Задача 29252 5.2.20) Составить уравнение плоскости.
Условие
5.2.20) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(4; 2; 3) и М2 (2; 0; 1) и перпендикулярной к плоскости х + 2у + 3z + 4 = 0.
Решение
Пусть M(x;y;z) произвольная точка плоскости
Значит векторы
vector
vector
и нормальный вектор vector
[b]компланарны [/b].
Условие [b]компланарности[/b] векторов, заданных
координатами — равенство нулю определителя третьего порядка,
составленного из координат векторов.
Вместо вектора vector
можно взять коллинеарный ему вектор с координатами (1;1;1)
О т в е т. х-2у+z-3=0
Уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно заданной плоскости онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через прямую L1 параллельно другой прямой L2 (прямые L1 и L2 не параллельны). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямых (канонический или параметрический) введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Уравнение плоскости проходящей через прямую перпендикулярно заданной плоскости − теория, примеры и решения
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L
. | (1) |
. | (2) |
Пусть плоскость α1 не перпендинулярно прямой L.
Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через прямую L перпендикулярно плоскости α1 (Рис.1).
Запишем уравнение искомой плоскости α:
Ax+By+Cz+D=0. | (3) |
Искомая плоскость α проходит через прямую L, следовательно она проходит через точку M0(x0, y0, z0). Тогда справедливо следующее равенство:
Ax0+By0+Cz0+D=0. | (4) |
и поскольку прямая L принадлежит этой плоскости, то нормальный вектор n=<A, B, C> и направляющий вектор q=<m, p, l> ортогональны:
Для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна плоскости α1, нормальные векторы этих плоскостей должны быть ортогональными, т.е. скалярное произведение этих векторов должно быть равным нулю:
AA1+BB1+CC1=0 | (6) |
Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (4)−(6). Представим систему линейных уравнений (4)−(6) в матричном виде:
(7) |
Решив однородную систему линейных уравнений (7) найдем частное решение. (Как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн). Подставляя полученные коэффициенты A, B, C и D в уравнение (3), получим уравнение плоскости, проходящей через прямую L перпендикулярно плоскости α1.
Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L:
(8) |
перпендикулярно плоскости α1 :
(9) |
Уравнение искомой плоскости α можно записать следующей формулой:
где n=<A, B, C> нормальный вектор плоскости.
Поскольку плоскость α проходит через прямую L , то она проходит также через точку M0(x0, y0, z0)=M0(−4, 1, 2), тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:
Ax0+By0+Cz0+D=0 | (10) |
а условие принадлежности прямой L к искомой плоскости α представляется следующим равенством:
Am+Bp+Cl=0. | (11) |
Так как плоскость α должна быть перпендикулярна плоскости α1, то должна выполнятся условие:
AA1+BB1+CC1=0 | (12) |
(13) |
(14) |
(15) |
Представим эти уравнения в матричном виде:
(16) |
Решим систему линейных уравнений (16) отностительно A, B, C, D:
(17) |
Таким образом искомая плоскость имеет нормальный вектор n=<A, B, C>=<9/43,−17/43,5/43>. Тогда подставляя в уравнение плоскости
Ax+By+Cz+D=0 | (18) |
значения A, B, C, D, получим:
Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 43:
(19) |
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) перпендикулярно плоскости (2) имеет вид (19).
Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L:
(20) |
перпендикулярно плоскости α1 :
(21) |
Уравнение искомой плоскости α можно записать следующей формулой:
где n=<A, B, C> нормальный вектор плоскости.
Так как плоскость α проходит через прямую L , то она проходит также через точку M0(x0, y0, z0)=M0(−3, 1, 5), тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:
Ax0+By0+Cz0+D=0 | (22) |
а условие принадлежности прямой L к искомой плоскости α представляется следующим равенством:
Am+Bp+Cl=0. | (23) |
Так как плоскость α должна быть перпендикулярна плоскости α1, то должна выполнятся условие:
AA1+BB1+CC1=0 | (24) |
(25) |
(26) |
(27) |
Представим эти уравнения в матричном виде:
(28) |
Решим систему линейных уравнений (28) отностительно A, B, C, D:
(29) |
Таким образом искомая плоскость имеет нормальный вектор n=<A, B, C>=<3/2,−1/2,1>. Тогда подставляя в уравнение плоскости
Ax+By+Cz+D=0 | (30) |
значения A, B, C, D, получим:
Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 43:
(31) |
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) перпендикулярно плоскости (2) имеет вид (31).
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным пересекающимся плоскостям.
В этой статье содержится ответ на вопрос: «Как написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным плоскостям»? Сначала приведены необходимые теоретические сведения, а также рассуждения, помогающие составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям. После этого разобраны решения характерных примеров и задач.
Навигация по странице.
Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к двум заданным плоскостям.
Начнем с постановки задачи.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , задана точка и две пересекающиеся плоскости и . Требуется написать уравнение плоскости , проходящей через точку М1 перпендикулярно к плоскостям и .
Заметим, что плоскость , уравнение которой нам требуется составить, перпендикулярна к прямой, по которой пересекаются плоскости и . Действительно, из признака перпендикулярности двух плоскостей следует, что плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей. Более того, существует только одна плоскость, проходящая через заданную точку пространства перпендикулярно двум пересекающимся плоскостям, так как существует только одна плоскость, проходящая через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.
Теперь приступим именно к решению поставленной задачи.
Из условия нам известны координаты точки , через которую проходит плоскость . Если мы найдем координаты нормального вектора плоскости , то сможем записать общее уравнение плоскости, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором, в виде , где — нормальный вектор плоскости .
Итак, наша задача сводится к нахождению координат нормального вектора плоскости . В свою очередь нормальный вектор плоскости есть направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости и , так как плоскость перпендикулярна к пересекающимся плоскостям и . В частности, если плоскости и заданы общими уравнениями плоскостей вида и соответственно, то направляющим вектором прямой, по которой пересекаются плоскости и , является векторное произведение векторов и (об этом написано в разделе координаты направляющего вектора прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости).
Чтобы написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям и , нужно
- найти координаты направляющего вектора прямой, по которой пересекаются заданные плоскости и ;
- принять эти координаты за соответствующие координаты А , В и С нормального вектора плоскости, уравнение которой мы ищем;
- написать уравнение плоскости вида — это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям и .
Чтобы все стало понятно, предлагаем перейти к следующему пункту и ознакомиться с подробным решением примеров, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к двум заданным пересекающимся плоскостям.
Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным плоскостям.
Начнем с задачи на нахождение уравнения плоскости, перпендикулярной к двум координатным плоскостям.
http://matworld.ru/analytic-geometry/uravnenie-ploskosti6-online.php
http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/plane_passes_through_point_perpendicular_to_2_planes.html