При изучении процесса радиоактивного распада было установлено, что не все ядра радиоактивного изотопа распадаются одновременно, в каждую единицу времени распадается лишь некоторая доля общего числа радиоактивного элемента. Каждое радиоактивное ядро может распасться в любой момент и закономерность наблюдается только в среднем, в случае распада достаточно большого количества ядер.
Постоянная распада λ — вероятность распада ядра в единицу времени. Если в образце в момент времени t имеется N радиоактивных ядер, то количество ядер dN, распавшихся за время dt пропорционально N.
Закон радиоактивного распада:количество атомов данного изотопа, претерпевающего ядерное превращение в 1 с, пропорционально общему их количеству, или иначе: в равные промежутки времени имеет место ядерное превращение равных долей активных атомов изотопа.
N – число ядер, не распавшихся за время t,
N0 — количество радиоактивных ядер в момент времени t = 0,
λ – постоянная распада, различна для разных радиоактивных веществ.
Cреднее время жизни τ – промежуток времени τ, в течение которого система распадается с вероятностью 1 – 1/e:
Период полураспада – это время, в течение которого распадается половина радиоактивных ядер:
Активность радиоактивного препарата – число ядер этого препарата, распадающихся за секунду.
Активность измеряется в кюри (Ки) и беккерелях (Бк)
Распад исходного ядра 1 в ядро 2, с последующим его распадом в ядро 3, описывается системой дифференциальных уравнений:
Решением системы с начальными условиями N1(0) = N10; N2(0) = 0 будет
Для практического использования закон радиоактивного распада можно записать так :
Изотопы – разновидности одного и того же химического элемента, близкие по своим физико-химическим свойствам, но имеющие разную атомную массу. Название «изотопы» было предложено в 1912 английским радиохимиком Фредериком Содди, который образовал его из двух греческих слов: isos – одинаковый и topos – место. Изотопы занимают одно и то же место в клетке периодической системы элементов Менделеева.
Изотопами называются разновидности одного и того же химического элемента, атомы которых имеют одинаковый заряд ядра (и, следовательно, практически одинаковые электронные оболочки), но отличаются значениями массы ядра. По образному выражению Ф.Содди, атомы изотопов одинаковы «снаружи», но различны «внутри».
Из всех известных нам изотопов только изотопы водорода имеют собственные названия. Так, изотопы 2 H и 3 H носят названия дейтерия и трития и получили обозначения соответственно D и T (изотоп 1 H называют иногда протием).
В природе встречаются как стабильные изотопы, так и нестабильные – радиоактивные, ядра атомов которых подвержены самопроизвольному превращению в другие ядра с испусканием различных частиц (или процессам так называемого радиоактивного распада). Сейчас известно около 270 стабильных изотопов, причем стабильные изотопы встречаются только у элементов с атомным номером Z 83. Число нестабильных изотопов превышает 2000, подавляющее большинство их получено искусственным путем в результате осуществления различных ядерных реакций. Число радиоактивных изотопов у многих элементов очень велико и может превышать два десятка. Число стабильных изотопов существенно меньше, Некоторые химические элементы состоят лишь из одного стабильного изотопа (бериллий, фтор, натрий, алюминий, фосфор, марганец, золото и ряд других элементов). Наибольшее число стабильных изотопов – 10 обнаружено у олова, у железа, например, их – 4, у ртути – 7.
Для изучения свойств изотопов и особенно для их применения в научных и прикладных целях требуется их получение в более или менее заметных количествах. В первую очередь были освоены физико-химические методы разделения, основанные на различиях в таких свойствах изотопов одного итого же элемента, как скорости испарения, константы равновесия, скорости химических реакций и т.п. Наиболее эффективными среди них оказались методы ректификации и изотопного обмена, которые нашли широкое применение в промышленном производстве изотопов легких элементов: водорода, лития, бора, углерода, кислорода и азота.
Запишите уравнение закона радиоактивного распада
Радиоактивность заключается в самопроизвольном (спонтанном) распаде ядер с испусканием одной или нескольких частиц. Такие ядра и соответствующие им нуклиды называют радиоактивными (в отличие от стабильных ядер). Радиоактивное ядро называют материнским, а ядра, образующиеся в результате распада, дочерними.
Необходимое условие радиоактивного распада заключается в том, что масса исходного ядра должна превышать сумму масс продуктов распада. Поэтому каждый радиоактивный распад происходит с выделением энергии.
