Запишите уравнения колебания математического маятника и пружинного

Гармонические колебания

О чем эта статья:

9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Механические колебания

Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Свободные колебания

Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.

Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодически меняющейся силы.

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

• сама колебательная система
• источник энергии
• устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой

Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Характеристики колебаний

Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение можно описать величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Период — это время одного полного колебания. Измеряется в секундах и обозначается буквой T.

Формула периода колебаний

T = t/N

N — количество колебаний [—]

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

Формула частоты

ν = N/t = 1/T

N — количество колебаний [—]

Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия. Измеряется в метрах и обозначается либо буквой A, либо x max .

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Гармонические колебания

Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:

Уравнение гармонических колебаний

x — координата в момент времени t [м]

t — момент времени [с]

(2πνt) в этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ

Фаза колебаний

t — момент времени [с]

Фаза колебаний — это физическая величина, которая показывает отклонение точки от положения равновесия. Посмотрите на рисунок, на нем изображены одинаковые фазы:

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.

На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.

На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.

В первом случае (а) красная кривая описывает колебание, у которого амплитуда больше колебания, описанного синей линией.

Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.

Математический маятник

Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.

Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.

Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:

Формула периода колебания математического маятника

l — длина нити [м]

g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]

На планете Земля g = 9,8 м/с 2

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.

Формула периода колебания пружинного маятника

m — масса маятника [кг]

k — жесткость пружины [Н/м]

Закон сохранения энергии для гармонических колебаний

Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.

Рассмотрим его на примере математического маятника.

• Когда маятник отклоняют на высоту h, его потенциальная энергия максимальна.
• Когда маятник опускается, потенциальная энергия переходит в кинетическую. Причем в нижней точке, где потенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия максимальна и равна потенциальной энергии в верхней точке. Скорость груза в этой точке максимальна.

Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

I. Механика

Тестирование онлайн

Математический маятник

Это материальная точка, подвешенная на тонкой нерастяжимой и невесомой нити.

Если отклонить маятник от положения равновесия, то сила тяжести и сила упругости будут направлены под углом. Равнодействующая сила уже не будет равна нулю. Под воздействием этой силы маятник устремится к положению равновесия, но по инерции движение продолжится и маятник отклоняется в другую сторону. Равнодействующая сила его снова возвращает. Далее процесс повторяется.

Период колебаний математического маятника зависит от его длины, определяется по формуле

Важно где происходят колебания! На Луне и на Земле один и тот же математический маятник при одинаковых начальных условиях колебаться будет по-разному. Так как ускорение свободного падения на Луне отличается от ускорения свободного падения на Земле.

Пружинный маятник

Это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует. В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.

Пружинные и математические маятники в физике — виды, формулы и определения с примерами

Содержание:

Пружинные и математические маятники:

Тело или система тел, совершающие периодические колебательные движения, называются маятниками. Большинство колебательных движений, встречающихся в природе, напоминают движение пружинных и математических маятников.

Система, состоящая из груза массой

Если немножко растянуть пружину и отпустить, то груз придет в колебательное движение в вертикальном направлении.
С помощью опытов мы определили, что смещение груза в зависимости от времени изменяется следующbм образом:

Если учесть, что ускорение тела, совершающего гармонические колебания , то уравнение (5.10) примет вид:

Из этого уравнения мы имеем:

Значит, частота циклического колебания тела, совершающего гармоническое колебание, зависит от параметров тел, входящих в систему колебания. Формула (5.12) называется формулой для
определения циклической (периодической) частоты пружинного маятника.

Период колебания пружинного маятника прямо пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению массы груза и обратно пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению упругости пружины.
Рассмотрим обмен энергиями в пружинном маятнике. Кинетическая энергия маятника, если не учитывать массу пружины, равна кинетической энергии груза, . В предыдущих темах было показано, что скорость можно выразить формулой . В таком случае кинетическая энергия маятника равна

Потенциальная энергия пружинного маятника равна энергии деформации пружины, т.е.:

В большинстве случаев важно знать полную энергию системы:

Если учесть, что ,

Обратите внимание, что полная энергия пружинного маятника является постоянной величиной, не зависящей от времени, т.е. соблюдается выполнение закона сохранения механической энергии.
Материальная точка, подвешенная на нерастяжимой и невесомой нити и совершающая периодическое колебательное движение вокруг равновесного состояния, называется математическим маятником.

