Запишите уравнения движения тела вдоль оси ox

Запишите уравнения движения тела вдоль оси ox

1 мин = 60 с; 1 ч = 3600 с; 1 км = 1000 м; 1 м/с = 3,6 км/ч.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Типовая задача «Уравнение координаты (нахождение неизвестной величины)»

Задача № 1. В начальный момент времени тело находилось в точке с координатой 5 м, а через 2 мин от начала движения — в точке с координатой 95 м. Определите скорость тела и его перемещение.

Типовая задача «Уравнение координаты. Движение двух тел»

Задача № 2. Движение двух тел задано уравнениями x₁ = 20 – 8t и х₂ = –16 + 10t (время измеряется в секундах, координата — в метрах). Определите для каждого тела начальную координату, проекцию скорости, направление скорости. Вычислите время и место встречи тел.

Типовая задача «График координаты»

Задача № 3. Движение тела задано графиком координаты (зависимости координаты от времени). По графику определите: а) начальную координату тела; б) проекцию скорости тела; в) направление движения тела (по оси х или против оси х); г) запишите уравнение координаты.

Типовая задача «График координаты. Движение нескольких тел»

Задача № 4. На рисунке изображены графики движения трех тел. Изучив рисунок, для каждого тела определите: а) начальную координату; б) скорость; в) направление движения; г) запишите уравнение координаты.

ЗАДАЧИ ПОСЛОЖНЕЕ

Задача № 5. На рисунке представлены графики зависимости координаты х от времени t для пяти тел. Определите скорости этих тел. Проанализируйте точки пересечения графиков. Постройте графики зависимости скорости от времени.

РЕШЕНИЕ:

Задача № 6. По графикам на рисунке напишите уравнения движения x = x(t) . Из уравнений и графиков найдите координаты тел через 5 с , скорости движения тел, время и место встречи второго и третьего тел.

РЕШЕНИЕ:

Задача № 7. ОГЭ Расстояние ( S ) между городами М и К = 250 км . Одновременно из обоих городов навстречу друг другу выезжают автомашины. Машина из города М движется со скоростью = 60 км/ч , из города К — со скоростью ν₂ = 40 км/ч . Построить график зависимости пути от времени для каждой из машин и по ним определить место встречи и время их движения до встречи.

Задача № 8. ЕГЭ Скорость течения реки v_p = 1 м/с , скорость лодки относительно воды v₀ = 2 м/с . Под каким углом к берегу следует держать курс, чтобы лодка двигалась перпендикулярно берегу? За какое время t она переправится через реку, ширина которой d = 200 м ?

Алгоритм решения ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение.

Задачи, описывающие движение, содержат два типа величин: векторные (имеющие направление) и скалярные (выражающиеся только числом). К векторным величинам при описании равномерного прямолинейного движения относятся скорость и перемещение.

Для перехода от векторов к скалярам выбирают координатную ось и находят проекции векторов на эту ось, руководствуясь следующим правилом: если вектор сонаправлен с осью, то его проекция положительна, если противоположно направлен — отрицательна. (Могут быть и более сложные случаи, когда вектор не параллелен координатной оси, а направлен к ней под некоторым углом.) Поэтому при решении задачи обязательно нужно сделать чертеж, на котором изобразить направления всех векторов и координатную ось. При записи «дано» следует учитывать знаки проекций.

При решении задач все величины должны выражаться в международной системе единиц (СИ), если нет специальных оговорок.

В решении задачи единицы величин не пишутся, а записываются только после найденного значения величины.

Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение с решениями». Выберите дальнейшие действия:

Равномерное движение

Школьный курс физики содержит раздел «кинематика». Большинство задач этого раздела можно решить, рассматривая движение вдоль одной оси — одномерное движение. Его еще называют прямолинейным движением.

Для некоторых задач нужно рассматривать движение на плоскости – двумерный случай.

Вообще, движение тела может происходить:

• вдоль оси – одномерный случай, ось часто именуют, как «Ox»;
• на плоскости;
• в трехмерном пространстве;

Здесь рассмотрим одномерный случай движения — движение тел вдоль оси.

Параметры, описывающие движение

Чтобы описать движение, используют:

• перемещение тела;
• время, в течение которого движение происходило;
• скорость тела;
• начальные и конечные координаты тела;
• траекторию тела;

Траектория – линия, вдоль которой двигалось тело.

Траектория – скаляр, в СИ длину траектории измеряют в метрах.
Для криволинейного движения траектория будет отрезком кривой.
Если движение прямолинейное, траектория – отрезок прямой линии.

