Запишите вид однородного уравнения первого порядка

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение

Как определить однородное дифференциальное уравнение

Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение первого порядка однородным, нужно ввести постоянную t и заменить y на ty и x на tx : y → ty , x → tx . Если t сократится, то это однородное дифференциальное уравнение. Производная y′ при таком преобразовании не меняется.
.

Пример

Определить, является ли данное уравнение однородным

Делаем замену y → ty , x → tx .

Делим на t 2 .

.
Уравнение не содержит t . Следовательно, это однородное уравнение.

Метод решения однородного дифференциального уравнения

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y = ux . Покажем это. Рассмотрим уравнение:
(i)
Делаем подстановку:
y = ux ,
где u — функция от x . Дифференцируем по x :
y′ = ( ux ) ′ = u′ x + u ( x ) ′ = u′ x + u
Подставляем в исходное уравнение (i).
,
,
(ii) .
Разделяем переменные. Умножаем на dx и делим на x ( f ( u ) – u ) .

При f ( u ) – u ≠ 0 и x ≠ 0 получаем:

Интегрируем:

Таким образом, мы получили общий интеграл уравнения (i) в квадратурах:

Заменим постоянную интегрирования C на ln C , тогда

Опустим знак модуля, поскольку нужный знак определяется выбором знака постоянной C . Тогда общий интеграл примет вид:

Далее следует рассмотреть случай f ( u ) – u = 0 .
Если это уравнение имеет корни, то они являются решением уравнения (ii). Поскольку уравнение (ii) не совпадает с исходным уравнением, то следует убедиться, что дополнительные решения удовлетворяют исходному уравнению (i).

Всякий раз, когда мы, в процессе преобразований, делим какое-либо уравнение на некоторую функцию, которую обозначим как g ( x, y ) , то дальнейшие преобразования справедливы при g ( x, y ) ≠ 0 . Поэтому следует отдельно рассматривать случай g ( x, y ) = 0 .

Пример решения однородного дифференциального уравнения первого порядка

Проверим, является ли данное уравнение однородным. Делаем замену y → ty , x → tx . При этом y′ → y′ .
,
,
.
Сокращаем на t .

Постоянная t сократилась. Поэтому уравнение является однородным.

Делаем подстановку y = ux , где u – функция от x .
y′ = ( ux ) ′ = u′ x + u ( x ) ′ = u′ x + u
Подставляем в исходное уравнение.
,
,
,
.
При x ≥ 0 , |x| = x . При x ≤ 0 , |x| = – x . Мы пишем |x| = ± x подразумевая, что верхний знак относится к значениям x ≥ 0 , а нижний – к значениям x ≤ 0 .
,
Умножаем на ± dx и делим на .

При u 2 – 1 ≠ 0 имеем:

Интегрируем:

Интегралы табличные,
.

Применим формулу:
( a + b )( a – b ) = a 2 – b 2 .
Положим a = u , .
.
Возьмем обе части по модулю и логарифмируем,
.
Отсюда
.

Таким образом имеем:
,
.
Опускаем знак модуля, поскольку нужный знак обеспечивается выбором знака постоянной C .

Умножаем на x и подставляем ux = y .
,
.
Возводим в квадрат.
,
,
.

Теперь рассмотрим случай, u 2 – 1 = 0 .
Корни этого уравнения
.
Легко убедиться, что функции y = ± x удовлетворяют исходному уравнению.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 19-07-2012 Изменено: 24-02-2015

Однородные уравнения первого порядка

Вы будете перенаправлены на Автор24

Понятие однородного уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка, представленное в стандартном виде $y’=f\left(x,y\right)$, является однородным, если его правая часть зависит не просто от переменных $x$ и $y$, а от отношения функции $y$ к независимой переменной $x$, то есть $ f (x,y) = f (x/y)$.