Когда маятник находится в устойчивом равновесном состоянии, вес материальной точки уравновешивает силу натяжения (рис. 5.4), так как их модули равны и направлены по одной линии в противоположные стороны. Если наклонить маятник на угол , силы и не смогут уравновесить друг друга из-за взаимного расположения под углом. В результате сложения таких сил появится возвращающая сила, которая вернет маятник в равновесное состояние. Если отпустить маятник, то под воздействием возвращающей силы он начинает двигаться в сторону равновесного состояния.

Из рис. 5.4. видим, что:

Согласно второму закону Ньютона, сила придает материальной точке ускорение , поэтому

Из-за того, что угол наклона очень маленький , а сила направлена противоположно смещению, формулу (5.19) можно записать в виде

Если смещение материальной точки (шарика) во время колебательного процесса отметить буквой и учитывать соотношение , получим
Следовательно
Исходя из смысла периода колебания и учитывая, что получаем

Эта формула, определяющая период колебания математического маятника, называется формулой Гюйгенса. Отсюда вытекают следующие законы математического маятника:

1. при маленьких углах наклона (а) математического маятника, его период колебания не зависит от амплитуды колебания.
2. период колебания математического маятника также не зависит от массы подвешенного на него груза;
3. период колебания математического маятника прямо пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению длины маятника и обратно пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению ускорения свободного падения.

Отсюда колебание математического маятника записывается следующим выражением:

Следует отметить, что когда амплитуда колебания или угол наклона велики, колебания математического маятника не являются гармоническим. В этом случае нельзя считать и для решения уравнения движения не применяется закон синусов или косинусов.

Пример:

Период колебания первого маятника равен 3 сек, второго – 4 сек. Найдите период колебания маятника с длиной, равной сумме длин этих маятников.

Решение:

Ответ: 5 cек.

Пружинный и математический маятники

Второй закон Ньютона (основной закон динамики): ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально равнодействующей всех сил, действующих на нее, и обратно пропорционально массе материальной точки:

Закон Гука: модуль силы упругости , возникающей в теле при упругих деформациях, прямо пропорционален его абсолютному удлинению (сжатию) :

где k — жесткость тела, — длина недеформированного тела, l — длина деформированного тела.

Рассмотрим пружинный маятник, представляющий собой колебательную систему, образованную грузом на пружине.

Пусть груз массой т, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплен к свободному концу невесомой пружины жесткостью k (рис. 3). Второй конец пружины закреплен относительно данной инерциальной системы отсчета (ИСО).

Выведем груз из положения равновесия, сместив его на расстояние х вправо. В пружине возникнет сила упругости направленная влево.

Запишем второй закон Ньютона для движения груза:

В проекции на ось Ох действующих на груз сил с учетом закона Гука получаем

или

Это уравнение аналогично уравнению гармонических колебаний

Сравнивая эти два уравнения, находим циклическую частоту колебаний пружинного маятника:

Тогда период колебаний пружинного маятника можно найти по формуле

Как следует из полученной формулы, период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды его колебаний (в пределах выполнимости закона Гука).

Свойство независимости периода колебаний маятника от амплитуды называется изохронностью (от греческих слов , — равный и — время). Таким образом, колебания пружинного маятника обладают свойством изохронности.

Изохронность колебаний маятника была открыта Галилео Галилеем в 1583 г. при изучении движения грузика, подвешенного на нити. Моделью данной колебательной системы является математический маятник.

Математическим маятником называется материальная точка массой т, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле каких-либо сил, например силы тяжести Земли (рис. 4).

Математический маятник — это идеализированная модель реального маятника при условии, что длина нити намного больше размеров подвешенного на ней тела и масса нити намного меньше массы тела. Кроме того, деформацией нити можно пренебречь.

Галилео Галилей экспериментально определил, что период малых колебаний (9

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.