Радиоактивность подразделяют на естественную и искусственную. Первая относится к радиоактивным ядрам, существующим в природных условиях, вторая – к ядрам, полученным посредством ядерных реакций в лабораторных условиях. Принципиально они не отличаются друг от друга.
К основным типам радиоактивности относятся α-, β- и γ-распады. Прежде чем характеризовать их более подробно, рассмотрим общий для всех видов радиоактивности закон протекания этих процессов во времени.
Одинаковые ядра претерпевают распад за различные времена, предсказать которые заранее нельзя. Поэтому можно считать, что число ядер, распадающихся за малый промежуток времени dt, пропорционально как числу N имеющихся ядер в этот момент, так и dt:
−dN = λNdt,
dN – убыль числа ядер за время dt (это и есть число распавшихся ядер за промежуток dt), λ – постоянная распада, величина, характерная для каждого радиоактивного препарата.
Интегрирование уравнения (3.4) дает:
,
N0, N(t) – начальное и текущее значение количества радиоактивного нуклида, λ – постоянная распада, представляющая собой вероятность распада в единицу времени.
Соотношение (3.5) называют основным законом радиоактивного распада. Как видно, число N еще не распавшихся ядер убывает со временем экспоненциально.
Интенсивность радиоактивного распада характеризуют числом ядер, распадающихся в единицу времени. Из (3.4) видно, что эта величина | dN / dt | = λN. Ее называют активностью A. Таким образом активность:
.
Ее измеряют в беккерелях (Бк) , 1 Бк = 1 распад /с; а также в кюри (Ки) , 1 Ки = 3.7∙10 10 Бк.
Активность в расчете на единицу массы радиоактивного препарата называют удельной активностью.
Вернемся к формуле (3.5). Наряду с постоянной λ и активностью A процесс радиоактивного распада характеризуют еще двумя величинами: периодом полураспада T1/2 и средним временем жизни τ ядра.
Период полураспада T1/2 – время, за которое исходное число радиоактивных ядер в среднем уменьшится в двое:
,
откуда
.
Среднее время жизни τ определим следующим образом. Число ядер δN(t), испытавших распад за промежуток времени (t, t + dt), определяется правой частью выражения (3.4): δN(t) = λNdt. Время жизни каждого из этих ядер равно t. Значит сумма времен жизни всех N0 имевшихся первоначально ядер определяется интегрированием выражения tδN(t) по времени от 0 до ∞. Разделив сумму времен жизни всех N0 ядер на N0, мы и найдем среднее время жизни τ рассматриваемого ядра:
.
Остается подставить сюда выражение (3.5) для N(t) и выполнить интегрирование по частям, после чего мы получим:
τ = 1/λ.
Заметим, что τ равно, как следует из (3.5) промежутку времени, за которое первоначальное количество ядер уменьшается в e раз.
Сравнивая (3.8) и (3.9.2), видим, что период полураспада T1/2 и среднее время жизни τ имеют один и тот же порядок и связаны между собой соотношением:
.
Сложный радиоактивный распад
Сложный радиоактивный распад может протекать в двух случаях:
В первом случае исследуемый препарат содержит несколько сортов радиоактивных ядер. Пусть исследуемый препарат содержит два сорта радиоактивных ядер с постоянными распада λ1 и λ2. В этом случае общее число радиоактивных ядер будет изменяться со временем по закону:
,
N1, N2 – количества ядер соответствующего сорта при t = 0.
Во втором случае происходит последовательные распады одного и того же ядра. Часто бывает что ядро, получившееся в результате радиоактивного распада, само оказывается радиоактивным, так что происходит последовательный распад исходного ядра 1 в ядро 2, а ядро 2 в ядро 3:
1 → 2 → 3.
В этом случае изменение числа N1 ядер 1 и числа N2 ядер 2 определяется системой уравнений:
.
Физический смысл этих уравнений состоит в том, что количество ядер 1 убывает за счет их распада, а количество ядер 2 пополняется за счет распада ядер 1 и убывает за счет своего распада. Например, в начальный момент времени t = 0 имеется N01 ядер 1 и N02 ядер 2. С такими начальными условиями решение системы имеет вид:
,
Система (3.13) значительно упрощается, если T1 >> T2 (λ1 −λt и (1 − e −λt ). При этом ввиду особых свойств функции e −λt очень удобно ординаты кривой строить для значений t, соответствующих T, 2T, … и т.д. (см. таблицу 3.1). Соотношение (3.13.3) и рисунок 3.2 показывают, что количество радиоактивного дочернего вещества возрастает с течением времени и при t >> T2 (λ2t >> 1) приближается к своему предельному значению:
.