Зависимость функции от отношения $\frac $ следует понимать так, что функция не изменяется при замене в ней данного отношення на любое другое, имеющее вид $\frac$. Например, именно такое свойство имеет функция $f\left(x,y\right)=\frac \cdot \cos \frac $. Действительно, $f\left(x,y\right)=\frac \cdot \cos \frac =\frac\cdot \cos \frac$. После замены переменных $x$ и $y$ на $t\cdot x$ и $t\cdot y$ соответственно и последующего сокращения на $t$ данная функция приобретает свой исходный вид. В этом и состоит основное свойство однородного дифференциального уравнения.

Общий метод решения

Однородное дифференциальное уравнение $y’=f (x/y)$ решают посредством применения замены $\frac =u$, где $u=u\left(x\right)$ — новая неизвестная функция. Идея состоит в том, что найдя функцию $u$ и умножив её на $x$, можно будет найти и нужную функцию $y$.

Представим замену в виде $y=u\cdot x$ и продифференцируем её: $\frac =\frac \cdot x+u\cdot \frac =\frac \cdot x+u$. Подставим $y$ и $\frac $ в данное дифференциальное уравнение: $\frac \cdot x+u=f\left(u\right)$.

Полученное дифференциальное уравнение представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, после элементарных преобразований его можно представить в виде $\frac =\frac $, где $f_ <1>\left(x\right)=\frac<1> $ — функция, зависящая только от $x$, и $f_ <2>\left(u\right)=f\left(u\right)-u$ — функция, зависящая только от $u$. Применим к этому дифференциальному уравнению метод решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Готовые работы на аналогичную тему

Сначала вычисляем интеграл $I_ <1>=\int f_ <1>\left(x\right)\cdot dx $. Получаем: $I_ <1>=\int \frac<1> \cdot dx=\ln \left|x\right| $. Теперь записываем интеграл $I_ <2>=\int \frac \left(u\right)> $. Получаем: $I_ <2>=\int \frac $. Общее решение записываем в форме $I_ <2>=I_ <1>+C$, то есть $\int \frac =\ln \left|x\right|+C$. Правую часть полученного решения можно упростить, если представить произвольную постоянну в более удобной форме $\ln \left|C\right|$. При этом получим: $\ln \left|x\right|+\ln \left|C\right|=\ln \left|x\cdot C\right|$.

Окончательно получаем: $\int \frac =\ln \left|x\cdot C\right|$. После вычисления интеграла $\int \frac $ и замены $u$ на $\frac $ общее решение данного однородного дифференциального уравнения будет найдено.

Общий метод решения можно представить в виде следующего алгоритма:

1. В первую очередь убеждаемся, что решаемое дифференциальное уравнение является однородным. Для этого нужно представить его в стандартном виде $y’=f\left(x,y\right)$, после чего в функции $f\left(x,y\right)$ переменные $x$ и $y$ заменить на $t\cdot x$ и $t\cdot y$ соответственно. Если после элементарных тождественных преобразований удается вернуться к той же функции $f\left(x,y\right)$, то данное дифференциальное уравнение является однородным и $ f (x,y) = f (x/y)$. Если добиться этого оказалось невозможным, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
2. Находим $f\left(u\right)$, выполнив для функции $f (x/y)$ замену $y=u\cdot x$, после чего записываем функцию $f\left(u\right)-u$.
3. Находим интеграл $I=\int \frac$ и записываем общее решение в виде $I=\ln \left|x\cdot C\right|$.
4. Выполняем обратную замену $u=\frac$ и проводим упрощающие тождественные преобразования.
5. Находим особые решения, которые могли быть утрачены при разделении переменных.

Решение типичных задач

Найти общее решение дифференциального уравнения $y’=2+\frac $.

По внешнему виду данного дифференциального уравнения его можно сразу отнести к однородному.

Для функции $f (x/y)=2+\frac $ выполняем замену $y=u\cdot x$ и находим $f\left(u\right)=2+\frac =2+u$. Записываем функцию $f\left(u\right)-u=2+u-u=2$.

Записываем общее решение в виде $\frac <2>=\ln \left|x\cdot C\right|$.

Выполняем обратную замену $u=\frac $ и получаем $\frac <2\cdot x>=\ln \left|x\cdot C\right|$ или $y=2\cdot x\cdot \ln \left|x\cdot C\right|$.

