда находим О (2; -5/4); R = 11/4.
Определение. Эллипсом называется линия, заданная уравнением .
О пределение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.
у
с – половина расстояния между фокусами;
a – большая полуось;
b – малая полуось.
Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:
Доказательство: В случае , если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r 1 + r 2 = 2 (по теореме Пифагора). В случае , если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r 1 + r 2 = a – c + a + c . Т.к. по определению сумма r 1 + r 2 – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:
a 2 = b 2 + c 2
Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.
Определение. Величина k = b / a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = ( a – b )/ a называется сжатием эллипса.
Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k 2 = 1 – e 2 .
Если a = b ( c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.
Если для точки М( х1, у1) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.
Теорема. Для произвольной точки М( х , у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:
r 1 = a – ex , r 2 = a + ex .
Доказательство. Выше было показано, что r 1 + r 2 = 2 a . Кроме того, из геометрических соображений можно записать:
После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:
Аналогично доказывается, что r 2 = a + ex . Теорема доказана.
С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:
x = a / e ; x = — a / e .
Теорема. Для того , чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:
1) Координаты нижней вершины: x = 0; y 2 = 16; y = -4.
2) Координаты левого фокуса: c 2 = a 2 – b 2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F 2 (-3; 0).
3) Уравнение прямой, проходящей через две точки:
Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), большая ось равна 2.
Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:
2 c = , таким образом, a 2 – b 2 = c 2 = ½
по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =
Итого: .
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.
y
По определению ï r 1 – r 2 ï = 2 a . F 1 , F 2 – фокусы гиперболы. F 1 F 2 = 2 c .
Выберем на гиперболе произвольную точку М( х , у). Тогда :
обозначим с 2 – а 2 = b 2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)
Получили каноническое уравнение гиперболы.
Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.
Ось 2а называется действительной осью гиперболы.
Ось 2 b называется мнимой осью гиперболы.
Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых
Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.
С учетом того, что с 2 – а 2 = b 2 :
Если а = b , e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).
Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a / e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .
Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого — либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r / d – величина постоянная, равная эксцентриситету.
Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.
y
http://obrazovalka.com/qa/matematika/12965191-zapisat-uravnenie-okruzhnosti-prohodjashhej-cherez-ukazannye-tochki-imejushhijsja-centr-v-tochke.html
http://b4.cooksy.ru/articles/nayti-uravnenie-okruzhnosti-prohodyaschey-cherez-vershiny-giperboly