Из таблицы 3.1 видно, что при t > 10T равенство (3.14) выполняется уже с точностью около 0.1%. Обычно оно записывается в форме:
λ1N1 = λ2N2,
и носит название векового , или секулярного равновесия . Физический смысл векового уравнения очевиден.
t
e −λt
1 − e −λt
0
1
0
1T
1/2 = 0.5
0.5
2T
(1/2) 2 = 0.25
0.75
3T
(1/2) 3 = 0.125
0.875
.
.
.
10T
(1/2) 10 ≈ 0.001
0.999
Рисунок 3.3. Сложный радиоактивный распад.
Так как, согласно уравнению (3.4), λN равно числу распадов в единицу времени, то соотношение λ1N1 = λ2N2 означает, что число распадов дочернего вещества λ2N2 равно числу распадов материнского вещества, т.е. числу образующихся при этом ядер дочернего вещества λ1N1. Вековое уравнение широко используется для определения периодов полураспада долгоживущих радиоактивных веществ. Этим уравнением можно пользоваться при сравнении двух взаимно превращающихся веществ, из которых второе имеет много меньший период полураспада, чем первое (T2 > T2 (T2 226 , испуская с периодом полураспада T1 >> 1600 лет α-частицы, превращается в радиоактивный газ радон (88Rn 222 ), который сам является радиоактивным и испускает α-частицы с периодом полураспада T2 ≈ 3.8 дня. В этом примере как раз T1 >> T2, так что для моментов времени t
Для дальнейшего упрощения надо, чтобы начальное количество ядер Rn было равно нулю (N02 = 0 при t = 0). Это достигается специальной постановкой опыта, в котором изучается процесс превращения Ra в Rn. В этом опыте препарат Ra помещается в стеклянную колбочку с трубкой, соединенной с насосом. Во время работы насоса выделяющийся газообразный Rn сразу же откачивается, и концентрация его в колбочке равна нулю. Если в некоторый момент при работающем насосе изолировать колбочку от насоса, то с этого момента, который можно принять за t = 0, количество ядер Rn в колбочке начнет возрастать по закону (3.13.3):
.
Выбирая TRn или
.
Это условие означает, что с некоторого достаточно большого t (t >> TRn) количество распадающихся ядер Rn равно количеству ядер Rn, возникающих при распаде Ra. Например, при t > 40 дней (t > 10TRn) соотношение (3.17) выполняется с точностью 0.1%.
Три величины из четырех, входящих в равенство (3.17) могут быть измерены непосредственно: NRa и NRn – точным взвешиванием, а λRn – по определению периода полураспада Rn, который имеет удобное для измерений значение 3.8 дня. Таким образом, четвертая величина λRa может быть вычислена. Это вычисление дает для периода полураспада радия TRa ≈ 1600 лет, что совпадает с результатами определения TRa методом абсолютного счета испускаемых α-частиц.
Радиоактивность Ra и Rn была выбрана в качестве эталона при сравнении активностей различных радиоактивных веществ. За единицу радиоактивности – 1 Ки – приняли активность 1 г радия или находящегося с ним в равновесии количества радона. Последнее легко может быть найдено из следующих рассуждений.
Известно, что 1 г радия претерпевает в секунду
3.7∙10 10 распадов. Следовательно:
λRnNRn = λRaNRa = 3.7∙10 10 ,
NRa – число ядер Ra в 1 г, NRn – число ядер Rn, находящихся в равновесии с 1 г радия.
Отсюда:
.
Чтобы найти весовое выражение NRnнадо вычислить количество ядер Rn в 1 г:
Основной закон радиоактивного распада. Дифференциальная форма закона.
Радиоактивный распад ядер одного и того же элемента происходит постепенно и с разной скоростью для разных радиоактивных элементов. Нельзя указать заранее момент распада ядра, но можно установить вероятность распада одного ядра за единицу времени. Вероятность распада характеризуется коэффициентом «λ» — постоянной распада, который зависит только от природы элемента.
Закон радиоактивного распада.(Слайд 32)
Экспериментально установлено, что:
За равные промежутки времени распадается одинаковая доля наличных (т.е. еще не распавшихся к началу данного промежутка) ядер данного элемента.