Так как $f\left(u\right)-u=2$, то особых решений данное дифференциальное уравнение не имеет.

Найти общее решение дифференциального уравнения $x\cdot y’=5\cdot y+x$.

Приводим данное дифференциальное уравнение к стандартному виду $y’=5\cdot \frac +1$, после чего можно сделать вывод, что оно является однородным.

Для функции $f (x/y)=5\cdot \frac +1$ выполняем замену $y=u\cdot x$ и находим $f\left(u\right)=5\cdot \frac +1=5\cdot u+1$.

Записываем функцию $f\left(u\right)-u=5\cdot u+1-u=4\cdot u+1$.

Находим интеграл $I=\int \frac =\int \frac <4\cdot u+1>=\frac<1> <4>\cdot \ln \left|4\cdot u+1\right|$.

Записываем общее решение в виде $\frac<1> <4>\cdot \ln \left|4\cdot u+1\right|=\ln \left|x\cdot C\right|$, откуда $\ln \left|4\cdot u+1\right|=\ln \left|x\cdot C\right|^ <4>$; $4\cdot u+1=x^ <4>\cdot C^ <4>$ или просто $4\cdot u+1=C\cdot x^ <4>$.

Выполняем обратную замену $u=\frac $ и получаем $4\cdot \frac +1=C\cdot x^ <4>$.

Таким образом, общее решение имеет вид: $4\cdot y+x=C\cdot x^ <5>$.

Решая уравнение $f\left(u\right)-u=4\cdot u+1=0$ или $4\cdot \frac +1=0$, находим особое решение $y=-\frac <4>$. Проверка подстановкой в данное дифференциальное уравнение $x\cdot \left(-\frac<1> <4>\right)=5\cdot \left(-\frac <4>\right)+x$ показывает, что особое решение $y=-\frac <4>$ удовлетворяет данному дифференциальному уравнению.

Однако это же решение можно получить из общего решения $4\cdot y+x=C\cdot x^ <5>$, положив в нём $C=0$.

Таким образом, окончательный результат: $4\cdot y+x=C\cdot x^ <5>$.

Уравнения, приводящиеся к однородным

При определенных условиях дифференциальное уравнение вида $y’=\frac \cdot x+b_ <1>\cdot y+c_ <1>> \cdot x+b_ <2>\cdot y+c_ <2>> $, в котором $a_ <1>$, $b_ <1>$, $c_ <1>$, $a_ <2>$, $b_ <2>$, $c_ <2>$ — постоянные коэффициенты, может быть приведено к однородному.

Если $\Delta \equiv \left|\begin > & > \\ > & > \end\right|\ne 0$, то приведение его к однородному достигается с помощью замен $x=m+\alpha $ и $y=n+\beta $, где постоянные $\alpha $ и $\beta $ следует выбрать как результат решения системы $\left\<\begin \cdot \alpha +b_ <1>\cdot \beta =-c_ <1>> \\ \cdot \alpha +b_ <2>\cdot \beta =-c_ <2>> \end\right. $.

Так как $\Delta \ne 0$, то эта система имеет единственное решение, которое проще всего найти по формулам Крамера.

Используя найденные выражения для $x=m+\alpha $ и $y=n+\beta $, получим дифференциальное уравнение $\frac =\frac \cdot m+b_ <1>\cdot n> \cdot m+b_ <2>\cdot n> $, которое является однородным.

16. Однородные и линейные уравнения первого порядка

Прежде всего, рассмотрим простые и важные классы уравнений первого порядка, приводящихся к уравнениям с разделяющимися переменными.

I. Однородные уравнения.

Называется однородным, если функция может быть представлена как функция отношения своих аргументоВ:

Однородное, так как его можно записать в виде

В общем случае переменные в однородном уравнении не разделяются. Однако, вводя вспомогательную неизвестную функцию U по формуле

или

Мы сможем преобразовать однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.

И уравнение прИНимает вид

, т. е.

После интегрирования получаем:

Найдя отсюда выражение для И как функции от Х, и возвращаясь к переменной , получим искомое решение однородного уравнения.