Перемещение тела – это вектор. Он соединяет точки, в которых тело находилось в начале и конце движения, направлен из начальной точки в конечную.
Модуль этого вектора – его длину, в СИ измеряют в метрах.

Может ли перемещение тела равняться нулю, при том, что траектория имеет какую-либо протяженность?
Да, такое может быть. Когда тело движется так, что в конце движения оно вернется в начальную точку, в которой находилось перед началом движения.
Если в завершении движения тело окажется на каком-то расстоянии от начальной точки, длина вектора перемещения будет положительной.

Примечания:

• Модуль (длина) вектора не бывает отрицательным, он либо положительный, либо нулевой.
• Когда тело движется по прямой и не меняет направление, длина траектории совпадает с длиной (модулем) перемещения.

Уравнение движения — описывает характер движения.

• время движения,
• начальную и конечную координаты тела и
• его скорость.

Вместо координат тела уравнение движения может содержать перемещение.

Примечания:

1. Координаты тела, время движения и траектория – это скалярные величины.
2. А скорость тела, его ускорение и перемещение – это векторы.
3. Когда движение равномерное, скорость тела не меняется.
4. Скорость отвечает на вопрос: как быстро изменяется координата (или путь, перемещение).

Описанные параметры применяют и для равномерного и для неравномерного движения.

Прямолинейное движение вдоль оси

Рассмотрим движение по прямой, когда скорость тела не меняется. Это — равномерное прямолинейное движение.

На рисунке 1 представлено движение тела вдоль оси, назовем ее для определенности Ox:

Ось «Ox» на рисунке 1 обозначена большим символом «X».
Точка, в которой тело находилось в начале движения \(x_ <0>\left( \text <м>\right)\) — начальная координата тела;
В эту точку тело переместилось к концу движения \(x \left( \text <м>\right)\) — конечная координата тела;
Расстояние между двумя точками \(S \left( \text <м>\right)\) – это перемещение тела. Перемещение – это вектор.

Формула перемещения для одномерного случая

Для движения по оси (одномерный случай), длину перемещения находят так:
\[ \large \boxed < S = \left| x — x_<0>\right| >\]
Знак модуля нужен для того, чтобы длина перемещения оставалась положительной, даже, если движение происходит влево по оси, т. е. против направления оси Ox.
Сравним два случая движения тел. Первый – в положительном направлении оси Ox (рис 2а), второй – в направлении, противоположном оси (рис 2б).

Чтобы найти длину вектора перемещения при движении в положительном направлении оси (рис. 2а), модуль раскрываем так:
\[ S = \left| x — x_ <0>\right| = x — x_ <0>\]
Для движения в отрицательном направлении оси (рис. 2б), длина вектора перемещения выражается так:
\[ S = \left| x — x_ <0>\right| = — \left( x — x_ <0>\right) = x_ <0>— x \]
И в первом, и во втором случае, длина (модуль) вектора перемещения окажется положительной.

Скорость равномерного движения

В учебниках физики равномерному движению дают такое определение:
Движение равномерное, когда тело за одинаковые интервалы времени проходит равные расстояния.

Упростим формулировку:
Если каждую секунду тело проходит одинаковые расстояния – оно движется равномерно.

Слово «равномерное» состоит из двух частей.
Если разбить его на части, получим
«равно» — одинаковый, равный,
«мерное» — отмерять.
Или, другими словами: каждую секунду отмеряем одинаковые расстояния (рис. 2).

Для равномерного движения тела его

• перемещение,
• время движения и
• скорость,

\[ \left|\vec \right| = \left|\vec \right|\cdot t \]

Эта формула называется уравнением движения. Или, развернуто: «уравнение равномерного прямолинейного движения».

Где \( \left|\vec \right| \) — длина (модуль) вектора перемещения и, \(\left|\vec \right|\) — длина (модуль) вектора скорости.

Уравнение движения можно записать проще:

\(S \left( \text <м>\right)\) – расстояние, пройденное телом (перемещение).

\(t \left( c \right)\) – промежуток времени, в течение которого тело двигалось.

\(v \left( \frac<\text<м>> \right)\) – скорость, с которой двигалось тело.

Разделив обе части уравнения \( S = v \cdot t \) на интервал времени \( t \), получим выражение для скорости тела:

График уравнения равномерного движения

Вспомним, что перемещение является разностью конечных и начальных координат тела

\( S = \left| x — x_ <0>\right| \)

Воспользуемся тем, что при движении вдоль положительного направления оси модуль можно раскрыть так:

\( \left| x — x_ <0>\right| = x — x_ <0>\)

Тогда уравнение движения перепишем так:

\[ \large \boxed < x — x_<0>= v \cdot t >\]

Прибавим к обеим частям уравнения величину \( x_ <0>\). Получим такую запись

\[ \large x = v \cdot t + x_<0>\]

Это уравнение задает на плоскости tOx линию. Ее график на осях «x» и «t» — это прямая линия.