Дифференциальная форма закона радиоактивного распада.(слайд 33)
Устанавливает зависимость количества не распавшихся атомов в данный момент времени от начального количества атомов в нулевой момент начала отсчета, а так же от времени распада»t» и постоянной распада «λ».
Nt — наличное количество ядер.
dN — убыль наличного количества атомов;
dt — время распада.
«λ» — коэффициент пропорциональности, постоянная распада, характеризует долю наличных, еще не распавшихся ядер;
«–» — говорит том, что с течением времени количество распадающихся атомов уменьшается.
Следствие № 1: (слайд 34)
λ = –dN/Nt· dt — относительная скорость радиоактивного распада для данного вещества есть величина постоянная.
dN/Nt = – λ · Nt — абсолютная скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству не распавшихся ядер к моменту времени dt. Она не является «const», т.к. уменьшатся с течением времени.
4. Интегральная форма закона радиоактивного распада.(слайд 35)
Устанавливает зависимость числа оставшихся атомов в данный момент времени (Nt) от их исходного количества (No), времени (t) и постоянной распада «λ». Интегральная форма получается из дифференциальной:
1. Разделим переменные:
2. Проинтегрируем обе части равенства:
3. Найдем интегралы Þ —общее решение
4. Найдем частное решение:
Если t = t0 = 0 Þ Nt = N0 ,подставим эти условия в общее решение
(начало (исходное число
ÞТаким образом:
интегральная форма закона р/акт. распада
Nt — число не распавшихся атомов к моменту времениt;
λ — постоянная распада;
Вывод: Наличное количество не распавшихся атомов
исходному количеству и убывает с течением времени по экспоненциальному закону. (слайд 37)
T2 3.
Þ
5.
Период полураспада изотопов различается в широких пределах: (слайд40)
238 U ® T = 4,51· 10 9 лет
60 Co ® T = 5,3 года
24 Na ® T = 15,06 часов
6. Активность. Её виды, единицы измерения и количественная оценка. Формула активности.(слайд 41)
На практике основное значение имеет общее число распадов, приходящихся в источнике радиоактивного излучения в единицу времени => количественно меру распада определяют активностью радиоактивного вещества.
Активность (А) зависит от относительной скорости распада «λ» и от наличного числа ядер (т.е. от массы изотопа).
«А» — характеризует абсолютную скорость распада изотопа.
3 варианта записи формулы активности:(слайд 42,43)
I. Из закона радиоактивного распада в дифференциальной форме следует:
Þ
активность (абсолютная скорость радиоактивного распада).
активность
II. Из закона радиоактивного распада в интегральной форме следует:
1. (домножим обе части равенства на «λ» ).
Þ
2. ; ( исходная активность при t = 0)
3. убыль активности идет по экспоненциальному закону
III. При использовании формулы связи постоянной распада «λ» с периодом полураспада «Т» следует:
1. (домножим обе части равенства на «Nt», что бы получить активность ). Þ и получаем формулу для активности
2.
Единицы измерения активности: (слайд 44)
А. Системные единицы измерения.
1[расп/с] = 1[Бк] – беккерель
1Мрасп/с =10 6 расп/с = 1 [Рд] — резерфорд
Б. Внесистемные единицы измерения.
[Ки] — кюри (соответствует активности 1г радия).
1[Ки] = 3,7 · 10 10 [расп/с] — в 1г радия за 1с распадается 3,7· 10 10 радиоактивных ядер.
Виды активности: (слайд 45)
1. Удельная — это активность единицы массы вещества.
Её используют для характеристики порошкообразных и газообразных веществ.
2. Объёмная — это активность в единице объёма вещества или среды.
Её используют для характеристики жидких веществ.
На практике убыль активности измеряется с помощью специальных радиометрических приборов. Например, зная активность препарата и продукта, образующегося при распаде 1 ядра, можно вычислить, сколько частиц каждого вида испускает препарат за 1 секунду.
Если при делении ядра образуется нейтронов»n», то за 1с испускается поток нейтронов «N». N = n · А.
,
.
,
.
.
.
,
.
,
.
Рисунок 3.3. Сложный радиоактивный распад.
.
..gif)
.
Þ 
—общее решение
Þ 
Таким образом:
интегральная форма закона р/акт. распада
Þ 
Þ 
активность (абсолютная скорость радиоактивного распада).
активность
(домножим обе части равенства на «λ» ).
; 
( исходная активность при t = 0)
убыль активности идет по экспоненциальному закону
(домножим обе части равенства на «Nt», что бы получить активность ). Þ 
и получаем формулу для активности