Чаще всего не удается просто найти явное выражение для И. Тогда после интегрирования следует в левую часть вместо U ПодстаВить ; в результате мы получим решение уравнения в неявном виде.

Разумеется, мы предполагаем, что . Если , то и не нужно делать никаких преобразований, ибо само заданное уравнение — с разделяющимися переменными.

Нет необходимости запоминать полученные выше формулы: в каждом примере нетрудно проделать полностью указанное преобразование.

Пример. Найдем решение однородного уравнения

Замена приводит к уравнению

или

Разделяя переменные, находим:

, или

Возвращаясь к перемеННой У, приходим к общему решению:

II. Линейные уравнения. Вторым часто встречающимся типом уравнений первого порядка явлЯЕтся линейное уравнение.

Определение. Уравнение вида

(*)

Т. Е. линейное относительно искомой фуНКции и ее производНОй, называется линейным.

Здесь Р(Х) и Q(Х) — известные функции независимой переменной Х.

Уравнение (*) сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными путем следующего искусственного приема. Запишем функцию У в виде произведения двух функций: . одной из них мы можем распорядиться совершенно произвольно; при этом вторая должна быть определена в зависимости от первой таким образом, чтобы их произведение удовлетворяло данному линейному уравнению. Свободой выбора одной иЗ функций U и N мы воспользуемся для максимального упрощения уравнения, получающегося после замены.

Из равенства находим производную У’:

Подставляя это выражение в уравнение (*), имеем:

, или .

Выберем в качестве N какое-нибудь частное решение уравнения

. (**)

Тогда для отыскания U получим уравнение

. (***)

Сначала найдем N из уравнения (**). Разделяя переменные, имеем:

и .

Как и раньше, под неопределенным интегралом здесь понимается Какая-нибудь одна первообразная от функции Р(Х), т. е. N является вполне определенной функцией от Х.

Зная N, находим далее И из уравнения (***):

Здесь мы уже берем для U все первообразные. По И и N найдем искомую функцию У:

Полученная формула дает общее решение линейного уравнения (*).

Положение не изменится, если мы прибавим произвольную постоянную к интегралу в показателе. В самом деле, эта вторая произвольная постоянная в конечном счете исчезнет, так как один множитель будет содержать ее в знаменателе, а другой — в числителе.

Можно решать задачу с помощью определенных интегралов с переменным верхним пределом. При этом

Частное решение, соответствующее начальному условию , Получается отсюда при .

Как и раньше, мы не настаиваем на запоминании общей формулы. Следует помнить лишь способ решения и применять его в каждом конкретном случае.

Пример. Решим уравнение

Положим , тогда . Имеем: или Пусть . Отсюда и, значит, Т. е. Следовательно, откуда и, значит, Имеем окончательно:

.

Рассмотрим одну важную задачу электротехники, которая приведет нас к линейному дифференциальному уравнению первого порядка. Пусть ЭЛектрическая цепь имеет сопротивление R и самоиндукцию L.

Если через I обозначить силу тока в цепи, а через Е электродвижущую силу, то, как известно из физики,

.

Считая, что Е является известной функцией времени, получаем линейное уравнение, которое запишем в виде

Проинтегрируем это уравнение в предположении, что при начальном условии . Это означает, что мы включаем в цепь, в которой не было тока, постоянную электродвижущую силу. Воспользовавшись общей формулой, выраженной при помощи определенных интегралов, получим:

Или, выполняя интегрирование,

.

Ток I слагается как бы из двух токов: тока , соответствующего закону Ома, и экстратока замыкания , протекающего в обратном направлении. Экстраток замыкания быстро стремится к нулю, и поэтому в цепи довольно скоро устанавливается постоянный ток. Еще проще решается задача о размыкании цепи. В этом случае мы считаем, что и . Тогда получается уравнение с разделяющимися переменными Решая его, ПолуЧиМ — экстраток размыкания. Скорость СтремЛения экстратока к нулю зависит от отношения : чем это отношение больше, тем быстрее экстраток затухает.

Рекомендуем читателю самостоятельно решить задачу в случае, когда электродвижущая сила Е синусоидальна, т. е. когда .