Вспомним, что для прямой линии в математике применяют такой вид записи:

Сравним два уравнения:

\[ \begin x = v\cdot t + x_<0>\\ y = k\cdot x + b \end \]

Видно, что число \( x_<0>\) – начальная координата тела, выполняет роль коэффициента \(b\).

А скорость тела \( v\) – играет роль углового коэффициента \(k\).

Сравним графики линий (рис. 4), описанных соотношениями \( y = k \cdot x + b\) и \( x = v \cdot t + x_<0>\)

Видно, что линия на рисунке 4а, располагается и слева и справа от вертикальной оси.

Линия же, описывающая движение тела, представленная на рисунке 4б, располагается только лишь в правой полуплоскости. Это не с проста. На горизонтальной оси рисунка 4б отложено время, а в левой полуплоскости время будет отрицательным. При решении задач физики мы считаем, что в начальный момент задачи время равно нулю. Поэтому, область отрицательного времени в физике нас не интересует.

Рассмотрим теперь на графике равномерное движение двух тел, обладающих разными скоростями (рис. 5). Движение тела 1 на рисунке описывает синяя линия, а тела 2 – красная.

Два тела стартуют из точки \( x_<0>\) и двигаются равномерно воль оси Ox. За промежуток времени \( \Delta t\) тело 1, проходит больший путь, чем тело 2.

Примечание: Чем сильнее на графике x(t) прямая линия прижимается к вертикали, тем больше скорость, с которой движется тело!

Как отмечалось выше, тело может двигаться не только в положительном направлении вдоль оси, но и в отрицательном направлении.

На следующем рисунке представлены случаи движения тела в положительном (рис. 6а) и, в отрицательном (рис. 6б) направлениях оси Ox.

Когда скорость направлена по оси (рис. 6а) — координата «x» увеличивается,

а когда против оси (рис. 6б) — координата «x» уменьшается.

На рисунке рядом с прямыми x(t) приведены уравнения движения. Когда скорость направлена против оси (рис. 6б), перед ней записывают знак «минус».

Угол \(\alpha\) на рисунке связан со знаком скорости. Если скорость направлена по оси (рис. 6а), то угол будет острым. А если скорость направлена против оси (рис. 6б) – угол тупой.

Примечание: Скорость – это вектор. Когда вектор направлен против оси, его проекция на эту ось будет отрицательной. Читайте тут о проекциях векторов. Длина любого вектора – это положительная величина.

Как по графику перемещения определить скорость

Пользуясь графиком функций S(t), или x(t) равномерного движения можно определить скорость, с которой движется тело.

Примечания:

• График S(t) называют так: «зависимость перемещения S от времени t», или кратко — график перемещения от времени.
• А график x(t) — так: «зависимость координаты x от времени t», или кратко — график координат от времени.

Скорость находим за четыре шага (рис. 7):

1. Выбираем две точки на линии, описывающей движение и определяем их координаты;
2. Находим разность вертикальных координат;
3. После находим разность координат по горизонтали;
4. Делим «вертикаль» на «горизонталь»

Полученное число и будет скоростью тела.

Примечания:

• Когда просят найти скорость, обычно имеют ввиду, что нужно найти модуль вектора скорости.
• Скорость в системе СИ измеряют в метрах, деленных на секунду.

Обращаем внимание на то, в каких единицах на осях измерены расстояние S и время t. Если нужно, переводим расстояние в метры, а время — в секунды, чтобы получить скорость в правильных единицах измерения.

Рассмотрим рисунок 7.

На рисунке первая точка имеет координаты \( \left( t_ <1>; x_ <1>\right) \),

координаты второй точки: \( \left( t_ <2>; x_ <2>\right) \).

Разницы между координатами находим, руководствуясь принципом («конечная» — «начальная») по формулам

\( \Delta t = t_ <2>— t_ <1>\)

\( \Delta x = x_ <2>— x_ <1>\)

Скорость вычислим из соотношения

Читайте далее о том, как переводить скорость из километров в час в метры в секунду и о равнопеременном движении

Графики равномерного прямолинейного движения (Ерюткин Е.С.)

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы изучим графики равномерного прямолинейного движения. С помощью графиков движения вы сможете более ясно представить себе картину происходящего с телом. Мы научимся строить графики, используя законы движения, и, наоборот, имея графики, определять по ним параметры движения. Кроме того, мы научимся определять путь, пройденный телом, используя график зависимости скорости тела от времени.